第1章晶体学课件.ppt

1、第第1章章 晶体学晶体学一、空间点阵一、空间点阵二、晶体的对称性二、晶体的对称性三、晶面指数与晶向指数三、晶面指数与晶向指数四、晶面间距、晶面夹角和晶带定理四、晶面间距、晶面夹角和晶带定理 五、晶体投影五、晶体投影教学目的和要求教学目的和要求p 了解晶体结构、空间点阵、晶胞、晶系、点阵常了解晶体结构、空间点阵、晶胞、晶系、点阵常数、晶面、晶向、晶面族、晶向族和晶面间距等数、晶面、晶向、晶面族、晶向族和晶面间距等基本概念基本概念p 了解晶体对称性的概念了解晶体对称性的概念p 熟悉熟悉7大晶系和大晶系和14种布拉菲点阵的特征种布拉菲点阵的特征p 熟练掌握晶面指数和晶向指数的标定熟练掌握晶面指数和晶

2、向指数的标定p 了解极射投影概念和极射投影图的分析方法了解极射投影概念和极射投影图的分析方法 材料是由大量的原子以一定的方式材料是由大量的原子以一定的方式排列在一起组成的。不仅排列在一起组成的。不仅会强烈地影响材料的宏观性能，而且会强烈地影响材料的宏观性能，而且也会显著影也会显著影响材料的各种性质和性能。响材料的各种性质和性能。无规排列无规排列固态物质固态物质晶晶 体体非晶体非晶体 规则排列规则排列准晶体准晶体 规则排列规则排列：结构基元（阵点）在空间呈不随时间：结构基元（阵点）在空间呈不随时间变化的三维周期排列，具有变化的三维周期排列，具有。结晶状态结晶状态晶态材料晶态材料单晶材料单晶材料多

3、晶材料多晶材料微晶微晶/纳米晶材料纳米晶材料液晶材料液晶材料 晶体的宏观特性晶体的宏观特性1)自限性自限性 晶体具有自发地形成封闭的凸几何多面体外形能力的性质，又称为自范性。2)均一性均一性 晶体在任一部位上均具有相同的性质，可看作连续物质。3)各向异性各向异性 在晶体不同方向上具有不同的性质，而非晶呈各向同性。4)对称性对称性 晶体的物理化学性质能够在不同方向或位置上有规律地出现，也称周期性。晶体的各向异性是对称性的表现。5)最小内能和最大稳定性最小内能和最大稳定性1669年，年，N.Steno最早发现最早发现(晶体相应晶面之间的夹角不变晶体相应晶面之间的夹角不变)晶体的自限性晶体的自限性q

4、 晶体结构晶体结构：实际原子在实际原子在三维三维空间空间的的规则排列规则排列。q 阵点阵点：为了便于研究晶体中的原子排列，可以把实：为了便于研究晶体中的原子排列，可以把实际晶体看作完整无缺的晶体且不考虑具体的原子或际晶体看作完整无缺的晶体且不考虑具体的原子或分子，而抽象出一些几何点，这些几何点分子，而抽象出一些几何点，这些几何点可以是原可以是原子或分子的中心，也可以原子群或分子群的中心子或分子的中心，也可以原子群或分子群的中心，但是所有几何点但是所有几何点的的周围周围环境必须相同环境必须相同，也就是说这，也就是说这些几何点些几何点是是等同等同的的，那么这些几何点称为阵点。，那么这些几何点称为阵

5、点。q 空间点阵空间点阵：阵点阵点在三维空间的规则在三维空间的规则排列。阵点是构排列。阵点是构成空间点阵的基本要素。成空间点阵的基本要素。其实质为其实质为晶体结构的几何晶体结构的几何抽象抽象。晶格晶格 为了便于描述空间点为了便于描述空间点阵的图形，用许多组假想阵的图形，用许多组假想的平行直线将阵点连接起的平行直线将阵点连接起来构成空间格子，这些空来构成空间格子，这些空间格子称为间格子称为晶格晶格。阵点的两大特点：阵点的两大特点：排列的周期性排列的周期性 等同性等同性空间点阵、晶格空间点阵、晶格晶胞概念的由来晶胞概念的由来 为了说明点阵排列的规律和特点，可以在空间点阵中取出一为了说明点阵排列的规

