考研数学概率论第二讲补充课件.ppt

1、概率论与数理统计概率论与数理统计第二讲补充内容第二讲补充内容本讲主要问题本讲主要问题一、二维随机变量一、二维随机变量一、二维随机变量一、二维随机变量一、二维随机变量一、二维随机变量二、边缘分布二、边缘分布二、边缘分布二、边缘分布二、边缘分布二、边缘分布三、条件分布三、条件分布三、条件分布三、条件分布三、条件分布三、条件分布四、相互独立的随机变量四、相互独立的随机变量四、相互独立的随机变量四、相互独立的随机变量四、相互独立的随机变量四、相互独立的随机变量 1.1.1.二维随机变量的概念二维随机变量的概念二维随机变量的概念二维随机变量的概念二维随机变量的概念二维随机变量的概念一、二维随机变量一、二

2、维随机变量 实例实例实例实例实例实例1 1 1 炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置(X X X,Y Y Y)就是一个二就是一个二就是一个二就是一个二就是一个二就是一个二维随机变量维随机变量维随机变量维随机变量维随机变量维随机变量.实例实例实例实例实例实例2 2 2 考查某一地考查某一地考查某一地考查某一地考查某一地考查某一地 区学前儿童的发育情况区学前儿童的发育情况区学前儿童的发育情况区学前儿童的发育情况区学前儿童的发育情况区学前儿童的发育情况,则儿则儿则儿则儿则儿则儿童的身高童的身高童的身高童的身高童的身高童的身高 H

3、H H 和体重和体重和体重和体重和体重和体重 W W W 就构成二维随机变量就构成二维随机变量就构成二维随机变量就构成二维随机变量就构成二维随机变量就构成二维随机变量(HH H,W W W).).).二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(X X X,Y Y Y)的性质不仅与的性质不仅与的性质不仅与的性质不仅与的性质不仅与的性质不仅与 X X X 、Y Y Y 有关有关有关有关有关有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互

4、关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.说明说明说明说明说明说明 定义定义定义定义定义定义 设设设设设设 E E E 是一个随机试验是一个随机试验是一个随机试验是一个随机试验是一个随机试验是一个随机试验,它的它的它的它的它的它的样本空间是样本空间是样本空间是样本空间是样本空间是样本空间是 S S S=e e e,设设设设设设 X X X=X X X(e e e)和和和和和和Y Y Y=Y Y Y(e e e)是定义在是定义在是定义在是定义在是定义在是定义在 S S S 上的随机变量上的随机变量上的随机变量上的随机变量上的随机变量上的随机变量.由它们构成的一由它们构成的一由它们构成的一由它们构

5、成的一由它们构成的一由它们构成的一个向量个向量个向量个向量个向量个向量(X X X,Y Y Y),),),叫做叫做叫做叫做叫做叫做二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量。如图如图如图如图如图如图S S Se e eX X X(e e e)Y Y Y(e e e)注意事项注意事项注意事项注意事项注意事项注意事项(1)二二维维随随机机变变量量也也称称为为二二维维随随机机向向量量；(2)我我们们应应把把二二维维随随机机变变量量 SeeYeXYX,，XY看看作作一一个个整整体体,因因为为与与之之间间是是有有联联系系的的；(3),X Y在在几几何何上上,二二维维随随机机

6、变变量量可可看看作作平平面面上上的的随随机机点点三、二维随机变量三、二维随机变量三、二维随机变量三、二维随机变量三、二维随机变量三、二维随机变量 2.2.2.二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维离散型随机变量二维离散型随机变量,.,.,.2 2 2,1 1 1,),),),(=j j ji i iy y yx x xj j ji i i 定义定义定义定义定义定义 若二维随机变量若二维随机变量若二维随机变量若二维随机变量若二维随机变量若二维随机变量(X X X,Y Y Y)所有可能取所有可能取所有可能取所有可能取所有可能取所有可能取到的不相同的数偶到的不相

7、同的数偶到的不相同的数偶到的不相同的数偶到的不相同的数偶到的不相同的数偶 是有限对或无限是有限对或无限是有限对或无限是有限对或无限是有限对或无限是有限对或无限可列对时可列对时可列对时可列对时可列对时可列对时,则称则称则称则称则称则称(X X X,Y Y Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量.联合分布律联合分布律联合分布律联合分布律联合分布律联合分布律:(,)(,),1,2,1,2,(,),.ijijijX Yxyi jP Xx Yypi jX YXY设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量所所有有可可能能取

