人教版B版选修1-1数学课件：2.2 双曲线 第2课时.ppt

1、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第二章第二章 2.2 双曲线双曲线 第第2课时课时 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 第二章第二章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也 是我们的生产生活经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其 有怎样的特性. 1.椭圆的标准方程和几何性质是怎样的？ 2双曲线的标准方程为_ 答案：1. 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b2(ab0) 图形 范围 axa byb bxb aya 性质 对称性 对称轴：坐标轴；对

2、称中心：原点 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b2(ab0) 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0) 轴 长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2|2c 离心率 ec a(0,1) 性 质 a，b，c 的 关系 c2a2b2 2.x 2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b21(a0，b0) 一 双曲线的几何性质 1双曲线的范围 在双曲线x 2 a2 y2 b21 中， x2 a21 y2 b211，x 2a2， xa 或 xa，

3、 双曲线x 2 a2 y2 b21 位于直线xa 和xa 所夹平面区域 的外侧双曲线在 xa，xa 之间没有图象当|x|无限增大 时，|y|也无限增大，所以双曲线是无限伸展的不像椭圆是一 条封闭的曲线，双曲线是由两支不封闭的曲线构成的，这一点 与椭圆不同 2双曲线的对称性 双曲线关于两条坐标轴和原点都是对称的坐标轴是双曲 线的对称轴，原点是双曲线的对称中心双曲线的对称中心叫 做双曲线的中心 注意：双曲线的对称性与椭圆完全相同 3双曲线的顶点 在标准方程x 2 a2 y2 b21 中，令 y0，得 x a.因此双曲线 和 x 轴有两个交点 A1(a,0)，A2(a,0)因为 x 轴是双曲线的对

4、称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线 的顶点 令 x0，得 y2b2，这个方程没有实数根，说明双曲线 和 y 轴没有交点，但我们也把点 B1(0，b)，B2(0，b)画在 y 轴 上(如图) 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a，a 叫做双曲 线的实半轴长 线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b，b 叫做双曲 线的虚半轴长 注意：双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，这与椭 圆不同更不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆 (2)双曲线的焦点总在实轴上，椭圆的焦点总在长轴上 4双曲线的渐近线 对于双曲线x 2 a2 y2 b21，经过点 A2、A1 作 y 轴

5、的平行线 x a，经过点 B2、B1作 x 轴的 平行线 y b，四条直线围成一个矩形(如图 所示)矩形的两条对角线所在直线的方程是 y b ax.从图中可以看出双曲线 x2 a2 y2 b21 的各支向外延伸时， 与 这两条直线逐渐接近， 我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线 在方程x 2 a2 y2 b21 中，如果 ab，那么双曲线的方程为 x 2 y2a2，它的实轴和虚轴的长都等于 2a.这时，四条直线 x a，y b 围成正方形，渐近线方程为 y x，它们互相垂直， 并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴和虚轴等长的双曲 线叫做等轴双曲线 注意： (1)双曲线x 2 a2 y2 b21

6、(a0， b0)的渐近线方程为 y b a x，双曲线y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y a bx，两者容 易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得 渐近线方程，这样就不容易记错 (2)随着双曲线的延伸与它的渐近线无限接近，但永不相 交 (3)若已知渐近线方程为 mx ny0， 求双曲线方程， 双曲线 的焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上，要分情况进行讨论， 或依据渐近线方程，设出双曲线方程为 m2x2n2y2(0)， 结合其他条件求出 即可 5双曲线的离心率 双曲线的焦距与实轴长的比c a， 叫做双曲线的离心率 因为 ca0，所以双曲线的离心

7、率 ec a1. 由等式 c2a2b2，可得b a c2a2 a c2 a21 e 21. 因此 e 越大，b a也越大，即渐近线 y b ax 的斜率的绝对值 就越大， 这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知， 双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔 双曲线的离心率的范围是(1，)，e 越大，双曲线张口 越大 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，离心率等 于3 2，则 C 的方程是( ) A.x 2 4 y2 51 B.x 2 4 y 2 5 1 C.x 2 2 y 2 5 1 D.x 2 2 y2 51 答案 B 解析 双曲线的右焦点在 x 轴上，且 c3，又c a