6、律和特点，可以在空间点阵中取出一个个最有代表性的基本单元最有代表性的基本单元作为点阵的组成单元，其基本单元称作为点阵的组成单元，其基本单元称为为晶胞晶胞。晶胞一般为平行六面体。晶胞在三维空间反复堆砌构。晶胞一般为平行六面体。晶胞在三维空间反复堆砌构成空间点阵。不同空间点阵由其晶胞大小和形状来区别和表征。成空间点阵。不同空间点阵由其晶胞大小和形状来区别和表征。晶胞类型晶胞类型 1)平行六面体中只含一个阵点；平行六面体中只含一个阵点；2)以以1个阵点为原点，以初基单胞作周期平移可以个阵点为原点，以初基单胞作周期平移可以覆盖整个点阵；覆盖整个点阵；3)不管初基单胞如何选择，其体积不变。不管初基单胞如

7、何选择，其体积不变。平行六面体中含有两个或两个以上的阵点。平行六面体中含有两个或两个以上的阵点。晶胞晶胞的选取规则：的选取规则：u选取的平行六面体必须选取的平行六面体必须反映点阵的最高对称性；反映点阵的最高对称性；u相等的棱边和角的数目相等的棱边和角的数目最多；最多；u有直角存在时，直角数有直角存在时，直角数目最多；目最多；u在满足上述条件下，体在满足上述条件下，体积最小。积最小。点阵中任何一个阵点的位置均可以由下列矢量表示：点阵中任何一个阵点的位置均可以由下列矢量表示：点阵参数点阵参数：为了描述晶胞的形：为了描述晶胞的形状和大小，用晶胞的三棱边状和大小，用晶胞的三棱边a、b、c和三个夹角和三

8、个夹角、来表来表达。达。a、b、c 及及、为点为点阵参数。点阵参数一旦确定，阵参数。点阵参数一旦确定，则阵点的空间分布规律完全确则阵点的空间分布规律完全确定。定。a、b、c三个点阵参数称三个点阵参数称为为点阵常数点阵常数。晶体结构晶体结构其类型取决于原子的结合方式，阵点其类型取决于原子的结合方式，阵点的位置上可以是一个或多个实际质点或者原子团，的位置上可以是一个或多个实际质点或者原子团，其种类可以是无限的。其种类可以是无限的。空间点阵空间点阵每个阵点处原子都具有相同的环境，每个阵点处原子都具有相同的环境，其种类有限（仅有其种类有限（仅有14种）。种）。每种空间点阵都可以形成无限多的晶体结构。每

9、种空间点阵都可以形成无限多的晶体结构。1.3 1.3 晶体的对称性晶体的对称性晶体多面体最晶体多面体最显著特点就是显著特点就是对称，对于参对称，对于参观者来说，对观者来说，对称就是几何形称就是几何形体中相同部分体中相同部分有规律地重复有规律地重复出现。出现。一、基本概念一、基本概念物体经过一定操作后，它的空间性物体经过一定操作后，它的空间性质复原，这种操作称为质复原，这种操作称为“”。对称操作一定和某个几何图形相联对称操作一定和某个几何图形相联系，例如对称面系，例如对称面(m)、旋转轴、旋转轴(n)、对称中心、对称中心(i)，这些面、轴、点称为这些面、轴、点称为“。晶体的晶体的组合组合而成的，

