人教B版必修四数学课件：3.2.1 倍角公式.ppt

1、 3.2.1 倍角公式倍角公式 课件（人教课件（人教B版必修版必修4） 3.2 倍角公式和半角公式倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式倍角公式 课堂互动讲练课堂互动讲练 知能优化训练知能优化训练 3.2.1 课前自主学案课前自主学案 学习目标学习目标 学习目标学习目标 1.会从两角和的正弦会从两角和的正弦、余弦余弦、正切公式导出二正切公式导出二 倍角的正弦倍角的正弦、余弦余弦、正切公式正切公式 2掌握公式的正用掌握公式的正用、逆用与变形的应用逆用与变形的应用 课前自主学案课前自主学案 温故夯基温故夯基 1平方和公式：平方和公式：_ 2S ： ：sin()_； C ： ：cos()_； T

2、： ：tan() _ . sin2cos21 sincoscossin coscossinsin tantan 1tantan 知新益能知新益能 二倍角公式二倍角公式 思考感悟思考感悟 1公式公式S2、C2、T2的适用范围是否相同？的适用范围是否相同？ 提示：提示：公式公式 S2、C2中角中角 可以是任意角可以是任意角，但公式但公式 T2 只有当只有当 2 k 及及 4 k 2 (kZ)时才时才成立成立，否则不否则不 成立成立 2在什么情况下，在什么情况下，sin22sin，cos22cos， tan22tan？ 提示：提示： 一般情况下不成立一般情况下不成立， 只有当只有当 k(kZ)时时，

3、 sin2 2sin 才成立才成立； 只有当只有当 cos1 3 2 时时， cos22cos 才成立才成立； 只有当只有当 k(kZ)时时， tan22tan 才成立才成立 3能否由能否由S2，C2推出推出T2？ 提示：提示：可以可以tan2sin2 cos2 2sincos cos2sin2， ， 分子分子分母同除以分母同除以 cos2 得得 tan2 2tan 1tan2. 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点突破考点突破 给角求值问题给角求值问题 对于公式不但会正用对于公式不但会正用、逆用逆用、变形用变形用，还要会还要会 创造条件应用条件创造条件应用条件，如拆角如拆角、凑角的技巧凑角的技巧

4、二倍角公式不仅限于二倍角公式不仅限于2是是 的二倍角的二倍角， 其它如其它如4是是 2 的二倍角的二倍角， 3是 是 6的二倍角等 的二倍角等，所有这些都可以应用二所有这些都可以应用二 倍角公式倍角公式 求下列各式的值求下列各式的值； (1)sin 12cos 12； ； (2)12sin2750 ； (3) 2tan150 1tan2150 ； (4) 1 sin10 3 cos10 . 例例1 【思路点拨】【思路点拨】 注意观察式子的结构特点，灵注意观察式子的结构特点，灵 活地利用公式或公式变形求值活地利用公式或公式变形求值 【解】【解】 (1)原式原式 2sin 12cos 12 2 s

5、in 6 2 1 4. (2)原式原式cos(2750 )cos1500 cos(4360 60 )cos60 1 2. (3)原式原式tan(2150 )tan300 tan(360 60 ) tan60 3. (4)原式原式cos10 3sin10 sin10 cos10 2 1 2cos10 3 2 sin10 sin10 cos10 4 sin30 cos10 cos30 sin10 2sin10 cos10 4sin20 sin20 4. 【点评点评】 此类题型此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或小题直接利用公式或 逆用公式，而逆用公式，而(4)小题是分式，一般先通分，再考小

6、题是分式，一般先通分，再考 虑结合三角函数公式的逆用从而使问题得解虑结合三角函数公式的逆用从而使问题得解 变式训练变式训练 1 求下列各式的值求下列各式的值 (1)cos 5cos 2 5 ； (2) sin5 12 sin 12 sin5 12 sin 12 . 解：解：(1)原式原式 2sin 5cos 5cos 2 5 2sin 5 sin2 5 cos2 5 2sin 5 1 2sin 4 5 2sin 5 1 4. (2)原式原式sin( 2 12) sin 12sin( 2 12) sin 12 cos 12 sin 12 cos 12 sin 12 cos2 12 sin2 12

7、 cos 6 3 2 . 给值给值(式式)化简求值化简求值 对于给值求值问题，关键在于对于给值求值问题，关键在于“变角变角”使使“目标目标 角角”变成变成“已知角已知角”，另外角的范围应根据所给，另外角的范围应根据所给 条件进一步缩小，避免出现增解条件进一步缩小，避免出现增解 已知已知 sin 4 x 5 13， ， 0x 4， ， 求求 cos2x cos 4 x 的值的值 例例2 【思路点拨】【思路点拨】 求求 4 x的范围的范围 求求cos 4 x 的值的值 利用利用cos2xsin 2 2x 求值求值 利用利用cos 4 x sin 2 4 x 求值求值 代入原式求值代入原式求值 【解

