基本不等式2-人教课标版课件.ppt

1、(0,0)2a babab 今有一台天平，两臂长不等，其余均精确.有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量的结果的和的一半就是物体的真实重量，这种说法对吗？并说明你的结论.!ab应是不对学习目标:(1),;(2);,0;(3),0.(4),;(5)0,0(6)0.nnnnab bcacabacbcab cacbcab cacbcab cdacbdabcdacbdababab 复习不等式的有关性质复习不等式的有关性质(1):,0,0()()00.ab bcabbcabbcacac证明证明(2)0()()0()()ababacbcacbc证明:证明:(3):0,0()0

2、0ababcc abacbcacbc证明证明*(3):0,00,0()00ababccabc abacbcacbc 证明证明(4):,0.0()()0()()0ab cdabcdabcdacbdacbd证明证明0,0(5):0,0abcacbcacbdcdbbcbd 证明证明223300(6):00000nnababababababab 证明证明*(6):,()().,.nnnnnnnnnnnnnnnnababababababababababab 证明 假设或证明 假设或当这与相矛盾当这与相矛盾当当同样与相矛盾同样与相矛盾所以 假设不成立 故所以 假设不成立 故22331.,_111lg()0

3、()()221lglg222.,_(,)(,0.)(,0)(,)22 2.ababExa bRabbababababABCDEFabGHaABCD 设且则正确的是设且则正确的是设-则-的范围是设-则-的范围是222223.23,43,.ababab ababba 设求的范围设求的范围111(3)4334111,2343111122bbabaabb (4)4334,23612126bbaabab 2222(5)43343()4381112332bbbbaaa 222222,_(1),;(2),;(3)0,;(4),;(5)0,;(6)0,;11(7),0,0.a b cRabacbcacbcab

4、abaabbababababbaabcabcacbababab 例:若下列例题中正确的是例:若下列例题中正确的是若则若则若则若则若则若则若则若则若则若则若则若则若则若则 均值不等式及其重要变形20a 2()0ab222abab222|abab2(0)ababba222abab 2()2abab 222()22abab(,0)2a baba b ,!注注意意：含含 是是 和和积积互互化化含含是是 和和和和互互化化222!1122abababab 注注意意：题题例例222.1.,a b cabcabbcca为实数，证明：222222222222222222222222()()()222.abcab

5、bcacabcabbcacabbcacabcabbcac444222222:1.,:()Exa b cRabca bb ca cabc abc 已知求证已知求证444222222222222222()()()()()()().abcabca bb ca cabbcacab bcbc acab acabc abc222222222222222222222()2()2(),222(),()222()abababaabbabababbcbcacacabbcacabc同理同理2222222:0,0,0,:2()Exabcabbcacabc已知求证已知求证3.,1.111:9Exa b cRabcabc

6、 已知,且已知,且求证求证,1.11,11,11,a b cRabcabcbcaaaaabcacbabbabcbacccc,且且.,:1(1)2;(2)2.1.()(0).Exa bRababaaf xxxx 4 4 设证明下列不等式设证明下列不等式5 5 求函数的值域求函数的值域 1122(0).()1()2(0)()()(,22,.xxxxxf xxxxf x 二 略解二 略解的值域为的值域为190,0,1,_.xyxyxy 若且若且则的最小值为则的最小值为19()1()()9919102916()xyxyxyxyyxyxxyxyyxxy 当且仅当取当且仅当取P P9191例例2 216(

7、)(2),2.f xxxx 已知函数已知函数求此函数的最小值求此函数的最小值2,20,1616(2)222162(2)262162.2xxxxxxxxxx 略解:由基本不等式略解:由基本不等式得得当且仅当时取号当且仅当时取号注意运用算术平均数与几何平均数的大小关系证明不等式，关键是揭示已知条件与目标不等式的运算结构特征，找出差异，并将其与基本不等式的运算结构进行类比，选择相应的基本不等式化异为同转化证明.题题例例12.01.ababab 1 1设设、，求求的的最最小小值值442.01,.ababab 设设、，求求的的最最小小值值212(1)01.121 2122 2(2 2)8abababab