10、包括而成的，包括宏观对称宏观对称和和微观对称微观对称。通常采用通常采用国际符号或熊夫利符号表示。国际符号或熊夫利符号表示。在进行对称操作时，如果至少有一点保持不动，在进行对称操作时，如果至少有一点保持不动，那么这种对称操作称为那么这种对称操作称为，与此相联系，与此相联系的对称要素就叫做的对称要素就叫做。宏观对称性是内部微观对称性的表现，与晶体宏观对称性是内部微观对称性的表现，与晶体的性能存在深刻的内在联系。的性能存在深刻的内在联系。在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次和高于

11、六次的对称轴。次和高于六次的对称轴。准晶才可能有五次对称轴或高于六次的对准晶才可能有五次对称轴或高于六次的对称轴。称轴。1984年，年，D.Shectman首先报告了在快速凝固首先报告了在快速凝固A1-Mn合金的合金的A16Mn相中发现了相中发现了。随后在随后在Al-Fe等等Al与其他过渡族元素构成的二与其他过渡族元素构成的二元或三元合金中也找到了五次对称轴，而且在元或三元合金中也找到了五次对称轴，而且在Ti2Ni系合金、金属硅化物等数十种合金中发现了系合金、金属硅化物等数十种合金中发现了准晶，并先后发现了准晶，并先后发现了准准晶相，这些现象与传统的晶体学对称性原理不符，晶相，这些现象与传统的

12、晶体学对称性原理不符，因此准晶体的研究已经成为材料科学领域中一个崭因此准晶体的研究已经成为材料科学领域中一个崭新的课题。新的课题。Al65Cu20Fe15合金中准晶形貌的扫描电镜照片及衍射斑点合金中准晶形貌的扫描电镜照片及衍射斑点(50000)准晶是固态物质的一种准晶是固态物质的一种，。三、晶体的宏观对称要素三、晶体的宏观对称要素传统的对称理论认为在传统的对称理论认为在晶体中实际可能存在的晶体中实际可能存在的回转对称轴有回转对称轴有1 1、2 2、3 3、4 4、6 6次五种，次五种，。如果通过晶体作一个平面，如果通过晶体作一个平面，使晶体的各个对应点经过这个使晶体的各个对应点经过这个平面反映

13、后能够重合，如同镜平面反映后能够重合，如同镜子一样，那么这个平面称之为子一样，那么这个平面称之为晶体的对称面，用符号晶体的对称面，用符号m表示表示 晶体的每一个点均可以以晶体的每一个点均可以以i为中心作对称与其对为中心作对称与其对应点重合。应点重合。旋转旋转-反演轴也只有反演轴也只有1次、次、2次、次、3次、次、4次、次、6次次五种，分别用符号五种，分别用符号表示。表示。FCC:6个个m(即即110面面3个个 4(或或2)4个个3不存在不存在i。三、晶体的微观对称要素三、晶体的微观对称要素 1.反映平移操作和滑动面反映平移操作和滑动面 2.旋转平移操作和旋转轴旋转平移操作和旋转轴四、对称要素的

14、组合四、对称要素的组合 在这些宏观对称要素中，在这些宏观对称要素中，1，2，3，4，6，i，m，4是是8种种，它们，它们。任何宏。任何宏观晶体所具有的对称性都是这观晶体所具有的对称性都是这8种基本对种基本对称要素的组合。称要素的组合。五、点群和空间群五、点群和空间群 不同的晶体会有不同的对称性，即使是同一种不同的晶体会有不同的对称性，即使是同一种晶系的晶体，甚至是同一种布拉菲点阵的晶体，其晶系的晶体，甚至是同一种布拉菲点阵的晶体，其对称性也可能不同。对称性也可能不同。晶体可能存在的宏观对称性，可能通过晶体可能存在的宏观对称性，可能通过而得出，称之为而得出，称之为。而微观对。而微观对称类型则通过

