第一节消元法课件.ppt

1、现在来讨论一般线性方程组现在来讨论一般线性方程组.所谓一般线性所谓一般线性方程组是指形式为方程组是指形式为)1(,22112222212111212111snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的方程组，其中的方程组，其中 x1,x2,xn 代表代表 n 个未知量，个未知量，s 是方程的个数，是方程的个数，aij(i=1,2,s,j=1,2,n)称称为方程组的为方程组的，Bi(i=1,2,s)称为称为.方程中未知量的个数方程中未知量的个数 n 与方程的个数与方程的个数 s 不一定相等不一定相等.系数系数 aij 的第一个指标的第一个指标 i 表示它在第表示它在第 i 个方

2、程，第二个方程，第二个指标个指标 j 表示它是表示它是 xj 系数系数.所谓方程组所谓方程组k1,k2,kn 组成的有序数组组成的有序数组(k1,k2,kn)，当，当x1,x2,xn 分别用分别用 k1,k2,kn 代入后，代入后，(1)中每中每个等式都变成恒等式个等式都变成恒等式.方程组方程组(1)的解的全体称为的解的全体称为的一个的一个就是指由就是指由 n 个数个数它的解集合它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为相同的解集合，它们就称为.显然，如果

3、知道了一个线性方程组的全部系数显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组确切地说，线性方程组)2(21222221111211ssnssnnbaaabaaabaaa来表示来表示.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组性方程组.可以用下面的矩阵可以用下面的矩阵 用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组(3)22(2)2(1)132232121321xxxxxxxx 用消元法求解，其步骤如下：用消元法求解，其步骤如下：(3)22(2)1322(1)232

4、132121xxxxxxxx 方程方程(1)乘以乘以-2 加到方程加到方程(2);交换方程交换方程(1)与与(2),得得方程方程(1)乘以乘以 1 加到方程加到方程(3),得得(5)0(4)334(1)2323221xxxxxx 交换方程交换方程(4)与方程与方程(5),得得(4)334(5)0(1)2323221xxxxxx 方程方程(5)乘以乘以-4 加到方程加到方程(4),得得(6)3(7)3(1)23221xxxx 方程方程(6)加到方程加到方程(5),得得(6)3(5)0(1)233221xxxxx 方程方程(7)加到方程加到方程(1),方程方程(6)乘乘331321xxx 例例 1

5、 中所用的消元法的过程中所用的消元法的过程,实际上是对方实际上是对方以以-1 得得程组施行如下的运算或变换：程组施行如下的运算或变换：.消元的过程就是反复施行初等变换的过程消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下下面证明，面证明，.只证变换只证变换 对于方程组对于方程组)1(,22112222212111212111snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa进行第二种初等变换进行第二种初等变换.为简便起见，不妨把第二个为简便起见，不妨把第二个方程的方程的 k 倍加到第一个方程得到新方程组倍加到第一个方程得到新方程组)2(,)()()(22112222212121212221

6、212111snsnssnnnnnbxaxaxabxaxaxakbbxkaaxkaaxkaa现在设现在设(c1,c2,cn)是是(1)的任一解的任一解.因因(1)与与(2)的后的后 s-1 个方程是一样的，所以个方程是一样的，所以(c1,c2,cn)满足满足(2)的后的后 s-1 个方程个方程.又又(c1,c2,cn)满足满足a11c1+a12c2+a1ncn=b1,a21c1+a22c2+a2ncn=b2.把第二式的两边乘以把第二式的两边乘以 k，再与第一式相加，即为，再与第一式相加，即为(a11+ka21)c1+(a12+ka22)c2+(a1n+ka2n)cn=b1+kb2 故故(c1,