8、a bab 、，、，442222222222442(2)01,()()()2221()224112().48abababababababab、，、，均值定理.,小值等时，两数的和取得最数相那么当且仅当这两个正定值如果两个正数的乘积是定理.2),(,0 PyxyxPxyyx有最小值时，和则当定值、若.,大值时，两数的乘积取得最相等么当且仅当这两个正数那值如果两个正数的和是定.41),(,0 2SxyyxSyxyx有最大值时，积当则定值、若知识结构 均值不等式 均值不等式及其变形 均值不等式等知识的综合应用应用极值定理及其应用均值不等式的互化功能1.“和与积”互化放缩功能2.“和与积”一定一最功能

9、注意：在运用均值不等式“和与积”互化、寻求极值的过程中常需“配凑因式”和“拆项、添项”，务必细心；注意：在运用均值不等式寻求最值过程中常需检查“一正、二定、三等、四同时”，尤其是“配定和放缩过程中所有等号都必须同时取得”的检查.考考思思2160.()abab ab 设，求的最小值设，求的最小值22221616()2()()1616 ()1616 ()abbaab abab abaaba abaababa abab 法法：22222216161()()264 16(16)(22216)aababb abababaaab 法法：且且=8 8时时原原式式为为当当且且仅仅当当,时时，原原式式取取最最小

10、小值值两数都是正数；(1)均值定理均值定理应用应用条件条件注意注意事项事项.质求解可选用函数单调性等性寻求最值否则不能应用均值定理缺一不可查，四点要齐备，定理的应用条件进行检，应重视先对均值应用均值定理寻求最值的条件是：应用均值定理寻求最值两句话两句话一正二定三等四同时!和定积大，积定和小；和为定值或积为定值必须出现“定值”)(2)务必取到等号；(3).,(4)取得则每一个等号必须同时若多次应用先检查四点要齐备否则选用函数单调性和大小积!一正是基础!配定是关键配定配定常用方法常用方法:拆项、组合、添加系数及常值替换等拆项、组合、添加系数及常值替换等92P4a例1.用长为的铁丝围成一个矩形，例1

11、.用长为的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围成的矩形的面积最大？怎样才能使所围成的矩形的面积最大？(02),2,(2),0,20.xxaaxSxaxxax解：设矩形长为则宽为解：设矩形长为则宽为矩形面积为：且矩形面积为：且(2)(2).2xaxxaxa由基本不等式，得由基本不等式，得22,.,(2).xaxxaxaSxaxa上式当且仅当即时 取号上式当且仅当即时 取号由此可知,当时有最大值由此可知,当时有最大值实际问题实际问题抽象概括抽象概括引入变量引入变量数学模型数学模型数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原还原说明说明推推 理理演演 算算建立目标函数建立目标函数均值不等式均值不

12、等式2 2、解应用题思路、解应用题思路反思研究反思研究26P P9292例例2.2.某工厂要建造一个长方体无盖某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为贮水池，其容积为4800m4800m3 3,深为深为3m3m，如果池底每如果池底每1m1m2 2的造价为的造价为150150元，池壁元，池壁每每1m1m2 2的造价为的造价为120120元，问怎样设计水元，问怎样设计水池才能使造价最低池才能使造价最低?最低造价是多少元？最低造价是多少元？问问 题题 与与 思思 考考P9510某种商品准备两次提价某种商品准备两次提价,有三种方案有三种方案:A.第一次提价第一次提价 m,第二次提价第二次提价 n;B

13、.第一次提价第一次提价 n,第二次提价第二次提价 m;C.两次均提价两次均提价 .试问哪种方案提价后的价格高试问哪种方案提价后的价格高?2nm30 设原价为设原价为M元元,令令a=m,b=n,则则按三种方案提价后的价格分别为按三种方案提价后的价格分别为:A.(1+a)(1+b)M=(1+a+b+ab)MC.(1+)2 M=1+a+b+M2ba2)2(ba只需比较只需比较 ab 与与 的大小的大小.2)2(ba042)2(222babaabba易知易知B.(1+b)(1+a)M=(1+a+b+ab)M31 所以所以 ,即即C方案提价幅度方案提价幅度最大最大.abba2)2(有些问题需比较有些问题