15、宏观加上微观对称要素在三维空间中称类型则通过宏观加上微观对称要素在三维空间中的组合得出，称之为的组合得出，称之为。利用对称要素组合定律和结晶多面体的形态利用对称要素组合定律和结晶多面体的形态特点可以推导出晶体的宏观对称性只有特点可以推导出晶体的宏观对称性只有(或对称型或对称型)，晶体只属于，晶体只属于32种对称型中的种对称型中的一种。一种。划分晶系的依据是特征划分晶系的依据是特征而不是晶胞参数。而不是晶胞参数。32个宏观对称性个宏观对称性(点群点群)除了宏观对称要素之外，还有除了宏观对称要素之外，还有、平移与旋、平移与旋转结合形成的转结合形成的、平移和反映结合形成的、平移和反映结合形成的等等对

16、称要素。对称要素。宏观对称要素和微观对称要素在三维空间的组宏观对称要素和微观对称要素在三维空间的组合，称为合，称为。经过严格证明可以得出，晶体中可能存在经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230种空间群，任何一种晶体的微观结构属于且只属于种空间群，任何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。种空间群之一。空间群空间群1.4 晶系及布拉菲点阵晶系及布拉菲点阵 根据空间点阵中根据空间点阵中“”的要求，布拉菲（的要求，布拉菲（Bravais)于于1948年用数学方法年用数学方法证明了空间点阵共有证明了空间点阵共有14种，而且只有种，而且只有14种。种。根据晶胞的根据晶胞的3个晶格常数个晶格

17、常数(a、b、c)和和3个轴间个轴间夹角夹角(、)的相互关系，可以把的相互关系，可以把14种布拉菲点种布拉菲点阵归纳为阵归纳为7个晶系。个晶系。7个晶系个晶系共有共有28种种点阵，其点阵，其中重复的中重复的有有14种。种。合计有且合计有且只有只有14种种布拉菲点布拉菲点阵阵复式点阵复式点阵 有时人们把由几个布拉维点阵穿插而成的复有时人们把由几个布拉维点阵穿插而成的复杂点阵称为杂点阵称为。如。如NaCl结构就可以看成是结构就可以看成是由两个面心立方点阵穿插而成的复式点阵。由两个面心立方点阵穿插而成的复式点阵。复式点阵的结点复式点阵的结点，这是它同布，这是它同布拉维点阵的根本区别。拉维点阵的根本区

18、别。思考题思考题1：为什么体心单斜点阵不是新点阵？为什么体心单斜点阵不是新点阵？在简单六方点阵晶胞的在简单六方点阵晶胞的C面中添加结点后是否面中添加结点后是否形成一个新点阵底心六方点阵？形成一个新点阵底心六方点阵？思考题思考题2：为什么没有底心正方和面心正方点阵？为什么没有底心正方和面心正方点阵？思考题思考题3：晶体各向异性问题晶体各向异性问题的很多物理量的很多物理量（如弹性模量、电阻率、（如弹性模量、电阻率、热膨胀系数、折射率、强热膨胀系数、折射率、强度和表面化学性质）的大度和表面化学性质）的大小随测试方向的不同而改小随测试方向的不同而改变。这种性质称之为变。这种性质称之为。晶面、晶向晶面、

19、晶向 标定方法：英国晶体学标定方法：英国晶体学家家W.H.Millor最早提出最早提出可以用三个数字表示晶可以用三个数字表示晶向及晶面，习惯上将这向及晶面，习惯上将这组数字称为组数字称为。2.阵点的坐标阵点的坐标 采用直角坐标系。采用直角坐标系。点阵中的点的坐标点阵中的点的坐标可以表示成可以表示成(h,k,l)。二、晶向指数二、晶向指数 建立坐标系，确定两个点建立坐标系，确定两个点的坐标的坐标(u1,v1,w1)和和(u2,v2,w2)如OF:X Y Z 1u v w1 1 2晶向 1 1 2把终点坐标减去起点坐标把终点坐标减去起点坐标:u=u2-u1,v=v2-v1,w=w2-w1；化为最小

