1、1创新设计创新设计考点聚焦突破第四课时导数与函数的零点考点一判断零点的个数【例1】(2020潍坊检测)已知函数f(x)ln xx2ax,aR.(1)证明ln xx1;(2)若a1,讨论函数f(x)的零点个数.(1)证明令g(x)ln xx1(x0),则g(1)0,2创新设计创新设计考点聚焦突破可得x(0,1)时,g(x)0,函数g(x)单调递增;x(1,)时,g(x)0,函数f(x)单调递增;在(x0,)上,f(x)1时,函数f(x)有两个零点.当a1时,x01,f(x)maxf(1)0,此时函数f(x)只有一个零点x1.当a1时,f(1)a10,4创新设计创新设计考点聚焦突破规律方法1.利用
2、导数求函数的零点常用方法:(1)构造函数g(x)(其中g(x)易求,且g(x)0可解),利用导数研究g(x)的性质,结合g(x)的图象,判断函数零点的个数.(2)利用零点存在定理,先判断函数在某区间有零点,再结合图象与性质确定函数有多少个零点.2.根据参数确定函数零点的个数,解题的基本思想是“数形结合”,即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等),作出函数的大致图象,然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数,或者两个相关函数图象交点的个数,基本步骤是“先数后形”.5创新设计创新设计考点聚焦突破(1)若a3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.6创新设计创新设计考
3、点聚焦突破故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.7创新设计创新设计考点聚焦突破考点二根据零点个数求参数的值(范围)【例2】函数f(x)axxln x在x1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间;(2)若yf(x)m1在定义域内有两个不同的零点,求实数m的取值范围.解(1)函数f(x)axxln x的定义域为(0,).f(x)aln x1,因为f(1)a10,解得a1,当a1时,f(x)xxln x,f(x)ln x,令f(x)0,解得x1;令f(x)0,解得0 x1.8创新设计创新设计考点聚焦突破所以f(x)在x1处取得极小值,f(x)的单调递增区间
4、为(1,),单调递减区间为(0,1).(2)yf(x)m1在(0,)内有两个不同的零点,可转化为yf(x)与ym1图象有两个不同的交点.由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,f(x)minf(1)1,9创新设计创新设计考点聚焦突破当0 xe时,f(x)x(1ln x)e时,f(x)0.当x0且x0时,f(x)0;当x时,显然f(x).由图象可知,1m10,即2m1.所以m的取值范围是(2,1).10创新设计创新设计考点聚焦突破规律方法1.函数零点个数可转化为图象的交点个数,根据图象的几何直观求解.2.与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值
5、点,并结合特殊点判断函数的大致图象,进而求出参数的取值范围.11创新设计创新设计考点聚焦突破(1)求f(x)的单调递减区间;(2)已知函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.当a0时,f(x)0,综上可得:a0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,),所以实数a的取值范围是(2e,).13创新设计创新设计考点聚焦突破考点三函数零点的综合问题【例3】设函数f(x)e2xaln x.当a0时,f(x)0,f(x)没有零点;所以f(x)在(0,)上单调递增.14创新设计创新设计考点聚焦突破故当a0时,f(x)存在唯一零点.(2)证明由(1),可设f(x)在(0,)上的唯一零点为x0,当x(
6、0,x0)时,f(x)0.故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增,所以当xx0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).15创新设计创新设计考点聚焦突破16创新设计创新设计考点聚焦突破【训练3】(2019全国卷)已知函数f(x)2sin xxcos xx,f(x)为f(x)的导数.(1)证明:f(x)在区间(0,)存在唯一零点;(2)若x0,时,f(x)ax,求a的取值范围.(1)证明设g(x)f(x),则g(x)cos xxsin x1,g(x)xcos x.17创新设计创新设计考点聚焦突破故g(x)在(0,)存在唯一零点.所以f(x)在区间(0,)存在唯一零点.(2)解由题设知f()a,f()0,可得a0.由(1)知,f(x)在(0,)只有一个零点,设为x0,当x(0,x0)时,f(x)0;当x(x0,)时,f(x)0,所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,)上单调递减.又f(0)0,f()0,所以当x0,时,f(x)0.又当a0,x0,时,ax0,故f(x)ax.因此,a的取值范围是(,0.18本节内容结束
