第3章-逻辑代数与逻辑函数课件.ppt

1、第三章第三章 逻辑代数逻辑代数与与 逻辑函数逻辑函数 重点：重点：逻辑函数的变换和化简逻辑函数的变换和化简3.1 3.1 基本逻辑运算基本逻辑运算3.3.4 4 逻辑函数门电路的实现逻辑函数门电路的实现 3.2 3.2 逻辑函数的变换和化简逻辑函数的变换和化简 3.3 3.3 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法3.1 基本逻辑运算基本逻辑运算 数字电路研究的是数字电路的输入与输出之间的因果关系，数字电路研究的是数字电路的输入与输出之间的因果关系，即逻辑关系。逻辑关系一般由逻辑函数来描述。逻辑函数即逻辑关系。逻辑关系一般由逻辑函数来描述。逻辑函数是由逻辑变量是由逻辑变量A，B，C和基本

2、逻辑运算符号和基本逻辑运算符号 (与与)、+（或）、（或）、（非）及括号、等号等构成的表达式来表示，如：（非）及括号、等号等构成的表达式来表示，如：F=BC+A=F(A,B,C)式中式中A、B、C称为称为原变量原变量，称为对应的称为对应的反变量反变量，F称为逻称为逻辑函数（辑函数（称为称为F的逻辑反函数）。的逻辑反函数）。F一一.基本公式基本公式1.1.变量与常数的计算公式：变量与常数的计算公式：A0=0 A1=A A+1=1 A+0=A A+1=A+0=A 2.2.变量与变量的计算：变量与变量的计算：AA=A A+A=AAA=0A+A=1A=A A+A=0 A+A=1二二.基本运算定律基本运

3、算定律 以上这些定律可以用基本公式或真值表进行证明。以上这些定律可以用基本公式或真值表进行证明。例例1 利用基本公式证明利用基本公式证明AB+C+BC=AB+C。证：左边证：左边=AB+C+(A+)BC=AB+C+ABC+BC =AB(1+C)+C(1+B)=AB+C=右边右边如果如果AB+C+BCEFG=?1.交换律：交换律：A B=B A A+B=B+A A+B=B+A 2.结合律：结合律：A(B C)=(A B)C (A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)3.分配律：分配律：A(BC)=ABAC A(B+C)=AB+AC A(B C)=（AB)(AC)5.反演律反演律

4、(摩根定律摩根定律)：AB=A+B A+B=A B4.吸收律：吸收律：A(A+B)=A A+AB=A AB+AB=A B+A=A+B AB+C+BC=AB+C 三三.基本运算规则基本运算规则 1 1运算顺序运算顺序在逻辑代数中，运算优先顺序为在逻辑代数中，运算优先顺序为:先算括号，再是非运算，先算括号，再是非运算，然后是与运算，最后是或运算。然后是与运算，最后是或运算。2 2代入规则代入规则在逻辑等式中，如果将等式两边出现某一变量的位置都代之在逻辑等式中，如果将等式两边出现某一变量的位置都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。这就是代入规则。以一个逻辑函数，则等式仍然成立。这就是代入规则。EDC

5、BAF 例：3.反演反演规则规则在逻辑在逻辑求求F函数的反函数，只要将函数的反函数，只要将F式中式中与与+互换，互换，0与与1互换，互换，原变量原变量与与反变量反变量互换，互换，其余符号和运算顺序不变其余符号和运算顺序不变。例如，已知例如，已知 。若用。若用Z=AC代替等式中的代替等式中的A，根据代，根据代入规则，等式仍然成立，即入规则，等式仍然成立，即BABACBABCACBAED)CB(AF 四四.对偶规则对偶规则*将逻辑函数将逻辑函数F中所有的中所有的1换成换成0，0换成换成1，换成换成+，+换成换成，变量保持不变变量保持不变，得到的新函数，得到的新函数F，F称为称为F的对偶式。例如的对