20、整数化为最小整数，给出指数，给出指数u、v、w。则。则uvw就是所求晶向就是所求晶向指数。指数。与晶面标定与晶面标定方法不同方法不同注意：注意：晶向指数晶向指数uvw中如果某一个数字中如果某一个数字 为负，则将负号标注在该数的上方。为负，则将负号标注在该数的上方。一个晶向指数并不表示一个晶向，而是一组相互一个晶向指数并不表示一个晶向，而是一组相互平行、位向相同的晶向。如果晶向指数的数字相平行、位向相同的晶向。如果晶向指数的数字相同而正负号相反，则这两个晶向相互平行，但方同而正负号相反，则这两个晶向相互平行，但方向相反（与数学中矢量的相关概念相同）。向相反（与数学中矢量的相关概念相同）。晶向族晶

21、向族 位向不同，但在该方向上晶体的性质相同，位向不同，但在该方向上晶体的性质相同，这些方向是等同的，称这些晶向为晶向族。这些方向是等同的，称这些晶向为晶向族。如如 晶向的矢量表示法晶向的矢量表示法 A=ui+vj+wk B=ui i+vj j+wk k AB=|A|B|cos 根据该公式可以计算出不同晶向之间的夹角。根据该公式可以计算出不同晶向之间的夹角。举例举例1：OA:121OB:111OC:010OD:101OE:001CD:1 1 1EF:1 1 1举例举例2：在晶胞内画出在晶胞内画出1 0 1、1 1 1、1 2 1晶向。晶向。*。1 0 1-OF 1 1 1-BF 1 2 1-EJ

22、举例举例如如(111)与与111 相互垂直，相互垂直，(110)与与110 相互垂直。相互垂直。二、晶面指数二、晶面指数 建立步骤 建立坐标系建立坐标系 坐标原点的选取要便于确定截距坐标原点的选取要便于确定截距 求待定晶面在坐标系中的求待定晶面在坐标系中的截距截距x x、y y、z z。将截距求将截距求倒数倒数1/1/x x,1/,1/y y,1/,1/z z，并化为最小正整数并化为最小正整数h h、k k、l l，放入，放入()()中。则中。则(h k l)(h k l)即为所求的晶即为所求的晶面指数。面指数。如如:负指数则在其上加一横线。负指数则在其上加一横线。注意注意u待定晶面待定晶面。

23、u与某晶轴平行的晶面的截距为与某晶轴平行的晶面的截距为，则截距倒数为则截距倒数为0。u晶面与坐标轴负方向相交时的晶面与坐标轴负方向相交时的 截距为负。截距为负。u晶面指数晶面指数(hkl)不是指一个晶面，而是代表一组相互不是指一个晶面，而是代表一组相互平行的晶面，相互平行晶面的晶面指数相同。平行的晶面，相互平行晶面的晶面指数相同。u坐标系可以平移但不可坐标系可以平移但不可以旋转。以旋转。u当晶面的某一点通过坐当晶面的某一点通过坐标原点时，可将坐标系标原点时，可将坐标系进行平移，以保证截距进行平移，以保证截距的获取。的获取。u指数数字相同、符号完指数数字相同、符号完全相反的晶面指数代表全相反的晶

24、面指数代表相同的晶面，如相同的晶面，如(111)和和(1 1 1)相同相同 在高对称度的晶体中，特别是在在高对称度的晶体中，特别是在中，中，往往存在一些往往存在一些。这些晶体学上等价的。这些晶体学上等价的晶面往往就构成一个晶面往往就构成一个“”，用，用hklhkl表示。表示。注意：在对称性低的注意：在对称性低的晶体中不存在上述关系晶体中不存在上述关系例如：正交晶系的晶面原子排列情况不同，原子面间距不例如：正交晶系的晶面原子排列情况不同，原子面间距不同，因此同，因此(100)与与(001)不属于同一晶面族。不属于同一晶面族。四、晶带定律四、晶带定律 ：指许多不同的晶面组平行于同一个晶向时，这：指