8、取的的值值为为记记称称此此为为二二维维离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布律律 或或随随机机变变量量和和的的联联合合分分布布律律 其其其其其其分布律表分布律表分布律表分布律表分布律表分布律表:ijiiijjipppxpppxpppxyyy2122221211211121XY性质性质性质性质性质性质1 1 10,jiijyYxXPp,2,1,jiji，对任意的对任意的有有有有有有性质性质性质性质性质性质2 2 21jiijp，例例例例例例333,XYX Y将将一一枚枚均均匀匀的的硬硬币币掷掷次次，令令：次次抛抛掷掷中中正正面面出出现现的的次次数数；：次次抛抛掷掷中中正正面面出出现现次次数数与

9、与反反面面出出现现次次数数之之差差的的绝绝对对值值求求的的联联合合分分布布律律答案答案答案答案答案答案:0 1 2 3;1 3XY的的可可能能取取值值为为，的的可可能能取取值值为为，；010YXP，30YXP，；8111YXP，；83；031YXP，12YXP，；83；032YXP，；013YXP，8133YXP，(,)X Y由由此此得得的的联联合合分分布布律律为为 X Y 0 1 2 3 1 0 83 83 0 3 81 0 0 81 例例例例例例 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量 X X X 在在在在在在 1,2,3,41,2,3,41,2,3,4四个数四个数四

10、个数四个数四个数四个数中等可能地取值中等可能地取值中等可能地取值中等可能地取值中等可能地取值中等可能地取值,另一个随机变量另一个随机变量另一个随机变量另一个随机变量另一个随机变量另一个随机变量 Y Y Y 在在在在在在111X X X 中等可能地取一整数值中等可能地取一整数值中等可能地取一整数值中等可能地取一整数值中等可能地取一整数值中等可能地取一整数值.试求试求试求试求试求试求(X X X,Y Y Y )的的的的的的分布律分布律分布律分布律分布律分布律.答案答案答案答案答案答案:由题意知由题意知由题意知由题意知由题意知由题意知,X X X=i i i,Y Y Y=j=j=j 的取值情况是的取

11、值情况是的取值情况是的取值情况是的取值情况是的取值情况是:i i i=1,2,3,4=1,2,3,4=1,2,3,4,且是且是且是且是且是且是等可能的等可能的等可能的等可能的等可能的等可能的;然后然后然后然后然后然后 j j j 取不大于取不大于取不大于取不大于取不大于取不大于 i i i 的正整数的正整数的正整数的正整数的正整数的正整数.由乘法公式求得由乘法公式求得由乘法公式求得由乘法公式求得由乘法公式求得由乘法公式求得(X X X,Y Y Y )的分布律的分布律的分布律的分布律的分布律的分布律.,|11 ,41,2,3,4,.P Xi YjP Yj Xi P Xiiiji其其中中(,)X

12、Y由由此此得得的的联联合合分分布布律律为为XY12341234418112116108112116100121161000161 练习练习练习练习练习练习 袋中有袋中有袋中有袋中有袋中有袋中有2 2 2只黑球、只黑球、只黑球、只黑球、只黑球、只黑球、2 2 2只白球、只白球、只白球、只白球、只白球、只白球、3 3 3只红球只红球只红球只红球只红球只红球,在其中任取在其中任取在其中任取在其中任取在其中任取在其中任取2 2 2只球只球只球只球只球只球.以以以以以以X X X表示取到黑球的只数表示取到黑球的只数表示取到黑球的只数表示取到黑球的只数表示取到黑球的只数表示取到黑球的只数,以以以以以以Y

13、Y Y表示取到白球的只数表示取到白球的只数表示取到白球的只数表示取到白球的只数表示取到白球的只数表示取到白球的只数.(1).(1).(1)求求求求求求(X X X,Y Y Y)的分布律的分布律的分布律的分布律的分布律的分布律.(2).(2).(2)求求求求求求概率概率概率概率概率概率.1,222 YXPYXP答案答案答案答案答案答案:(1)(1)(1)(1)(1)(1)X X X所有可能取的不同值为所有可能取的不同值为所有可能取的不同值为所有可能取的不同值为所有可能取的不同值为所有可能取的不同值为0,1,2;0,1,2;0,1,2;0,1,2;0,1,2;0,1,2;Y Y Y所有可能取的不同

