人教版B版选修1-1数学课件：3.3 导数的应用第1课时.ppt

1、导数及其应用导数及其应用 第三章第三章 3.3 导数的应用导数的应用 第第1课时课时 利用导数判断函数的单调性利用导数判断函数的单调性 第三章第三章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 我们知道正弦曲线是上、下起伏的波浪线，实际上多数函 数的图象都是如此，它们的单调性交替变化有些函数的单调 性通过我们所学的基本方法能够判断，多数函数我们判断起来 非常困难，甚至无法判断本节我们将学习利用导数来研究函 数的单调性. 1.基本初等函数的导数公式 函数 导数 f(x)xu(x0，u0) f(x)_(u 为有理数) f(x)s

2、inx f(x)_ f(x)cosx f(x)_ f(x)ax f(x)_(a0 且 a1) f(x)ex f(x)_ f(x)logax f(x)_(a0 且 a1) f(x)lnx f(x)_ 2.已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)3x2 2xf(2)，则 f(5)_. 答案：1.uxu 1 cosx sinx axlna ex 1 xlna 1 x 26 一 利用导数判断函数的单调性的法则 设函数 yf(x)在区间(a，b)内可导，如果 f(x)在 x 的某个开 区间内总有 f(x)0，则 f(x)在这个区间上是增函数；如果 f(x) 在 x 的某个开区间总有 f(

3、x)0是f(x)在(a， b)上为单调增函数的充分不必要条件，f(x)0. 函数yx3的递减区间是( ) A(，) B(0，) C(，0) D不存在 答案 D 解析 y3x20，(xR)恒成立， 函数yx3在R上是增函数 二 判断可导函数单调性的一般步骤 第一步，确定函数f(x)的定义域 第二步，求f(x)，令f(x)0，解此方程，求 出它在定义域内的一切实根 第三步，把函数f(x)在间断点(即f(x)的无定义 点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺 序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义 区间分成若干个小区间 第四步，确定f(x)在各个小区间的符号，根据 f(x)的符号判断函数f(x

4、)在每个相应小区间的 增减性 注意：(1)若一个函数具有相同的单调性的区 间不止一个，这些单调区间不能用“”或 “或”连接，而用“逗号”或“和”隔开 (2)单调区间必须是函数定义域的子集，因而 确定函数的定义域是前提单调区间的端点 在定义域内时可写可不写；若不在定义域内， 一定不能写 讨论函数 yx3x 的单调性 解析 函数的定义域为 R. y3x213(x 3 3 )(x 3 3 )， 令 y0 得 x1 3 3 ，x2 3 3 . 当 x 3 3 时，y0，当 3 3 0，如果f(x)g(x)0，说明 F(x)f(x)g(x)在(a，b) 上是增函数若 F(x)f(x)g(x)是增函数，F

5、(a)0，当 x(a， b)时，F(x)f(x)g(x)F(a)0，即 f(x)g(x) 已知 x1，求证 xlnx. 证明 设 f(x)xlnx(x1) f(x)11 x x1 x x1，f(x)x1 x 0 恒成立 函数 f(x)在(1，)上是增函数，f(x)f(1) 又 f(1)1ln110 即 f(x)0 对 x(1，)恒成立 xlnx0，即 xlnx (x1) 课堂典例探究课堂典例探究 利用导数研究函数的单调区间 已知函数yx f(x)的图象如图(其中f(x)是函 数 f(x)的导函数)，下面四个图象中 yf(x)的图象大致是( ) 解题提示 利用 yxf(x)的图象判断 f(x)的

6、符号，从 而判断 yf(x)的大致图象 解析 由题图知，当x0，f(x)0，当x1时， 函数yf(x)单调递增 答案 C 求函数f(x)3x22lnx的单调区间 解析 函数的定义域为(0，)， f(x)6x2 x 23x21 x . 由 f(x)0， 即3x 21 x 0，得 x 3 3 ， 函数 f(x)的增区间为( 3 3 ，)， 由 f(x)0. 即在区间0， 2)上，f(x)是增函数， 当 00. 当 00 时，证明不等式 ln(x1)x1 2x 2. 解析 令 f(x)ln(x1)x1 2x 2，定义域为(1，)， 则 f(x) 1 1x1x x2 1x. 当 x(1，)时，f(x)

7、0， f(x)在(1，)上是增函数 于是当 x0 时，f(x)f(0)0， 当 x0 时，不等式 ln(x1)x1 2x 2 成立. 已知函数f(x)2axx3，x(0,1， a0，若f(x)在(0,1上单调递增，求a的取值范 围 误解 f(x)2a3x2，且 f(x)在(0,1上单调递增， f(x)0 在(0,1上恒成立， 即 a3 2x 2 在 x(0,1上恒成立 又3 2x 2(0，3 2，a 3 2. 辨析 若f(x)在区间D上是增函数，则f(x)0 在区间D上是恒成立的，而不是f(x)0在区间 D上恒成立 正解 f(x)2a3x2，且 f(x)在(0,1上单调递增， f(x)0 在(0,1上恒成立， 即 a3 2x 2 在 x(0,1上恒成立 又3 2x 2(0，3 2，a 3 2. 利用导数判断 函数的单调性 利用导数判断函数单调性的法则了解 利用导数判断函数单 调性的步骤掌握 求导数 解不等式 确定单调区间