25、许多不同的晶面组平行于同一个晶向时，这些晶面组总称为一个晶带，或者称之为共带面。被平些晶面组总称为一个晶带，或者称之为共带面。被平行的晶向称之为行的晶向称之为。晶带轴晶带轴uvw与晶面与晶面(hkl)存在如下关系：存在如下关系：hukvlw0 如果任意两个不平行的晶面如果任意两个不平行的晶面(h1k1l1)和和(h2k2l2)属于属于同一个晶带，则这两个晶面的交线同一个晶带，则这两个晶面的交线uvw就是晶带。晶就是晶带。晶带轴的指数按下式求解：带轴的指数按下式求解：u=k1l2-k2l1 v=l1h2-l2h1 w=h1k2-h2k1晶带定律的应用晶带定律的应用1.求晶带轴的晶向指数求晶带轴的

26、晶向指数2.求两个晶向构成的面的晶面指数求两个晶向构成的面的晶面指数3.三个晶面属于同一晶带的条件三个晶面属于同一晶带的条件4.三个点阵直线共面的条件三个点阵直线共面的条件:求求(110)和和(121)晶带面的晶带轴晶带面的晶带轴设晶带轴为设晶带轴为uvw，根据晶带定理可得：，根据晶带定理可得：晶带轴为晶带轴为1 1 1 在立方晶胞中，画出在立方晶胞中，画出(1 11)晶面及其上的晶面及其上的1 1 2晶向，晶向，并求过并求过1 1 2 晶向且垂直于晶向且垂直于(1 11)晶面的晶面晶面的晶面 哪个指数为负，就沿哪个指数为负，就沿着哪个轴的正向移动相着哪个轴的正向移动相应的距离。应的距离。O

27、O 要点：立方晶系中要点：立方晶系中(hkl)晶面晶面的法线方向为的法线方向为hkl。五、六方晶系的晶面指数和晶向指数五、六方晶系的晶面指数和晶向指数 通常采用四坐标轴表示通常采用四坐标轴表示法。如左图所示，以法。如左图所示，以a1、a2、a3 和和 c 四个轴为坐标四个轴为坐标轴，轴，a1、a2、a3三个轴位三个轴位于同一个平面上，彼此间于同一个平面上，彼此间的夹角均为的夹角均为120。(100)(010)(110)采用四轴坐标，标定方法采用四轴坐标，标定方法按照密勒指数的步骤进行。按照密勒指数的步骤进行。(hkil)中的中的i=-(h+k)。举例举例2：u最常见的最常见的晶向晶向族表示与族

28、表示与a1、a2、a3轴中的轴中的某个轴平行的晶向。某个轴平行的晶向。u晶向是晶向是a1、a2、a3轴的晶向，轴的晶向，正负号也可以用上述，正负号也可以用上述相同的方法确定。相同的方法确定。2.HCP的晶向指数的晶向指数u也可以先用三轴坐标系标定出待定晶向的晶向指数也可以先用三轴坐标系标定出待定晶向的晶向指数 U V W，然后按照下列公式换算成四轴坐标系的，然后按照下列公式换算成四轴坐标系的指数指数 u v t w:u=(2U-V)/3v=(2V-U)/3t=-(U+V)/3w=W举例：求图中举例：求图中a1轴和轴和b的晶向指数。的晶向指数。六方晶系晶向与晶面指数示例图六方晶系晶向与晶面指数示

29、例图六、晶面间距和晶面夹角六、晶面间距和晶面夹角晶面间距大，面晶面间距大，面与面之间的结合力就与面之间的结合力就越弱，这些晶面上的越弱，这些晶面上的原子排列就越紧密。原子排列就越紧密。塑性变形时，往塑性变形时，往往沿着这些原子密度往沿着这些原子密度最大的晶面和晶向优最大的晶面和晶向优先发生滑移。先发生滑移。如果是复杂晶胞如果是复杂晶胞如体心立方、面心立方，如体心立方、面心立方，在计算时应该考虑晶面在计算时应该考虑晶面层数的影响。如层数的影响。如。u 晶面及晶向夹角晶面及晶向夹角 两个空间平面间的夹角，可用它们的两个空间平面间的夹角，可用它们的来表示，因此晶面的夹角也可看成是两个晶向之间来表示，