14、值为所有可能取的不同值为所有可能取的不同值为所有可能取的不同值为所有可能取的不同值为所有可能取的不同值为0,1,2.(0,1,2.(0,1,2.(0,1,2.(0,1,2.(0,1,2.(X X X,Y Y Y)的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为0 0 00 0 01/211/211/212 2 20 0 04/214/214/212/72/72/71 1 11/211/211/212/72/72/71/71/71/70 0 02 2 21 1 10 0 0 X X X Y Y Y 20,21,16 2,0=.21P XYP XYP XYP XY(2)(2)(2)22

15、 1=0,00,15 1,0.7P XYP XYP XYP XY三、二维随机变量三、二维随机变量三、二维随机变量三、二维随机变量三、二维随机变量三、二维随机变量 3.3.3.二维连续型随机变量二维连续型随机变量二维连续型随机变量二维连续型随机变量二维连续型随机变量二维连续型随机变量 定义定义定义定义定义定义 设设设设设设(X X X,Y Y Y)是二维随机变量是二维随机变量是二维随机变量是二维随机变量是二维随机变量是二维随机变量,如果存在如果存在如果存在如果存在如果存在如果存在定义在平面上的函数定义在平面上的函数定义在平面上的函数定义在平面上的函数定义在平面上的函数定义在平面上的函数f f f

16、(x x x,y y y),),),满足条件满足条件满足条件满足条件满足条件满足条件.0),()1(yxf.1dd),()2(yxyxf(3),(,)GxoyX YG设设是是平平面面上上的的一一个个区区域域 点点落落在在 内内的的概概率率为为.dd),(),(GyxyxfGYXP则称则称则称则称则称则称(X X X,Y Y Y)是连续型随机变量是连续型随机变量是连续型随机变量是连续型随机变量是连续型随机变量是连续型随机变量,而而而而而而f f f(x x x,y y y)称为称为称为称为称为称为二维随机二维随机二维随机二维随机二维随机二维随机变量变量变量变量变量变量(X X X,Y Y Y)的

17、概率密度函数的概率密度函数的概率密度函数的概率密度函数的概率密度函数的概率密度函数或称为或称为或称为或称为或称为或称为随机变量随机变量随机变量随机变量随机变量随机变量X X X和和和和和和Y Y Y的联的联的联的联的联的联 合概率密度函数合概率密度函数合概率密度函数合概率密度函数合概率密度函数合概率密度函数.表示介于表示介于表示介于表示介于表示介于表示介于 f f f(x,yx,yx,y)和和和和和和 xoyxoyxoy 平面之间的空间区域的全部平面之间的空间区域的全部平面之间的空间区域的全部平面之间的空间区域的全部平面之间的空间区域的全部平面之间的空间区域的全部体积等于体积等于体积等于体积等

18、于体积等于体积等于1.1.1.,dd),(),(GyxyxfGYXP,1dd),(yxyxf 说明说明说明说明说明说明(,),(,).PX YGGzf x y的的值值等等于于以以 为为底底 以以曲曲面面为为顶顶面面的的柱柱体体体体积积.),(,表示空间的一个曲面表示空间的一个曲面几何上几何上yxfz (,)(),01,(,)0,.(1);(2)/2.X Ykx xyxxyxf x ykP YX例例 设设二二维维随随机机变变量量具具有有概概率率密密度度其其它它试试确确定定常常数数求求概概率率答案答案答案答案答案答案:1(,)d d(,)d d 2.Gf x yx yf x yx yk(1)(1)

19、由由解解得得 1/20(2)/2(,)(,)d dd2()d 15/16.xD GxP YXPX YDf x yx yxx xyy 例例例例例例34,e00,001,02xyX Ycxyfx ycPXY设设二二维维随随机机变变量量的的密密度度函函数数为为，其其它它 求求常常数数；求求答案答案答案答案答案答案:3400 1(,)d ded d 12.xyf x yx ycx yc (1)(1)由由解解得得 010212343800(2)0102d d 12ed d1e1e.xyxyPXYfxyx yx y ，三、二维随机变量三、二维随机变量三、二维随机变量三、二维随机变量三、二维随机变量三、二维