6、偶式。例如 F=（B+C）F=+BC变换时仍需注意保持原式中先与后或的顺序。变换时仍需注意保持原式中先与后或的顺序。如果某个逻辑恒等式成立时，则其对偶式也成立，这就是如果某个逻辑恒等式成立时，则其对偶式也成立，这就是对偶规则。对偶规则。3.2 逻辑函数的变换和化简逻辑函数的变换和化简 一一.逻辑函数的变换逻辑函数的变换利用基本逻辑运算可以将同一个逻辑函数变换为不同的表利用基本逻辑运算可以将同一个逻辑函数变换为不同的表达式，一个逻辑函数通常有以下五种类型的表达式达式，一个逻辑函数通常有以下五种类型的表达式:与或表达式易于从真值表直接写出，而且只需运用一次摩根与或表达式易于从真值表直接写出，而且只

7、需运用一次摩根 定律就可以从最简与或表达式变换为与非定律就可以从最简与或表达式变换为与非-与非表达式，从而与非表达式，从而可以用与非门电路来实现。可以用与非门电路来实现。与或表达式：与或表达式：F=AB+AC(F=AB+AC(先与再或先与再或)或与表达式：或与表达式：F=(A+B)(A+C)(F=(A+B)(A+C)(先或再与先或再与)与非与非表达式：与非与非表达式：F=AB AC(F=AB AC(又称为又称为与非表达式与非表达式)或非或非表达式：或非或非表达式：F=A+B+A+C(F=A+B+A+C(又称为或非表达式又称为或非表达式)与或非表达式：与或非表达式：L=AB+AC(L=AB+AC

8、(先与再或最后非先与再或最后非)二二.逻辑函数代数法化简逻辑函数代数法化简 1.1.消去多余项：消去多余项：2.2.消去合并项：消去合并项：3.3.消去因子消去因子:4.4.添加项配项：添加项配项：对较简单逻辑函数用代数化简很方便。对较复杂的逻辑对较简单逻辑函数用代数化简很方便。对较复杂的逻辑函数化简不但要求熟练掌握逻辑代数的基本公式，而且函数化简不但要求熟练掌握逻辑代数的基本公式，而且需要一些技巧，特别是较难掌握获得代数化简后的最简需要一些技巧，特别是较难掌握获得代数化简后的最简逻辑表达式的方法。逻辑表达式的方法。例例 F=AB+ABC(E+F)F=AB+ABC(E+F)例例 F=ABC+A

9、BC F=ABC+ABC 例例 F=AB+AC+BCF=AB+AC+BC例例 F=AB+BC+BC+ABF=AB+BC+BC+AB=AB=AB=A(BC+BC)=A=AB+(A+B)C=AB+ABC=AB+C=AB+BC+BC+AB+AC=AB+BC+BC+AB+AC=AB+BC+AC=AB+BC+AC最简与或表达式有两个特点最简与或表达式有两个特点:1与项与项(即乘积项即乘积项)的个数最的个数最少少;2每个与项中变量的个数最少。每个与项中变量的个数最少。例：根据真值表写出函数例：根据真值表写出函数T1和和T2的与或表达式和与非表达式。的与或表达式和与非表达式。解：解：输入输入A B CA B

10、 C输出输出T T1 1输出输出T T2 20 0 00 0 00 0 10 0 10 1 00 1 00 1 10 1 11 0 01 0 01 0 11 0 11 1 01 1 01 1 11 1 11 11 11 10 00 00 00 00 00 00 00 00 00 01 11 11 1CBACBACBAT1 CBACBACBAT1 ABCCABCBAT2 ABCCABCBAT2 3.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法一一.最小项最小项特点特点：1.1.每个乘积项都有三个变量，原、反变量均可；每个乘积项都有三个变量，原、反变量均可；2.2.每个乘积项每个乘积项中中，同

11、一，同一原、反变量只能出现原、反变量只能出现1 1次；次；3.n3.n个原变量的最小项最多有个原变量的最小项最多有2 2n n个。个。性质性质：对变量的任一取值，只有一个最小项为对变量的任一取值，只有一个最小项为1 1；两个最小项之积为两个最小项之积为0 0；全部最小项之和为；全部最小项之和为1 1。在含有三个输入变量在含有三个输入变量A、B、C的逻辑函数中，的逻辑函数中，A、B、C的所有取值可以构成的所有取值可以构成8种不同状态，用变量表示为种不同状态，用变量表示为8个乘个乘积项：积项：ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC，它们统称为逻辑函数的它们统称为逻辑函数的最