30、因此晶面的夹角也可看成是两个晶向之间的夹角。的夹角。晶面与晶向夹角晶面与晶向夹角一、基本概念一、基本概念1.迹点迹点 极点极点(P点点)面痕面痕 投影点投影点(P 点点)2.2.基圆基圆 参考球上的赤道的投影参考球上的赤道的投影是直达放大一倍的圆，称是直达放大一倍的圆，称为为基圆基圆。每一个晶面都可得到每一个晶面都可得到一个极点和一个相应的投一个极点和一个相应的投影点影点。1.6 晶体投影晶体投影 p测量任意给定的两晶面之间的夹角测量任意给定的两晶面之间的夹角（相当于纬度差）（相当于纬度差）p确定极点旋转以后的新位置确定极点旋转以后的新位置 （相当于经度差）（相当于经度差）4.4.刻度球及其应

31、用刻度球及其应用 以球的南极点以球的南极点S S为投影点，把为投影点，把P P点投影到过北点投影到过北极点极点N N且平行于且平行于赤 道 的 投 影 面赤 道 的 投 影 面上，连接连接上，连接连接S S、P P点且延长与投点且延长与投影面相交于影面相交于P P 点，点，P P 称为称为(hkl)(hkl)晶晶面 的面 的 极 射 投 影极 射 投 影点点。p平行于投影面的大圆，其极射投影是平行于投影面的大圆，其极射投影是基圆基圆。p平行于投影面的晶面法向或晶向，其极射投影平行于投影面的晶面法向或晶向，其极射投影必定在必定在基圆基圆上。上。p由于晶面法向或晶向与球面有由于晶面法向或晶向与球面

32、有2个交点个交点，故只，故只要取极射投影点在要取极射投影点在大圆内大圆内的北半球上的点。的北半球上的点。p球面上大圆的极射投影是球面上大圆的极射投影是基圆某直径两端的基圆某直径两端的圆弧圆弧。也可以是一条也可以是一条直径直径(大圆垂大圆垂至于投影面时至于投影面时)或基圆或基圆(大圆大圆平行于投影面时平行于投影面时)。p小圆的投影小圆的投影也是小圆，但也是小圆，但不通过直径的不通过直径的两端，且圆心两端，且圆心也不和圆周上也不和圆周上各点等距离各点等距离二、立方晶体二、立方晶体(001)(001)标准投影图标准投影图 以以(即该即该)，然后标出，然后标出，称为，称为。(001)标准投影图即以标准

33、投影图即以(001)晶面平行于投影面晶面平行于投影面(即通过赤道的平面即通过赤道的平面)。把一个立方晶胞置于参考球心，以把一个立方晶胞置于参考球心，以(001)晶晶面为赤道平面，面为赤道平面，001晶向过球心指向北极。晶向过球心指向北极。1.1.以以001001为晶带轴的晶面投影点均在为晶带轴的晶面投影点均在上上2.2.以以100100为晶带轴的晶面投影点在过为晶带轴的晶面投影点在过(010)(010)和和(0(0-10)10)的水平直线上。的水平直线上。3.3.以以010010为晶带轴的晶面投影在为晶带轴的晶面投影在(100)(100)和和(100)100)极点连线上极点连线上4.4.以以1