20、随机变量 4.4.4.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 (,),(,)()(),(,),.X Yx yF x yPXxYyP Xx YyX YXY 设设是是二二维维随随机机变变量量 对对于于任任意意实实数数二二元元函函数数:称称为为二二维维随随机机变变量量的的分分布布函函数数 或或称称为为随随机机变变量量和和的的联联合合分分布布函函数数定义定义定义定义定义定义几何解释几何解释几何解释几何解释几何解释几何解释(如图如图如图如图如图如图)(,).F x y的的函函数数值值就就是是随随机机点点落落在在

21、如如图图所所示示区区域域内内的的概概率率xoy),(yx yYxX ,说明说明说明说明说明说明,),(xxyyijijpyxF (1)(1)(1)离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量(X,Y X,Y X,Y)的分布函的分布函的分布函的分布函的分布函的分布函数归纳为数归纳为数归纳为数归纳为数归纳为数归纳为.,求和求和的的其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足jiyyxxji (2)(2)(2)连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量(X,Y X,Y X,Y)的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数

22、为的分布函数为的分布函数为(,)(,)d d,yxF x yf x yx y 2(,)(,)(,).F x yf x yf x yy x 且且在在的的连连续续点点有有例例例例例例(2)(,)2e,0,0,(,)0,.(1)(,);(2).xyX Yxyf x yF x yP YX设设二二维维随随机机变变量量具具有有概概率率密密度度其其它它求求分分布布函函数数求求概概率率答案答案答案答案答案答案:2(1)(,)(,)dd(1e)(1e),0,0.0,.yxxyF x yf x yxyxy 其其他他(2)0(2)(,)(,)dd1 2edd.3GxyyP YXPX YGf x yxyxy 1.1.

23、1.离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律 二、边缘分布二、边缘分布 (,),1,2,.ijijX YP Xx Yypi j设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量的的联联合合分分布布律律为为定定义义11,1,2,iijijjjXP XxP Xx Yypi的的分分布布律律为为11,1,2,iijijiiYP YyP Xx Yypj的的分分布布律律为为.),(的的边边缘缘分分布布律律和和关关于于关关于于上上面面两两式式分分别别称称为为YXYX;,2,1,1 ipxXPjiji.,

24、2,1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21 iP jP例例例例例例1 1 1 已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律.XY1042164212421242910答案答案答案答案答案答案:XY1042124212421242610iixXPP jjyYPP 747317473 2.2.2.连续型随机变量的边缘分布连续型随机变量的边缘分布连续型随机变量的边缘分布连续型随机变量的边缘分布连续型随机变量的

25、边缘分布连续型随机变量的边缘分布 四、边缘分布四、边缘分布四、边缘分布四、边缘分布四、边缘分布四、边缘分布 (,)(,),X Yf x yXY设设二二维维连连续续型型随随机机变变量量具具有有概概率率密密度度则则 与与 均均为为连连续续型型随随机机变变量量,它它们们的的概概率率密密度度如如下下()(,)d,XXfxf x yy的的概概率率密密度度为为：边边缘缘概概率率密密度度的的定定义义()(,)d.YYfyf x yx的的概概率率密密度度为为：(),()(,).XYfxfyX YXY分分别别称称为为随随机机变变量量关关于于和和关关于于的的边边缘缘概概率率密密度度边缘分布函数的定义边缘分布函数的

26、定义边缘分布函数的定义边缘分布函数的定义边缘分布函数的定义边缘分布函数的定义()d.xXfxx.dd),(),()(xXxyyxfxFxF.dd),(),()(yYyxyxfyFyF()d.yYfyy例例例例例例3 3 3 设设设设设设(X X X,Y Y Y)的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为 .,0),(,1324),(其它其它Gyxxyxf其中区域其中区域其中区域其中区域其中区域其中区域G G G如下图所示如下图所示如下图所示如下图所示如下图所示如下图所示,求求求求求求(X X X,Y Y Y)关于关于关于关于关于关于X X X和和和和和和Y Y Y

27、的边缘概的边缘概的边缘概的边缘概的边缘概的边缘概率密度率密度率密度率密度率密度率密度).()(yfxfYX和和Oxy2/11 2/1 12/3G)1,21(23 yx答案答案答案答案答案答案:.,0,),(,0,)(2321231324211324其它其它xxxxxxfX2312132()01,()0,.Yyyfy其其它它(,)(,)?X YM N观观察察和和的的分分布布有有何何不不同同XY-1 0 1-1 0 1-1 0 1P P P X X X=u u u 3/163/163/163/163/163/16 3/16 3/83/16 3/83/16 3/83/16 3/83/16 3/83/