12、小项最小项。二二.最小项最小项(标准标准)表达式表达式对于某种逻辑关系，用真值表来表示是唯一的，用前对于某种逻辑关系，用真值表来表示是唯一的，用前面讨论的逻辑表达式来表示可以有多个表达式。如果用最小面讨论的逻辑表达式来表示可以有多个表达式。如果用最小项之和组成的表达式来表示，也是唯一的。项之和组成的表达式来表示，也是唯一的。用最小项表示的用最小项表示的逻辑函数称为最小项逻辑函数称为最小项(标准标准)表达式，其表达式是唯一的。表达式，其表达式是唯一的。例：例：F=ABC+ABC+ABC最小项表达式还可简写为最小项表达式还可简写为F=mi，式中，式中mi表示最小项，表示最小项，下标下标i是最小项值

13、为是最小项值为1时对应变量的时对应变量的十进制数值十进制数值。上例可写为上例可写为F（A,B,C）=m1+m6+m7 =m(1,6,7)=(1,6,7)(1)每方格代表一个最小项，方格内的数字表示相应最小项每方格代表一个最小项，方格内的数字表示相应最小项的下标，最小项的的下标，最小项的逻辑取值逻辑取值填入相应方格；填入相应方格；(2)卡诺图方格外的字母和数字为输入变量及其相应变量取卡诺图方格外的字母和数字为输入变量及其相应变量取值，变量取值的排序不能改变；值，变量取值的排序不能改变；(3)相邻的相邻的2个方格称为逻辑相邻项（简称个方格称为逻辑相邻项（简称相邻项相邻项），相邻项），相邻项中只有中

14、只有1对变量对变量互为反变量互为反变量，而其余变量完全相同。，而其余变量完全相同。(4)卡诺图一列中最上和最下卡诺图一列中最上和最下2个方格是个方格是相邻项相邻项；一行中最左；一行中最左和最右和最右2个方格是个方格是相邻项相邻项。三三.卡诺图卡诺图23 B A010101 BC A00 01 11100211306574 CD AB 00011110000111102130657414131512109118二变量三变量四变量1.1.由逻辑函数真值表直接画出的卡诺图由逻辑函数真值表直接画出的卡诺图 四四.逻辑函数的卡诺图表示逻辑函数的卡诺图表示 真值表输入变量每一行对应一个最小项，即对应卡真值

15、表输入变量每一行对应一个最小项，即对应卡诺图中的一个方格，将最小项取值（即输出变量取值）诺图中的一个方格，将最小项取值（即输出变量取值）填入卡诺图对应方格中，即构成相应的卡诺图。填入卡诺图对应方格中，即构成相应的卡诺图。2130657400101110 BC A00011110012.由逻辑函数表达式画出的卡由逻辑函数表达式画出的卡诺图诺图 四四.逻辑函数的卡诺图表示逻辑函数的卡诺图表示 10011011例：画出例：画出F=AB+C+ABC 的卡诺图。的卡诺图。解：先写标准表达式，再画卡诺图解：先写标准表达式，再画卡诺图 F=AB(C+C)+C(A+A)(B+B)+ABC =ABC+ABC+A

16、BC+ABC+ABC =m(7,6,4,2,0)直接画出卡诺图直接画出卡诺图 BC A0001111001 BC A0001111001A=1B=1C=0C=0A=0B=110011011 BC A0001111001 如果逻辑函数中含有与非项或如果逻辑函数中含有与非项或或非项，应先利用或非项，应先利用反演律去掉，反演律去掉，再按上述方法再按上述方法画出卡诺图画出卡诺图。例。例CBACABFCBACAB五五.卡诺图化简卡诺图化简1.化简依据：化简依据：图中任何图中任何2=21个为个为1的相邻项可以合并为的相邻项可以合并为1个与项，并消去个与项，并消去一一个变量；个变量；任何任何4=22个为个为