34、1 1010为晶带轴的所有晶面为晶带轴的所有晶面其投影在与其投影在与 水平线或垂直线成水平线或垂直线成4545 角的直线上角的直线上5.5.以以110110为晶带轴的晶面投影在与为晶带轴的晶面投影在与X X轴与轴与 Y Y轴成轴成4545 的直线上。的直线上。6.整体投影图整体投影图p投影面上的一个点代投影面上的一个点代表的是空间的一个晶表的是空间的一个晶面或该晶面的法线。面或该晶面的法线。图中的图中的表示对称表示对称性。性。四次对称轴，四次对称轴，三次对称轴，三次对称轴，两次两次对称轴。对称轴。p如果要找任一晶面如果要找任一晶面(hkl)(hkl)的投影点，其方的投影点，其方法是先在基圆上找

35、到法是先在基圆上找到(hk0)(hk0)的点，则的点，则(hkl)(hkl)一定在一定在(hk0)(hk0)与圆心的与圆心的连线上。连线上。p对于立方晶系，指数相对于立方晶系，指数相同的晶面与晶向相互垂直，同的晶面与晶向相互垂直，所以标准投影图中的极点所以标准投影图中的极点既代表晶面既代表晶面(法线法线)又代表又代表晶向晶向(晶带轴晶带轴)。p同一晶带各晶面的法线同一晶带各晶面的法线在同一平面上，因此，该在同一平面上，因此，该晶带各晶面的极点构成标晶带各晶面的极点构成标准投影的同一大圆准投影的同一大圆(面痕面痕)。p晶带面痕晶带面痕(即同一大圆即同一大圆)上取任意两个方向做叉积，上取任意两个方

36、向做叉积，即可求出面痕的法线即可求出面痕的法线晶带轴。晶带轴。6.标准投影的特点标准投影的特点三、晶面夹角的表示与测量三、晶面夹角的表示与测量2.2.晶面夹角的测量方法晶面夹角的测量方法 方法：旋转伍方法：旋转伍氏网，使所测氏网，使所测。3.3.晶带轴的确定晶带轴的确定四、投影点的旋转问题四、投影点的旋转问题 在投影图上同时移动两个投在投影图上同时移动两个投影点，而且要求保证两点的空间影点，而且要求保证两点的空间几何关系几何关系(即空间夹角即空间夹角)不变，可通不变，可通过两种操作来实现：过两种操作来实现：p两个投影点沿各自的纬线同时两个投影点沿各自的纬线同时旋转过相同的经度旋转过相同的经度p

37、二投影点都绕圆心同时旋转过二投影点都绕圆心同时旋转过相同的角度相同的角度2.(011)2.(011)投影图的制作投影图的制作五、标准三角形五、标准三角形 极射投影图清晰地表极射投影图清晰地表示了晶体中各个晶面的空示了晶体中各个晶面的空间几何关系。每个投影点间几何关系。每个投影点既可代表一个晶面，也可既可代表一个晶面，也可以代表一个晶向。因此极以代表一个晶向。因此极射投影图也常用来表示某射投影图也常用来表示某些晶体学方向的关系。通些晶体学方向的关系。通常只需要用标准投影图中常只需要用标准投影图中的一个三角形就可以了，的一个三角形就可以了，将其称之为将其称之为。要求要求：能通过在投影图上看到的点、线、区，想：能通过在投影图上看到的点、线、区，想象出它们所代表的各种空间晶体学关系。象出它们所代表的各种空间晶体学关系。本章总结本章总结一、晶体与非晶体的基本概念一、晶体与非晶体的基本概念二、空间点阵二、空间点阵空间点阵、晶格、晶胞、空间点阵、晶格、晶胞、7大晶系和大晶系和14种空间点阵、种空间点阵、晶面指数和晶向指数、晶带、晶面间距、晶面指数和晶向指数、晶带、晶面间距、三、晶面指数的标定三、晶面指数的标定四、晶向指数的标定四、晶向指数的标定五、晶面间距、晶带轴等的计算方法五、晶面间距、晶带轴等的计算方法六、与极射投影和晶体对称性有关的概念六、与极射投影和晶体对称性有关的概念