第五节极值与最值第六节函数图像的描绘描述课件.ppt

1、二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 第五节第五节 函数的极值与 最大值最小值2x1x 1,Ux 对于对于1(),xU x )()(1xfxf 均成立均成立.2,Ux 对于对于 2,xUx)()(2xfxf 均成立均成立.oxyab)(xfy 4x5x6x 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,1.极值的定义极值的定义有有)()(0 xfxf（或（或 ）0()()f xf x 设函数设函数 在点在点 的某邻域的某邻域 内有定义，内有定义，()()f x0 x0()()U x内的任何一点内的任何一点 如果对于去心邻域如果对于去心

2、邻域)U(0ox,x那么就称那么就称 是函数是函数 的一个的一个极大值极大值（或（或极小值极小值).).)(0 xf()()f x值的点称为值的点称为极值点极值点.使函数取得极使函数取得极一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法说明：说明：极值与最值的关系极值与最值的关系区别：区别：极值概念是局部性的极值概念是局部性的.最值概念是全局性的最值概念是全局性的.极值只能在内部取得极值只能在内部取得,不可在端点处取得不可在端点处取得.最值可以在内部取得最值可以在内部取得,也可在端点处取得也可在端点处取得.联系：联系：如果最值在区间内部取得如果最值在区间内部取得,则必在极值点处取得则必在极值点处取得.

3、极大极大(小小)值唯一吗值唯一吗?极大值一定大于等于极大值一定大于等于极小值吗极小值吗?oxyab)(xfy 1x2x4x5x6x注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.31292)(23xxxxf例如例如1x为极大值点,2)1(f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小值点,12xoy12定理定理1 12.极值存在的条件极值存在的条件(1)必要条件必要条件说明说明:3xy oxy驻点驻点1 11oxy|xy 可导函数可导函数:使得使得 的点称为函数的点称为函数 的驻点的驻点.0()()fx

4、 ()()f x可疑极值点可疑极值点 驻点驻点0)(0 xxxf处取得极值，处取得极值，处可导，且在处可导，且在在点在点设函数设函数则则0()0.fx 极值点极值点非驻点肯定不是极值点，非驻点肯定不是极值点，驻点不一定是极值点驻点不一定是极值点(2)充分条件充分条件设函数设函数 在在 处连续，且在处连续，且在 的某去心邻域的某去心邻域内可导内可导.)(xf0 x0 x),(0 xUo （1 1）若若 时，时，而，而 时，时，),(00 xxx 0)(xf),(00 xxx0)(xf则则 在在 处取得极大值；处取得极大值；)(xf0 x（3 3）若）若 时，时，的符号保持不变，则的符号保持不变，

5、则 在在 处处),(0 xUxo)(xf)(xf0 x没有极值没有极值.定理定理2 2（第一充分条件）（第一充分条件）xyo0 x -+xyo0 x+-（2 2）若）若 时，时，而，而 时，时，),(00 xxx 0)(xf),(00 xxx0)(xf则则 在在 处取得极小值；处取得极小值；)(xf0 x+xyo0 xxyo0 x-如何判断驻点是否极值点？如何判断驻点是否极值点？00(,)xxx当时，()0fx00()()f xf xxx()f00()()f xf x0,即：0()()f xf x00(,)xx x当时，()0fx00()()f xf xxx()f00()()0,f xf x即

6、：0()()f xf x0()()f xf x0 x在 的左右两侧有()f x为的一个极大值证明证明 (1)0()f xoxy11 说明说明:若若 在点在点 不连续，则结论未必成立不连续，则结论未必成立.)(xf0 x例如例如:021001xxxy,|2在在 处不连续处不连续,0 x 在在 内内,1,0)0y ,yx 在在 内内,(0,10y ,yx 在在 处取得极小值处取得极小值.0 x 定理定理2 2(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)()1(0 xf若则 在点 取极大值;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点

7、 取极小值.)(xf0 x证证:(1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)(xf时，当00 xxx,0)(xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2)类似可证.说明说明 当当 时，时，在在 处可能有极值也可能没有极值处可能有极值也可能没有极值.0)(0 xf0 x)(xf例如例如4 yx0 x是极大值点是极大值点4yx 0 x是极小值点是极小值点3yx 0 x不是极值点不是极值点xoy4yx xoy4yx 212yx 212yx 6yx 3xy