28、16 3/8 1/16 1/16 1/16 1/16 1/81/16 1/81/16 1/81/16 1/81/16 1/81/16 1/8P P P Y Y Y=v v v 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/21/21/23/43/43/43/43/43/41/41/41/41/41/41/4 1 1 1 -1-1-1-1-1-1 1 1 1 1 1 1MN-1 0 1-1 0 1-1 0 1P P P MMM=u u u -1-1-1-1-1-1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1/4 2/41/4 2/41

29、/4 2/41/4 2/41/4 2/41/4 2/4 1/4 1/4 1/4 0 00 00 00 00 00 03/43/43/43/43/43/41/41/41/41/41/41/4P P P N N N=v v v 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/21/21/2 1 1 1这两个二这两个二这两个二这两个二这两个二这两个二维随机变维随机变维随机变维随机变维随机变维随机变量的分布量的分布量的分布量的分布量的分布量的分布律是不相律是不相律是不相律是不相律是不相律是不相同的，但同的，但同的，但同的，但同的，但同的，但是却具有是

30、却具有是却具有是却具有是却具有是却具有相同的边相同的边相同的边相同的边相同的边相同的边缘分布缘分布缘分布缘分布缘分布缘分布.联合分布联合分布联合分布联合分布联合分布联合分布边缘分布边缘分布边缘分布边缘分布边缘分布边缘分布 1.1.1.离散型随机变量的条件分布律离散型随机变量的条件分布律离散型随机变量的条件分布律离散型随机变量的条件分布律离散型随机变量的条件分布律离散型随机变量的条件分布律 三、条件分布三、条件分布,2,1,|ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji为在为在为在为在为在为在Y Y Y=y y yj j j 条件下条件下条件下条件下条件下条件下随机变量随机变量随机变量随机变

31、量随机变量随机变量 X X X 的条件分布律的条件分布律的条件分布律的条件分布律的条件分布律的条件分布律.定义定义定义定义定义定义 设设设设设设(X X X,Y Y Y)是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,对对对对对对于固定的于固定的于固定的于固定的于固定的于固定的 j j j,若若若若若若P P P Y Y Y=y y yj j j 0,0,0,则称则称则称则称则称则称 对于固定的对于固定的对于固定的对于固定的对于固定的对于固定的 i i i,若若若若若若P P P X X X=x x xi i i 0,0

32、,0,则称则称则称则称则称则称为在为在为在为在为在为在X X X=x x xi i i 条件下条件下条件下条件下条件下条件下随机变量随机变量随机变量随机变量随机变量随机变量 Y Y Y 的条件分布律的条件分布律的条件分布律的条件分布律的条件分布律的条件分布律.,2,1,|jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij条件分布律条件分布律条件分布律条件分布律条件分布律条件分布律具有分布律的以下特性：具有分布律的以下特性：具有分布律的以下特性：具有分布律的以下特性：具有分布律的以下特性：具有分布律的以下特性：(1)(1)(1)P P P X X X=x x xi i i|Y Y Y=y y yj

33、 j j 0 0 0;11111|ijjiiijjjijjippppppyYxXP(2)(2)(2)例例例例例例 已知随机变量已知随机变量已知随机变量已知随机变量已知随机变量已知随机变量(X X X,Y Y Y)的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为1.0001.0001.0000.0130.0130.0130.0320.0320.0320.0450.0450.0450.9100.9100.910P P P X X X=i i i 0.0200.0200.0200.0010.0010.0010.0040.0040.0040.0050.0050.0050.0100.0100

34、.0102 2 20.0800.0800.0800.0020.0020.0020.0080.0080.0080.0100.0100.0100.0600.0600.0601 1 10.9000.9000.9000.0100.0100.0100.0200.0200.0200.0300.0300.0300.8400.8400.8400 0 0P P P Y Y Y=j j j 3 3 32 2 21 1 10 0 0XY求求求求求求(1)(1)(1)在在在在在在X X X=1=1=1条件下条件下条件下条件下条件下条件下Y Y Y的条件分布律的条件分布律的条件分布律的条件分布律的条件分布律的条件分布律