14、需比较 ab 与与 的大小的大小,利用不等式性质判断太繁锁利用不等式性质判断太繁锁,把它作为定理把它作为定理.2)2(ba为易记、好用为易记、好用,把它按如下方式叙述把它按如下方式叙述:)0,0(2baabba a2+b2 2ab3293P4().Aab例 一份印刷品的排版面积 矩形 为，它的例 一份印刷品的排版面积 矩形 为，它的两边都留有宽 的空白，顶部和底部都留两边都留有宽 的空白，顶部和底部都留有宽为 的空白如何选用纸的尺寸，才能有宽为 的空白如何选用纸的尺寸，才能使纸的用量最小？使纸的用量最小？例例5 5.如图，教室的墙壁上挂着一块黑如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别

15、在学生的板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方水平视线上方a a米和米和b b米，问学生距米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？离墙壁多远时看黑板的视角最大？34APBHba例例3 3.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方边缘分别在学生的水平视线上方a a米和米和b b米，问学米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？:,PxPHAPHBPH 解解 设设学学生生 距距黑黑板板 米米黑黑板板上上下下边边缘缘与与学学生生的的水水平平视视线线的的夹夹角角分分别别为为其其中中则则学学生

16、生看看黑黑板板的的视视角角为为tan,tan,abxx由由此可得由由此可得 2tantanan1tantatn1ababxxababxxx 22,tan,ababxxabxabxx因为当且仅当时最大因为当且仅当时最大,由于为锐角由于为锐角,此此 时时最最 大大.ab即学生距墙壁时看黑板的视角最大即学生距墙壁时看黑板的视角最大35 如图，为处理含有某杂质的污水，如图，为处理含有某杂质的污水，要制造一底宽为要制造一底宽为2米的无盖长方体沉米的无盖长方体沉淀箱，污水从淀箱，污水从A孔流入，处理后从孔流入，处理后从B孔流出，设箱长孔流出，设箱长 a 米，箱高米，箱高b米，流米，流出水中该杂质的质量分数

17、与出水中该杂质的质量分数与ab成反成反比，现有制箱材料比，现有制箱材料60平方米，问平方米，问a、b各为多少，可使流出水的质量分数各为多少，可使流出水的质量分数最小？最小？(A、B孔面积不计孔面积不计)题题例例ABab21(0),ykykab解法：设流出的水中杂质的质量分数为，解法：设流出的水中杂质的质量分数为，得得2 22260(0,0),babaab又又2302kkyaaaba 2306434(2)18.22aaaaa 又又6426,3.2aaba 由得则由得则2(0),ykykab解法：设流出的水中杂质的质量分数为，解法：设流出的水中杂质的质量分数为，得得.aby当最大时，最小当最大时，

18、最小2 22260(0,0),230(0,0),babaababbaab由由得得22 2,abab2 230,018.ababab得得26,230,3.abaababb，由得由得课堂课堂小结小结算术平均数与几何平均数的关系及变形算术平均数与几何平均数的关系及变形重点重点：基本形式与均值定理：基本形式与均值定理涉及三种转化涉及三种转化(和和、和积、实际问题与数学问题和和、和积、实际问题与数学问题)关键关键：类比结构，配式转化：类比结构，配式转化应用数学思想应用数学思想思想思想：方程与函数思想：方程与函数思想 数形结合思想数形结合思想 等价转换思想等价转换思想 分类讨论思想等分类讨论思想等1.1.

19、互不相等的四个正数互不相等的四个正数 成等比数列，成等比数列，则则 的大小关系是的大小关系是 ,a b c d2adbc与2.2.已知实数已知实数 成等差数列，成等差数列，成等比数成等比数 列，则列，则 的取值范围是的取值范围是 12,x a ay12,x b by2121 2()aabb22113.,()()22x yxyyx若是正数，则的最小值为21 cos28sin4.0,()2sin2xxxf xx当时 函数的最小值为121212125.()0,()2()(),(),(),(),f xf xxf xf xxRf xa f xbf xxabab 已知且满足已知且满足且且则的取值范围是则的