17、1的相邻项可以合并为的相邻项可以合并为1个与项，消去个与项，消去2个变量；个变量；任何任何2K个为个为1的相邻项可以合并为的相邻项可以合并为1个与项，消去个与项，消去K个变量。个变量。2.化简步骤化简步骤:将为将为1的相邻项（方格）尽可能多的圈出，每个圈内的相邻项（方格）尽可能多的圈出，每个圈内1的个的个数满足数满足2k；方格方格1可以重复使用可以重复使用,每个圈要有新每个圈要有新1；必须圈完所有的必须圈完所有的1，独立，独立1对应一个最小项；对应一个最小项；将所有包围圈内的最小项合并成对应与项，然后相加得到将所有包围圈内的最小项合并成对应与项，然后相加得到最简与或表达式。最简与或表达式。例：

18、例：用卡诺图化简下列函数：用卡诺图化简下列函数：F1=ABC+ABC+ABC+ABC F2=ABC+ACD+ABCD+ABC BC A00011110011 11 11 11 1F F1 1=B BF2=BD+BC+ACD1111111 CD AB 0001111000011110练习练习化简下列逻辑函数为最简与或函数式：化简下列逻辑函数为最简与或函数式：F1=XYZ+XY+XYZ F2=BCD+AC+AB+BCD F3=ABC+ABC+ABC+ABC 解：解：1 YZ X00 01 11 10011 11 11 11 1F1=(7,5,4,6)=XF3=(4,5,6,7)1 11 11 11

19、 1 BC A00 01 11 1001F2=AC+BC=A CD AB 00011110000111101 11 11 11 11 11 11 11 1六六.含有无关项的化简含有无关项的化简 约束项约束项(不允许或不会出现的最小项不允许或不会出现的最小项)和任意项和任意项(最小最小项可任意取值项可任意取值)统称为无关项。常用统称为无关项。常用dd表示。表示。无关项在卡诺图中用无关项在卡诺图中用表示，既可看作表示，既可看作1 1，也可看作，也可看作0 0，视具体情况而定。例如视具体情况而定。例如：F(A,B,C,D)=m(4,6,8,9,10,12,13,14)+d(0,2,5)CD AB 0

20、001111000011110205137151164141312109811 1 1 1 111F=D+AC00000例：用例：用8421BCD码表示的码表示的1位十进制数，位十进制数，当十进制数为奇数时，电路输出为当十进制数为奇数时，电路输出为1，当十进制数为偶数时，电路输出为当十进制数为偶数时，电路输出为0。试写出上述逻辑关系的最简与或表试写出上述逻辑关系的最简与或表达式达式 解：解：CD AB 000111100001111011 1 1 1 0 0 0 0 0 0F=D十进制数十进制数输入变量输入变量A B C DA B C D输输出出F F0 01 12 23 34 45 56 6

21、7 78 89 90 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 10 0 1 00 0 1 00 0 1 10 0 1 10 1 0 00 1 0 00 1 0 10 1 0 10 1 1 00 1 1 00 1 1 10 1 1 11 0 0 01 0 0 01 0 0 11 0 0 10 01 10 01 10 01 10 01 10 01 1 无无 关关 项项1 0 1 01 0 1 01 0 1 11 0 1 11 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 0 11 1 1 01 1 1 01 1 1 11 1 1 1F(A,B,C,D)=m(1,3,5,7,9)+d(11

22、,12,13,14,15)00000F=AD+BCD3.3 逻辑函数门电路的实现逻辑函数门电路的实现 逻辑函数经过化简之后，得到了最简逻辑表达式。根逻辑函数经过化简之后，得到了最简逻辑表达式。根据逻辑表达式，就可采用适当的逻辑门来实现逻辑函据逻辑表达式，就可采用适当的逻辑门来实现逻辑函数。数。逻辑函数的实现是通过逻辑电路图表现出来的。逻辑逻辑函数的实现是通过逻辑电路图表现出来的。逻辑电路图是由逻辑符号以及其它电路符号构成的电路连电路图是由逻辑符号以及其它电路符号构成的电路连接图。逻辑电路图是除真值表，逻辑表达式和卡诺图接图。逻辑电路图是除真值表，逻辑表达式和卡诺图之外，表达逻辑函数的另一种方法