7、c2,cn)又满足又满足(2)的第一个方程，因而是的第一个方程，因而是(2)的解的解.类似地可证类似地可证(2)的任一解也是的任一解也是(1)的解的解.这就证明了这就证明了(1)与与(2)是同解的是同解的.(1)的前两个方程的前两个方程对于方程组对于方程组(1)，首先检查，首先检查 x1 的系数的系数.如果如果 x1的系数全为零，那么方程组的系数全为零，那么方程组(1)对对 x1 没有任何限制没有任何限制,x1 就可以取任意值，而方程组就可以取任意值，而方程组(1)可以看作可以看作 x2,xn的方程组来解的方程组来解.如果如果x1 的系数不全为零，那么利用的系数不全为零，那么利用初等变换初等变

8、换 ，可以设，可以设 a11 0.利用初等变换利用初等变换，分别地把第一个方程的分别地把第一个方程的111aai倍加到第倍加到第 i 个方程个方程(i=2,s).于是方程组于是方程组(1)就变成就变成)3(,222222211212111snsnsnnnnbxaxabxaxabxaxaxa其中其中.,2,2,1111njsiaaaaajiijij这样，解方程组这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组的问题就归结为解方程组)4(,2222222snsnsnnbxaxabxaxa的问题的问题.显然，显然，(4)的一个解，代入的一个解，代入(3)的第一个方的第一个方程就定出程就定出 x1 的值，这

9、就得出的值，这就得出(3)的一个解；的一个解；而而(3)的解显然都是的解显然都是(4)的解的解.这就是说，这就是说，对对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个步步作下去，最后就得到一个方程组方程组.为了为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为讨论起来方便，不妨设所得的方程组为)5(.00,00,0,1222222111212111rrnrnrrrnnrrnnrrddxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc其中其中 cii 0,i=1,2,r.方程组方程组“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现这样一些恒等式可能不出现，也可能出现

10、,这时去掉它们也不影响这时去掉它们也不影响(5)的解的解.而且而且(1)与与(5)是是同解的同解的.下面讨论方程组下面讨论方程组(5)的解的情况的解的情况.如果如果(5)中有方程中有方程 0=dr+1，而，而 dr+1 0.这时这时不管不管 x1,xn 取什么值都不能使它成为等式取什么值都不能使它成为等式.故故(5)无解，因而无解，因而(1)无解无解.当当 dr+1=0 或或(5)中根本没有中根本没有“0=0”的方程的方程时，分两种情况：时，分两种情况：.00,00,0,1222222111212111rrnrnrrrnnrrnnrrddxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc(5)(5)中的

11、中的 这时阶梯形方程组为这时阶梯形方程组为)6(,2222211212111nnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc其中其中 cii 0,i=1,2,n.由最后一个方程开始，由最后一个方程开始，xn,xn-1,x1 的值就可以逐个地唯一地决定了的值就可以逐个地唯一地决定了.此此时方程组有唯一的解时方程组有唯一的解.用消元法把线性方程组化成阶梯形方用消元法把线性方程组化成阶梯形方程，并由此判断方程组是否有解，若有解，求出其程，并由此判断方程组是否有解，若有解，求出其解解.522,4524,132321321321xxxxxxxxx经过一系列初等变换后，它变成了如下经过一系列初等变换后，它变

12、成了如下.6,42,132332321xxxxxxx3=-6 代入第二个方程解得代入第二个方程解得 x2=-1;x2=-1 代入第一个方程解得代入第一个方程解得 x1=9.由于在阶梯形方程组中由于在阶梯形方程组中,有效方程的个数有效方程的个数 r 与与方程的未知量的个数方程的未知量的个数 n 相等，所以有唯一解相等，所以有唯一解.一解为一解为(9,-1,-6).把把再把再把 x3=-6，故方程组的唯故方程组的唯 这时阶梯形方程组为这时阶梯形方程组为,11,2211,222221111,11212111rnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxc

13、xc其中其中 cii 0,i=1,2,r.把它变形，得把它变形，得,11,211,222222111,111212111nrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrrxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc由此可见，任给由此可见，任给 xr+1,xn 一组值，就唯一一组值，就唯一地确定地确定 x1,x2,xr 的值，也就是得到方程组的一的值，也就是得到方程组的一个解个解.一般地，一般地，用消元法解线性方程组的整个过程，总起来用消元法解线性方程组的整个过程，总起来说就是：说就是：把以上结果应用到齐次线性方程组，就有把以上结果应用到齐次线性方程组，就有 0,0,022112222121

14、1212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa显然，方程组在化成阶梯形方程组之显然，方程组在化成阶梯形方程组之后，方程的个数不会超过原方程组中方程的个数，后，方程的个数不会超过原方程组中方程的个数，即即由由 r n 得知，它的解不是唯一的，因而必有非零得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解解.如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就其本上确定了项，那么这个线性方程组就其本上确定了.确切地确切地说，线性方程组说，线性方程组,22112222212111212111snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxa

15、bxaxaxa可以用下面的矩阵可以用下面的矩阵ssnssnnbaaabaaabaaaA21222221111211来表示来表示,即对于给定的线性方程组可唯一地确定矩即对于给定的线性方程组可唯一地确定矩阵阵;A反之给定矩阵反之给定矩阵A可唯一地确定线性方程可唯一地确定线性方程组组.这也就是说，这也就是说，.于是我们引进下述概念于是我们引进下述概念 ,22112222212111212111snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxasnssnnaaaaaaaaaA212222111211ssnssnnbaaabaaabaaaA21222221111211A显然，用初等变换化方程

16、组成阶梯形方程组就显然，用初等变换化方程组成阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵.因因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，再回到阶梯形方程组去还是无解，在有解的情形，再回到阶梯形方程组去求解求解.用矩阵的初等行变换法判断方程组是否用矩阵的初等行变换法判断方程组是否有解有解.12,34,32,1223,1453543215432154321543214321xxxxxxxxxx

17、xxxxxxxxxxxxxx在本节的最后，我们来研究消元法的几何意义在本节的最后，我们来研究消元法的几何意义.以以 3 元线性方程组为例元线性方程组为例.设有设有 3 元线性方程组元线性方程组333323122322211131211,bzayaxabzayaxabzayaxa并设其有唯一解并设其有唯一解 x=a,y=b,z=c.我们知道，我们知道，3 元线性方程在几何上表示一个平元线性方程在几何上表示一个平面，因此，上述线性方程组的几何意义是：这三个面，因此，上述线性方程组的几何意义是：这三个个平面交于一点个平面交于一点 P(a,b,c).从另外一个角度来说，从另外一个角度来说，也就是，过空

18、间点也就是，过空间点 P(a,b,c)可以作无穷多个平面，可以作无穷多个平面，从这无穷多个平面中任选三个就可以确定空间点从这无穷多个平面中任选三个就可以确定空间点P.而在这些平面中以平面而在这些平面中以平面 x=a,y=b,z=c 的方程最的方程最简单，它们的位置也最特殊，因为它们平行于三个简单，它们的位置也最特殊，因为它们平行于三个坐标面坐标面.由此可看出消元法的几何意义是：由此可看出消元法的几何意义是：例如例如)1(,22,22,3zyxzyxzyx显然显然,该方程组有唯一解该方程组有唯一解,且为且为 x=y=z=1.P(1,1,1).方程组的几何意义是这三个平面交于一点方程组的几何意义是这三个平面交于一点 方程组中的每一个方程表示一个空间平面方程组中的每一个方程表示一个空间平面,故该故该上述上述设有三元线性方程组设有三元线性方程组如图如图 3-1.P(1,1,1)L,22,22,3zyxzyxzyx方程组方程组的解的解111zyx所表示所表示的点如图的点如图 3-2P(1,1,1)所示所示.消元的过程即为消元的过程即为,22,22,3zyxzyxzyx111zyx也即也即