20、取值范围是 452(1),1.(1)(2)(3)4,1117.8nnnnnmanSSanmaaa 已知数列的前 的和满足已知数列的前 的和满足写出数列的前三项；写出数列的前三项；求该数列的通项公式；求该数列的通项公式；证明：对任意的整数证明：对任意的整数 有有232112312(),1()()().(I)()23(II)(),()(1),;()(III),(),2nnnnnnnnnnf xxxxn nnNf xg ng nnnanNg nSaaaaSg nbTbbbTl lZl 设二次函数当时，的所有整数值的个数为求的表达式；设求设若求 的最小值.思考111111111 2,4,().(I)2

21、1;(II)();(III)55.5(IV)|5|51.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnkkabxababbabab xnNbnxxxnNxxxxx 已知数列、满足当时，（填“、”）试用表示求证：与中一个比大，另一个比小并说明与中哪一个更接近于？求证：题题例例 ()0,pq某商品计划两次提价，有三种方案 见表，其中问提价后哪种方案的提价幅度最大？1()%2pq1()%2pq题题例例 一船航行时所耗时燃料费与其航速的平方成正比，已知航速为每小时a海里时，每小时所耗燃料费为b元，此外，该船航行时每小时的其它费用为c元(与航速无关)，若该船匀速航行d海里，求其航速为多少时,可使航行的总费用最

22、省？(若船的航行速度不超过v0)小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。当我们渐渐步入社会，为了生活，我们不得不努力工作，严格遵守公司的规章制度，不敢有一丝懈怠，甚至为了一份微薄的薪水，我们几乎耗尽了所有的时间和精力去做好，不是在上班，就是在去上班的路上，几乎没有自己所谓的自由时间，我想在当今社会，应该有很大一部分人是这样，没有时间交际，也没有时间旅游，更没有时间去陪伴家

23、人或许这就是所谓的生活的选择，到最后只能自己在心里安慰自己：有失有得，只是这个得真是我们自己所想要的吗？人，活着其实很累，在公司，上有可能需要讨好领导，下还需要和同事打好关系，回家需要处理好家庭的关系，交际需要维护好朋友自己的友谊，一不小心就有可能会各种质疑的话语，让我们心里、身体上背负着更重的压力。也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，殊不知在心里巴不得这聚会早点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而

24、自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。时光在飞逝，父母容颜渐渐沧桑，望着父母佝偻的背影，心里一阵阵莫名的心酸。年轻时不努力拼搏，老了就自己受苦，这是现在年轻人经常激励自己的话，为了所谓的以后，我们牺牲了自己最美好的年华，却没有谁知道以后的样子又会是如何，也许这就是所谓的选择。我们每个人都有很多在选择，学业、事业、爱情我们都有各种各样的选择，可以说生活中我们时刻面临着选择，选择不一样，结局也会不一样，只是你的选择是否真正发自内心还是出自于生活的无奈，已经无人理会。人生路需要走很久，我们总会遇到各种各样的人，各种

25、各样的事，正如我们工作平台选择不一样，起点也会不一样，领导选择不一样，或许你的结局也会不一样，我们不能选择自己的出生，所以不要怨天尤人，更不要去指责，生活对谁都一样，选择永远在你手中，跟着心走，或许你就能找到一个真正的自己。大自然给予了我们很多美好的东西，只是我们自己却不知道去好好珍惜，只有当我们在失去后或者犯错了，我们才会去说后悔没有珍惜，希望能给一次机会重新来过，只是这样的重来真的还能重来吗？我们谁都不能去肯定，路，自己选择，自己走下去，也许有人给你使绊，也许有人会拉你一把，但终归还是需要自己去选择，自己亲自去走。人生经历太多，失败了、跌倒了，可以站起来继续走，如果走错了，可以选择正确的路

26、，但我们如果放弃了，就有可能一直停留在那，多年以后，或许你已经被遗忘。风景在路上，我们需要去寻找，才能找到真正的自己，谁都有无奈，谁都有生活的压力，只是你们的选择不一样，当你走上自己的路，或许你会觉得轻松，或许你会觉得很难，但那终归是属于自己的路，因为生活，始终在你手中。是在医院渡过，然而和母亲在一起的毎一刻都是温暖美好的。四年前，母亲还是离开了这个世界，离开了我。生命就是如此脆弱，逝去和別离，陈旧的情绪某年某月的那一刻如水泻闸。水在流，云在走，聚散终有时，不贪恋一生，有你的这一程就是幸运。那是地久天长的在我的血液中渗透，永远在我的心中，在我的生命里。时光就是这么不经用，很快自己做了母亲，我才