35、;(2);(2);(2)在在在在在在Y Y Y=0=0=0条件下条件下条件下条件下条件下条件下X X X的条件分布律的条件分布律的条件分布律的条件分布律的条件分布律的条件分布律.答案答案答案答案答案答案:1,XY在在的的条条件件下下的的条条件件分分布布律律为为kY 1 XkYP0126219990,YX在在的的条条件件下下的的条条件件分分布布律律为为Xk0P Xk Y01238432190909090五、条件分布五、条件分布五、条件分布五、条件分布五、条件分布五、条件分布 2.2.2.连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布连续型随机变量

36、的条件分布连续型随机变量的条件分布 条件概率密度的定义条件概率密度的定义条件概率密度的定义条件概率密度的定义条件概率密度的定义条件概率密度的定义(,)()Yf x yfy为在为在为在为在为在为在条件条件条件条件条件条件Y Y Y=y y y下的下的下的下的下的下的X X X 的条件概率密度的条件概率密度的条件概率密度的条件概率密度的条件概率密度的条件概率密度.设二维随机变量设二维随机变量设二维随机变量设二维随机变量设二维随机变量设二维随机变量(X X X,Y Y Y)的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为f f f(x x x,y y y),),),(X X

37、X,Y Y Y)关于关于关于关于关于关于Y Y Y 的边缘概率密度为的边缘概率密度为的边缘概率密度为的边缘概率密度为的边缘概率密度为的边缘概率密度为f f fY Y Y(y y y),),),若对固定的若对固定的若对固定的若对固定的若对固定的若对固定的y y y,f f fY Y Y(y y y)0,)0,)0,则称则称则称则称则称则称记做记做记做记做记做记做f f fX X X|Y Y Y(x x x|y y y).即即即即即即)(),()|(|yfyxfyxfYYX同理同理同理同理同理同理)(),()|(|xfyxfxyfXXY在条件在条件在条件在条件在条件在条件X X X=x x x下的

38、下的下的下的下的下的Y Y Y 的条的条的条的条的条的条件概率密度件概率密度件概率密度件概率密度件概率密度件概率密度条件分布函数的定义条件分布函数的定义条件分布函数的定义条件分布函数的定义条件分布函数的定义条件分布函数的定义xYxYXxyfyxfxyxfd)(),(d)|(|称称称称称称为在为在为在为在为在为在条件条件条件条件条件条件Y Y Y=y y y下下下下下下X X X的条件分布函数的条件分布函数的条件分布函数的条件分布函数的条件分布函数的条件分布函数.记做记做记做记做记做记做P P P X X X x x x|Y Y Y=y y y ,或或或或或或F F FX X X|Y Y Y(x

39、 x x|y y y).即即即即即即xYYXxyfyxfyxFd)(),()|(|同理在同理在同理在同理在同理在同理在条件条件条件条件条件条件X X X=x x x下下下下下下Y Y Y 的条件分布函数的条件分布函数的条件分布函数的条件分布函数的条件分布函数的条件分布函数为为为为为为yXXYyxfyxfxyFd)(),()|(|()?X YFx y为为什什么么不不能能用用条条件件概概率率的的定定义义来来直直接接定定义义条条件件分分布布函函数数思考思考思考思考思考思考(0,1),(01),(,1).().YXXxxYxYfy例例 设设数数 在在区区间间上上随随机机地地取取值值当当观观察察到到时时

40、 数数在在区区间间上上随随机机地地取取值值 求求的的概概率率密密度度答案答案答案答案答案答案:X由由题题意意知知 具具有有概概率率密密度度 .,0,10,1)(其它其它xxfX),10(xx对于任意给定的值对于任意给定的值,的条件下的条件下在在xX 的的条条件件概概率率密密度度为为Y .,0,10,11)(其它其它yxxxyfXY的的联联合合概概率率密密度度为为和和因因此此YX)()(),(xfxyfyxfXXY .,0,10,11其它其它yxx的的边边缘缘概概率率密密度度故故得得 YxyxfyfYd),()(ln(1),01,0,.yy其其它它 练习练习练习练习练习练习22 (,)1,().