8、oxy()fx3.极值的求法极值的求法步骤步骤:求函数的导数求函数的导数求出区间内所有的驻点求出区间内所有的驻点12,nx xx判断驻点是否极值点判断驻点是否极值点求出极大值或极小值求出极大值或极小值()fx261812xx6(1)(2)xx为极大点为极小点31292)(23xxxxf例求：例求：12xoy12极值极值()0fx22x 11x 121,2xx1,x 当时()0fx()0fx()0fx2x 当时12x当时(1)2f极大(2)1f极小解：解：令令得：得：例例 求函数求函数32)1()(xxxf的极值.解解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx2)求驻点令,0)(

9、xf得;521x令,)(xf得02x3)列表判别x)(xf)(xf0520033.0)0,(),0(52),(520 x是极大点，其极大值为0)0(f是极小点，其极小值为52x33.0)(52f例例.求函数1)1()(32 xxf的极值.解解:1)求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22 xxxf2)求驻点令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx3)判别 因,06)0(f故 为极小值;0)0(f又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别.()1fxx 由于在左右邻域内不变号.1)(没有极值在xxf1xy11cos+cos3(3)3xx=cos+cos3xx)3(f1 02即2

10、得=(cos+cos3()fxxxcos+cos3(2)xx()3f01()=sin+sin333332f3=3x并求此极值。为何值时它是极大值还是极小值？有极值？处在解解：1()sinsin33f xxx()fx由题意：=cos+cos(333)03sin 33()2sin3sinsin323xx 3 所以在=3x处有极大值例：例：某地区拟建一防空洞某地区拟建一防空洞,它要求它要求:防空洞的截防空洞的截面要建成矩形加半圆面要建成矩形加半圆,截面的面积为截面的面积为5 5平方米平方米,问底宽为多少时才能保证截面的周长最小问底宽为多少时才能保证截面的周长最小,从从而使建造时所用的材料最省？而使建

11、造时所用的材料最省？问题：问题：归结为：归结为：求某一函数（也称为求某一函数（也称为目标函数）的最值问题目标函数）的最值问题二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题假定函数假定函数 ：)(xf在闭区间在闭区间 上是连续的；上是连续的；,ba(1)(1)在开区间在开区间 内除有限个点外可导且内除有限个点外可导且至至),(ba(2)(2)多有有限个驻点多有有限个驻点.1 1、最值的求法、最值的求法驻点驻点端点端点最值点最值点极值点极值点0 xxyo)(xfy ba求最值的步骤：求最值的步骤：计算导数计算导数 ，求出，求出 在在 内的内的驻点驻点)(xf),(ba)(xf 计算函数计算函数 在在驻点

12、驻点、端点端点处的函数值；处的函数值；)(xf如果函数可导：如果函数可导：欲求最值先求导，端点驻点很重要，欲求最值先求导，端点驻点很重要，代入计算需仔细，对应值中比大小。代入计算需仔细，对应值中比大小。mxxx,21,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf maxM,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf minm,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf(3)(3)最值为：最值为：2()41 3,3f xxx例：求函数在上的最大最小值。()24,fxx解：-()0fx令=，x得=2.(2)3,f 计算得(3)22,f(3)2f max(3)22,

13、f所以：min(2)3f x0yab0 x)(xfy y0a0 xbx)(xfy 那么它也是那么它也是 的最值点的最值点.)(xf在一个区间内可导且只有一个驻点在一个区间内可导且只有一个驻点 ,)(xf0 x注注1 1注注2 2个驻点个驻点 ，0 x若若 在定义区间内部只有一在定义区间内部只有一)(xf定定 是最大值或最小值是最大值或最小值.)(0 xf那么不必讨论那么不必讨论)(0 xf是不是极值，是不是极值，在实际问题中，由问题的性质就可断定可导函数在实际问题中，由问题的性质就可断定可导函数 确有最大值或最小值确有最大值或最小值.)(xf就可断就可断 费与公路每公里货运的运费之比为费与公路

14、每公里货运的运费之比为 ，5:3从供应站从供应站 运到工厂运到工厂 的运费最省，的运费最省，CB问问 点应选在何点应选在何Dkm100km20例例 铁路线上铁路线上 段的距离为段的距离为 ，km100ABAB工厂工厂 距距 为为 ，CAkm20垂直于垂直于 。ABACC为了运输需要，要在为了运输需要，要在 线上选定一线上选定一AB点点 向工厂修筑一条公路。向工厂修筑一条公路。DD 为了使货物为了使货物处？处？已知铁路每公里货运的运已知铁路每公里货运的运 解：设解：设(),ADx km那那么么100,DBx22220400.CDxx设铁路上每公里的运费是设铁路上每公里的运费是3,k公路上每公里的