27、深深的知道，这样的爱，不带任何附加条件，不因万物毁灭而更改。只想守护血浓于水的旧时光，即便峥嵘岁月将容颜划伤，相信一切都是最好的安排。那时的时光无限温柔，当清水载着陈旧的往事，站在时光这头，看时光那头，一切变得分明。执笔书写，旧时光的春去秋来，欢喜也好，忧伤也好，时间窖藏，流光曼卷里所有的宠爱，疼惜，活色生香的脑海存在。回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨声，天晴天阴，都是慈悲。时光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽

28、留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回

29、后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光，剪掉喧嚣尘世的纷纷扰扰，剪掉终日的忙忙碌碌。情也好，事也罢，细品红尘，文字相随，把寻常的日子，过得如春光般明媚。光阴珍贵，指尖徘徊的时光唯有珍惜，朝圣的路上做一个谦卑的信徒，听雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自会来，心深处自有广阔的天地。旧时光难忘，好的坏的一一纳藏，不辜负每一寸光阴，自会花香满径，盈暗香满袖。每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾

30、经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。物质缺乏的年代，大家过得都是差不多的日子，这四家就属老干部老李条件最好，一般买东西都是要

31、用粮票、布票、肉票。要是没有这些票证的话，就算你有钱出去也会饿死的。老干部的待遇好一点，经常用不了那些票证，于是老李就常常把用不完的票证分给了这些邻居。那个年代的钱特别的顶用，一斤大米一毛三分八；一斤鱼两角钱；一斤牛肉熟的才五角钱；一个大肉包子五分钱；一只烧鸡两元钱；小米一斤一角钱；一个卤猪蹄子两毛钱一个；一盒火柴两分钱；一斤面粉两毛五。全国啥地方都是统一的价格，住的房子都是单位给分的，房子也都不交水电费的。一点也不像现在一会一个价钱。那个时候老干部一般一个月一百多元钱，一般的干部工人多数就是一个月五六十元到七八十元不等。这几家人特别的和睦，就像一家人一样，谁家有事大家都会过去帮忙。一九七六年

32、唐山大地震的时候，老吴在唐山的老家也遭受了灾害，屋子倒了，人也砸伤了，老吴赶紧请假和他爱人一起回去处理老家的事情去了。老李对老吴说，“你放心的回老家吧！你的孩子我帮你看。”当时老吴的老大才十四岁，还有一个刚刚才上学的七岁的小女儿。老吴走后每一天孩子起床都是老李叫他们起床，洗脸，吃饭上学，都是老李管的。孩子们放学就在老李家里学习，写作业，吃饭。每到星期天老石钓来鱼做熟以后，就端到老李家让老吴的孩子打牙祭。老赵的孩子学习好，只要有时间就去老吴家帮助他的孩子辅导功课。就这样两个多月很快过去了，老吴两口子回来了，他们看到家里面收拾的整整齐齐的。孩子们也长胖了，也爱学习了。他当面给老李鞠了一躬表示十分的

33、感激，还给老石的孩子带了一些当地的土特产，给老赵的孩子买了几件衣服。老干部老李当时家里有一部电话机，这个电话机就成了几家人共同使用的了。那个时候打个电话一般不太容易，当时电话机是个除了单位有一部以外，根本很少有个人电话的。老石在休息的时候喜欢出去钓鱼，他这个人喜欢钓鱼，就是不太喜欢吃鱼。钓的鱼一部分留下给自家孩子吃一些，大部分的鱼都分给邻居吃了。老李特别喜欢吃鱼，老石就经常把钓的鱼给他吃。老赵是个食堂的采购员，经常可以买到别人还没有吃到的反季节蔬菜，大家经常让他给代买一点便宜的蔬菜，或者便宜的鸡蛋，或者便宜的肉和其他调味品。当时一般的人家里都没有电视机，最多有个半导体收音机就是很好的了。大多数