8、】【解】 x(0， 4)， ， 4 x(0， 4)， ， 又又sin 4 x 5 13， ， cos 4 x 12 13，又 ，又 cos2xsin 2 2x 2sin 4 x cos 4 x 2 5 13 12 13 120 169. cos 4 x sin 2 4 x sin 4 x 5 13， ， 原式原式 120 169 5 13 24 13. 【点评点评】 (1)从角的关系寻找突破口这类三角从角的关系寻找突破口这类三角 函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条 件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的件变形，将题设条件中的角、函数名向结论

9、中的 角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论 中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢， 以便将题设条件代入结论以便将题设条件代入结论 (2)当遇到当遇到 4 x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导 这样的角时可利用互余角的关系和诱导 公式，将条件与结论沟通公式，将条件与结论沟通cos2xsin 2 2x 2sin 4 x cos 4 x .类似这样的变换还有：类似这样的变换还有： cos2xsin 2 2x 2sin 4 x cos 4 x ， sin2xcos 2 2x 2cos2 4 x 1， s

10、in2xcos 2 2x 12cos2 4 x 等等等等 变式训练变式训练 2 已知已知 sincos1 3， ，且且 0，求求 sin2，cos2，tan2 的值的值 解：解：sincos1 3， ， sin2cos22sincos1 9， ， sin28 9 且且 sincos4 9 0， 0，sin0，cos0，sincos0， sincos 1sin2 17 3 ， cos2cos2sin2(sincos)(cossin) 1 3 ( 17 3 ) 17 9 ，tan2sin2 cos2 8 17 17 . 倍角公式与三角函数性质的综合应用倍角公式与三角函数性质的综合应用 这类问题是求

11、函数的值域、单调区间、周期、对这类问题是求函数的值域、单调区间、周期、对 称轴、对称中心等求解时先将式子化简为称轴、对称中心等求解时先将式子化简为y Asin(x)(A0，0)的形式的形式 例例3 已知函数已知函数 f(x)4cos2x4 3sinxcosx5， x R. (1)求求 f(x)的最大值及取最大值时的最大值及取最大值时 x 的集合的集合； (2)求求 f(x)的单调递增区间的单调递增区间 【思路点拨思路点拨】 首先利用二倍角公式的逆用进行首先利用二倍角公式的逆用进行 降幂运算，将单角降幂运算，将单角x化为二倍角化为二倍角2x，再利用辅助角，再利用辅助角 公式化为公式化为Asin(

12、x)k的形式，再研究三角函的形式，再研究三角函 数的性质数的性质 【解】【解】 f(x)4 1cos2x 2 2 3sin2x5 2 3sin2x2cos2x34sin 2x 6 3. (1)令令 2x 6 2 2k(kZ)，即：，即：xk 3(k Z)时，时，f(x) 的最大值为的最大值为 7，取最大值时，取最大值时 x 的集合为的集合为x|xk 3， ，kZ； (2)令令 2 2k2x 6 2 2k(kZ) 6 kx 3 k(kZ)，所以，所以 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 6 k， 3 k (kZ) 【点评】【点评】 我们在研究三角函数的性质时，一般我们在研究三角函数的性质时

13、，一般 需要将函数表达式化为需要将函数表达式化为f(x)Asin(x)k或或 f(x)Atan(x)k的形式，利用的形式，利用f(x)sinx或或 f(x)tanx的性质进行研究，在变换过程中倍角的性质进行研究，在变换过程中倍角 公式和两角和与差的三角公式很重要公式和两角和与差的三角公式很重要 变式训练变式训练 3 已知函数已知函数 f(x)12sin2(x 8) 2sin(x 8)cos(x 8) 求：求：(1)函数函数 f(x)的最小正周期；的最小正周期； (2)函数函数 f(x)的单调区间的单调区间 解：解：(1)f(x)cos(2x 4) sin(2x 4) 2sin(2x 4 4)

14、2sin(2x 2) 2cos2x， 函数函数 f(x)的最小正周期的最小正周期 T2 2 . (2)由由(1)得，当得，当 2k2x2k(kZ)， 即即 k 2 xk(kZ)时，时， 函数函数 f(x) 2cos2x 是增函数是增函数 f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是k 2， ，k(kZ) 当当 2k2x2k(kZ)， 即即 kxk 2(k Z)时，时， 函数函数 f(x) 2cos2x 是减函数是减函数 f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是k，k 2(k Z) 1对于对于“二倍角二倍角”应该有广义上的理解，如：应该有广义上的理解，如： 8 是是 4 的二倍角；的二倍角；6 是是 3 的二倍角；的二倍角；4 是是 2 的二的二 倍角；倍角；3 是是3 2 的二倍角； 的二倍角； 2是 是 4的二倍角； 的二倍角； 3是 是 6的二倍 的二倍 角；角；. 2 求二倍角的三角函数值， 是一个很基础的求值问 求二倍角的三角函数值， 是一个很基础的求值问题，题， 一般套用二倍角公式求解一般套用二倍角公式求解 3二倍角的余弦有三个公式，因此运用时，要根据目二倍角的余弦有三个公式，因此运用时，要根据目 标选择恰当的公式标选择恰当的公式 方法感悟方法感悟