23、。逻辑电路图更接之外，表达逻辑函数的另一种方法。逻辑电路图更接近于逻辑电路设计的工程实际。近于逻辑电路设计的工程实际。由于采用的逻辑门不同，实现逻辑函数的电路形式也由于采用的逻辑门不同，实现逻辑函数的电路形式也不同。不同。例：已知某电路的输入例：已知某电路的输入A A、B B、C C及输出及输出F F波形如图所示，波形如图所示，试分析该电路的逻辑功能，（试分析该电路的逻辑功能，（1 1）用与非门画出其等效的）用与非门画出其等效的逻辑电路，（逻辑电路，（2 2）用或非门画出其等效的逻辑电路。）用或非门画出其等效的逻辑电路。解解：1)在波形图标出对应的逻辑值在波形图标出对应的逻辑值 2)写出逻辑表

24、达式并化简写出逻辑表达式并化简 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0BCABBCABCABABCBCAF3)画出逻辑电路画出逻辑电路CABCAB)(例例:用逻辑门实现逻辑函数用逻辑门实现逻辑函数F=AB+AC+BC。解：可用解：可用3个与门和个与门和1个或门，连接成先个或门，连接成先“与与”后后“或或”的逻的逻辑电路。辑电路。若用若用4个与非门或个与非门或4个或非门也可实现该逻辑运算个或非门也可实现该逻辑运算BCACABF=A

25、B+AC+BC=若用若用4个与非门实现该个与非门实现该逻辑函数逻辑函数 在所有基本逻辑门中，与在所有基本逻辑门中，与非门是工程实际中大量应非门是工程实际中大量应用的逻辑门，单独使用与用的逻辑门，单独使用与非门可以实现任何组合的非门可以实现任何组合的逻辑函数。逻辑函数。练习练习2 CD AB 00011110000111101 11 11 11 11 11 11 11 1 求最简与或函数式并用与非门实现，画出逻辑图。求最简与或函数式并用与非门实现，画出逻辑图。F(A,B,C,D)=m(0,2,3,6,7,8,14,15)解解：F=BC+AC+BCD=BC AC BCD&ABCDF YZWX011

26、110000111101 11 11 11 11 11 1用四个与非门实现逻辑函数，画出逻辑图。用四个与非门实现逻辑函数，画出逻辑图。F=WXZ+WYZ+XYZ+WXYZ，d=WYZ 解解：3F=XZ+XY=XZ XY&XYZF1 11 11 1用两个或非门实现逻辑函数，画出逻辑图，允许反变量输用两个或非门实现逻辑函数，画出逻辑图，允许反变量输入。入。F=ABC+ABD+ABD，d=ABC+ABD 解解：4=B+D+A+C=B+D+A+CACDF11BF=B+ACDF=B+ACD=B+A+C+D0 00 00 00 00 00 00 0 CDAB01111000011110001 11 1F=

27、BD+AB+BC=B(D+A+C)F=BD+AB+BC=B(D+A+C)小结小结 1逻辑代数是分析和设计逻辑电路的工具，一个逻辑问逻辑代数是分析和设计逻辑电路的工具，一个逻辑问题可用逻辑函数来描述。题可用逻辑函数来描述。2.逻辑函数可用真值表、逻辑表达式、卡诺图和逻辑电路逻辑函数可用真值表、逻辑表达式、卡诺图和逻辑电路图表示。图表示。2用真值表和最小项表达式表示的逻辑函数是唯一的。用真值表和最小项表达式表示的逻辑函数是唯一的。3运用逻辑代数的基本运算可以对逻辑函数进行化简和运用逻辑代数的基本运算可以对逻辑函数进行化简和变换。变换。4 利用卡诺图可将逻辑函数化简为最简与或表达式利用卡诺图可将逻辑函数化简为最简与或表达式最小项表达式。最小项表达式。