15、运费是公路上每公里的运费是5.k设从设从 点到点到 点需要的总运费为点需要的总运费为 BC,y那么那么53yk CDk DB254003100()ykxkx0100()x253400 xykx 令令0,y 得得15().xkm由于由于2015100140038050015,xxxyk yk yk所以，当所以，当 时，总运费最省。时，总运费最省。15ADkm当当 在在 的左侧临近时，的左侧临近时，x15x 0()fx当当 在在 的右侧临近时，的右侧临近时，x15x 0()fxa如图：有一块边长为a的正方形铁皮，x从其各角截去边长为 的小正方形，做成一个无盖的容器。x问截去小正方形的边长 为多少时

16、？使得该容器的体积最大。,x解：小正方形的边长 无盖容器的体积为：(0)2ax2()(2)V xaxx下面归结为求目标函数02ax在的最大值2()(2)Vxaxx(6)(2)ax ax()0V x令6ax 则2ax()舍去max()6aV所以2(2)66aaa 3227a2()(2)V xaxxx2axx例：若某产品的售价实行浮动，规定不超过150件时，每件售价为200元，多于150件时，每超过一件，每件售价比原来减少1元问销售多少件产品收益最大？解 设Q为件数，R为收益，P为价格，则200,0150()200(150),150QP QQQ200,0150()200(150),150QQRQQ

17、QQ2200,0150350,150QQQQQ200,0150()3502,150QR QQQ()0R Q令175Q 得()175R QQ 故在时有最大值，(175)175(350 175)30625R即有最大收益用开始移动,F例例.设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 作P解解:克服摩擦的水平分力cosFFx正压力sin5FFPygcosF)sin5(Fg即,sincos5gF,02令sincos)(则问题转化为求)(的最大值问题.F 为多少时才可使力F,25.0设摩擦系数F问力与水平面夹角的大小最小?cossin)(sincos)(令,0)(解得arctan25.0arctan2

18、14,0)(而,)(214取最大值时因而 F 取最小值.FP清楚(视角 最大)?观察者的眼睛1.8 m,例例.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于x4.18.1解解:设观察者与墙的距离为 x m,则x8.14.1arctan,8.1arctanx),0(x222.32.3x228.18.1x)8.1)(2.3()76.5(4.122222xxx令,0得驻点),0(4.2x根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最2 2、证明不等式、证明不等式例利用最值证明不等式例利用最值证明不等式 1112aaa

19、x(x)10,10(ax证明：设令得计算得：()(1)f xxx()fx1x1(1)x()0,fx12x(0)(1)1,ff1()2f12()212则所以在闭区间上有0,1连续min()1,fx 1max()2fx11(1)2xx所以：内容小结内容小结1.连续函数的极值(1)极值点存在必要条件:使导数为0 或不存在的点(2)第一充分条件)(xf 过0 x由正正变负负)(0 xf为极大值)(xf 过0 x由负负变正正)(0 xf为极小值(3)第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxf2.连续函数的最值最值点应在极值点和边界点上找;

20、应用题可根据问题的实际意义判别.第六节一、一、曲线的渐近线曲线的渐近线二、二、函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘ox轴轴y轴轴.1.水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若,)(limbxfx则曲线)(xfy 有水平渐近线.by)(x或若,)(lim0 xfxx则曲线)(xfy 有垂直渐近线.0 xx)(0 xx或例例1.求曲线211xy的渐近线.21二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘步骤步骤 :1.确定函数)(xfy 的定义域,期性;2.求,)(,)(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不

21、存在的点;并考察其对称性及周例3.描绘22331xxy的图形的图形.解解:1)定义域为,),(无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,()1,0()2,1(),2(00234(极大)(拐点）32(极小)4)xy1332201231例例5.5.描绘函数描绘函数21y22xe的图形的图形.解解:1)定义域为,),(图形对称于 y 轴.2)求关键点 y21,22xex y2122xe)1(2x得令0 y;0 x得令0 y1x2100e21xyy y10)1,0(),1(3)判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)(极大极大)(拐点拐点)0limyx0y为水平渐近线5)作图4)求渐近线2100e21xyy y10)1,0(),1(2221xeyxyoBA21