34、人下班吃完饭没有事就是喜欢串串门，一起都聊的是过去的事情，以及现在的工作和家常事。串门是特别普遍的现象。现在这个年代在一起住了好久也不知道邻居是干啥的，或者姓啥叫啥，哪里的人都不知道。就是住在隔壁的也就是看见了打个招呼点个头，各自开门关门就走开了，与那个时候的邻里关系没法相比。老吴是个老师，也是一个戏迷，爱听京剧，也是一个爱下象棋的。老吴一有空就和老李下棋玩，于是他们有了深厚的情谊。他们几家人的孩子相处得也是特别的好，一般放了学就在一起学习玩耍。在那个时候，人们心里都是充满着英雄主义和共产主义的理想，就是跟着毛主席共产党好好的为人民服务。小孩玩的游戏，多是是刀枪、打仗的游戏，还有电影里看见的剧

35、情。他们拿着玩具枪，还有木头做的宝剑，或者花五角钱可以买一根长杆木头大刀。他们拿着这些玩具就分出两个队伍。你这个队伍藏起来，他们埋伏起来之前还要伪装好，他们一般都是藏在山坡底下或者是草多的地方。有的头上还要带上细树枝编的帽子或者是柳树条编的头箍，他们就趴在草丛里一般很难被另外一群小伙伴发现的。那个队伍就到处找他们，这个游戏叫做抓特务，或者叫做打伏击抓俘虏。他们一有时间，或者一放寒暑假，一群孩子就喜欢玩这个游戏，特别好玩。那一两个月就是孩子们的天下了，非常热闹。除此之外就是滚铁环、碰膝盖游戏。女孩子喜欢跳皮筋、跳格子、跳绳、打沙包、唱歌，也喜欢玩抓特务游戏。到了七十年代初，老李家里就买了国产第一

36、批黑白电视机，一到晚上，他们那个院子里几乎所有的人下了班，吃完饭，就到老李家里看电视去了。当时只可以收看两个频道，一个是陕西电视台，一个是中央电视台。一般演的除了新闻就是纪录片，再就是运动会的直播，或者是实况录像。当时一般人根本没有见过电视剧，就是那一台十六英寸的电视机，一直见证了整个的七十年代。老吴也有的时候去老李家里看京戏，他一边看着京戏一边嘴里还不停地哼哼着京戏。一天嘴里哼着京戏特别愉悦和快乐，就是这样又过了几年。他们的孩子都出去有的工作了，有的到了外地上学去了。一年就是过年放假回来一个月，或者暑假才能回来看看。有的时候家里有了什么急事，他们才会请假来几天看看。到了改革开放的八十年代，老

37、李的儿子在外地混得很好，有了一定的实力，就把一家人都接走了，到了廊坊买了大房子。刚开始老李住在大房子里还可以，可是过了没有多久就不喜欢说话了，一天也没有精神一样，总感觉生活没有一点意思。老石呢，也是退了休一天没有人说话了，就整天出去钓鱼，钓鱼自己又很少吃。但是新搬来的年轻人他就是看不惯，基本很少和这些年轻人来往。那些年轻人一点不安静，休息时不是喝酒划拳，就是唱卡拉OK，一折腾就是半夜。老石也不好说他们什么。有一年他的孩子也把老石接到了外地，呆了半年多，老石实在难受就回来了。老赵的两个孩子都在上海打工也不回来了，他就在上海给他的孩子带孩子了。二零零五年，他们因为特别想当年的老邻居，他们的孩子就帮他们联系这些当年的老邻居，没有几个月他们联系好了，在当年的国庆节，他们终于在故地汉中见面了。一见面感觉彼此还是和当年一样的亲切，他们这几家人好好在西安玩了一周，然后就各自回家了，临走的时候他们还照了一张大合影，当做彼此的留念。又过了一年，老李去世了；老吴突然得了心脏病；老赵得了糖尿病。这两位老邻居知道他们自己的情况后，就在西安的郊区买了一块地，要求孩子们在他们死后就都埋在这里。二零一零年，老吴也走了，儿子小吴就把老吴的骨灰埋在了那里。现在老石、老赵还健在，他们常说，“我们以后也要团聚在那里，永远不会再分离！”这句话深深震撼着我，也许这就是我们现在这个时代所缺失的宝贵财富吧！