41、X YX Yxyfx y设设在在圆圆域域上上服服从从均均匀匀分分布布 求求条条件件概概率率密密度度答案答案答案答案答案答案:的的概概率率密密度度为为由由题题意意知知随随机机变变量量),(YX ,0,1,1),(22其其它它yxyxf又知边缘概率密度为又知边缘概率密度为又知边缘概率密度为又知边缘概率密度为又知边缘概率密度为又知边缘概率密度为 xyxfyfYd),()(221,11,0,.yy 其其他他有有时时于于是是当当,11 y .,0,11,1211)2(1)(2222其其他他yxyyyyxfYX四、相互独立的随机变量四、相互独立的随机变量 定义定义定义定义定义定义 设设设设设设X,YX,Y

42、X,Y是两个随机变量是两个随机变量是两个随机变量是两个随机变量是两个随机变量是两个随机变量,若对于若对于若对于若对于若对于若对于任意的任意的任意的任意的任意的任意的a,b a,b a,b(ababab);););c c c,d d d(cdcdcd),),),aXbcYd事事件件相相互互独独立立 即即 ,P aXb cYdP aXb P cYd则称则称则称则称则称则称随机变量随机变量随机变量随机变量随机变量随机变量X X X,Y Y Y相互独立相互独立相互独立相互独立相互独立相互独立.说明说明说明说明说明说明 ).()(),(yFxFyxFYX 相互独立相互独立和和YX 1)(,)(,),()

43、,(),XYX YF x yFxFy设设随随机机变变量量的的联联合合分分布布函函数数为为边边缘缘分分布布函函数数分分别别为为则则有有,jijiyYPxXPyYxXP 相互独立相互独立和和YX 2)2)2)若离散型随机变量若离散型随机变量若离散型随机变量若离散型随机变量若离散型随机变量若离散型随机变量(X X X,Y Y Y)的联合的联合的联合的联合的联合的联合分布律为分布律为分布律为分布律为分布律为分布律为,1,2,.ijijP Xx Yypi j相互独立相互独立和和YX 3)(,)(,),(),(),XYX Yf x yfxfy设设连连续续型型随随机机变变量量的的联联合合概概率率密密度度为为

44、边边缘缘概概率率密密度度分分别别为为则则有有在平面上几乎处处成立在平面上几乎处处成立在平面上几乎处处成立在平面上几乎处处成立在平面上几乎处处成立在平面上几乎处处成立.).()(),(yfxfyxfYX 例例例例例例XY试试判判断断随随机机变变量量与与是是否否相相互互独独立立？已知随机变量已知随机变量已知随机变量已知随机变量已知随机变量已知随机变量X X X与与与与与与Y Y Y的联合分布的联合分布的联合分布的联合分布的联合分布的联合分布律为律为律为律为律为律为 Y X 0 1 2 0 91 92 91 1 92 92 0 2 91 0 0 答案答案答案答案答案答案:不独立不独立不独立不独立不独

45、立不独立.Y X 1 2 3 1 61 91 181 2 31 ,X Y设设随随机机变变量量的的分分布布律律为为,XY 试试确确定定使使得得随随机机变变量量与与相相互互独独立立例例例例例例答案答案答案答案答案答案:XY随随机机变变量量与与的的边边缘缘分分布布律律为为 Y X 1 2 3 ip 1 61 91 181 31 2 31 31 jp 21 91 181 1 1,2911 12392.9P XYP XP Y 由由解解得得 1111 1,313.183189P XYPXP Y 由由解解得得求随机变量求随机变量求随机变量求随机变量求随机变量求随机变量(X X X,Y Y Y)的分布律的分布

46、律的分布律的分布律的分布律的分布律.例例例例例例 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X X X 与与与与与与Y Y Y 的的的的的的分布律为分布律为分布律为分布律为分布律为分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0答案答案答案答案答案答案:由独立性得由独立性得由独立性得由独立性得由独立性得由独立性得4 14,1 YPXPYXP4.03.0 ,12.0 2 1 2,1 YPXPYXP6.03.0 ,18.0 232,3 YPXPYXP6.07.0 ,42.0 434,3 YPXPYXP4.07.0

47、.28.0 的联合分布律为的联合分布律为因此因此),(YXYX421318.012.042.028.0例例例例例例(,)X Y设设随随机机变变量量的的密密度度函函数数为为其其它它，0201031,2yxxyxyxf是是否否相相互互独独立立？与与试试判判断断随随机机变变量量YX答案答案答案答案答案答案:X随随机机变变量量的的密密度度函函数数为为 222012(,)dd2,01330,Xf x yyxxyyxxxfx其其它它Y随随机机变变量量的的密密度度函函数数为为 11,02360,Yyyfy其其它它01,02xy由由于于当当时时,(,)()()XYf x yfx fyXY所所以以,随随机机变变量量与与不不独独立立