8、 3 2， a2.b2c2a25，c 的方程为x 2 4 y 2 5 1. 二 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线位置关系的判定有时通过联立方程组求解， 有时也要结合图形 联立 ykxm， x2 a2 y2 b21， 消去 y 得 (b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20. 当 b2a2k20 时，式为一次方程，仅有一解，此时直线 与双曲线的渐近线平行，与双曲线有一个公共点，相交； 当 b2a2k20 时， 若 0，则直线与双曲线有两个公共点，相交； 若 0，则直线与双曲线有一个公共点，相切； 若 0 5 2 0，b0)共渐近线的双曲线方程可 设为x 2 a2 y2 b2(0) 3

9、若渐近线方程为以下三种形式之一：(1)x 2 a2 y2 b20；(2) x a y b0；(3)y b ax，则双曲线方程可设为 x2 a2 y2 b2(0) 4与椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0)共焦点的双曲线方程可设为 x2 a2 y2 b21(b 20)有相同离心率的双曲线标 准方程可设为x 2 a2 y2 b2k(a0， b0， k0)(焦点在 x 轴上)或 y2 a2 x2 b2 k(a0，b0，k0)(焦点在 y 轴上) 已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2 y210相交于点P(3，1)，若此圆过点P的 切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的 标准方程 解析 切点为 P(

10、3，1)的圆的切线方程为 3xy10. 双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐 标轴对称， 双曲线的渐近线方程为 3x y0. 设所求双曲线的方程为 9x2y2(0) 点 P(3，1)在所求的双曲线上，80. 所求双曲线的方程为 x2 80 9 y2 801. 四 求双曲线离心率的值(范围) 离心率是双曲线的重要几何性质这类问题一般有两类： 一类是根据一定的条件求离心率，另一类是根据条件求离心率 的取值范围，无论哪类问题，其方法都是建立关于 a、b、c 的 关系式(等式或不等式)并且最后把 b 用 a、c 来表达，转化为关 于 e 的关系式 已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a

11、2)的一条渐近线方程为 y 4 3x， 则双曲线的离心率为( ) A.5 3 B.4 3 C.5 4 D3 2 答案 A 解析 b a 4 3， b2 a2 16 9 c 2a2 a2 c 2 a21， c a 216 9 125 9 ，ec a 5 3. 课堂典例探究课堂典例探究 由双曲线的性质求标准方程 已知双曲线的渐近线方程为 y 1 2x， 焦距为 10， 求该双曲线的标准方程 解题提示 由题目可获取以下主要信息：已知双曲线 的某些几何性质求双曲线的标准方程解答本题要把几何 性质转化为关于参数 a，b，c 的关系式，然后用待定系数法求 解 解析 解法一：当焦点在 x 轴上时，设所求双曲

12、线方程 为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 由渐近线方程为 y 1 2x 得， b a 1 2，2c10，由 c 2a2b2 得 a220，b25. 双曲线方程为 x2 20 y2 5 1. 同理，当焦点在 y 轴上时，可得双曲线方程为y 2 5 x2 201. 即所求双曲线方程为 x2 20 y2 5 1 或y 2 5 x2 201. 解法二：由渐近线方程为 y 1 2x 可设双曲线方程为 x2 4 y2 (0)，即 x2 4 y2 1. 由 a2b2c2得|4|25，即 5. 所求双曲线方程为 x2 20 y2 5 1 或y 2 5 x2 201. 方法总结 由双曲线的几何性质求

13、双曲线的标准方程， 常用的方法是待定系数法具体步骤是：首先，根据所给的几 何性质判断焦点的位置，以确定双曲线方程的类型；其次，利 用已知条件的构造关于参数 a、b、c 的方程(组)；最后，解方 程(组)，求出参数 a、b、c，并代入双曲线方程即可 求过点(2，2)且与x 2 2 y21 有公共渐近线的双曲线的方 程 解析 解法一：当焦点在 x 轴上时，由于b a 2 2 ，故可设 方程为 x2 2b2 y2 b21，代入点(2，2)，得 b 22(舍去)当焦点 在 y 轴上时，可知a b 2 2 ，故可设方程为y 2 a2 x2 2a21，代入点(2， 2)，得 a22，所求双曲线方程为y 2

14、 2 x 2 4 1. 解法二： 因为所求双曲线与已知双曲线x 2 2 y21 有公共的 渐近线，故可设双曲线方程为x 2 2 y 2 1 ，代入点(2，2)，得 2. 所求双曲线的方程为x 2 2 y22，即y 2 2 x 2 4 1. 双曲线的离心率 已知双曲线x 2 a2 y2 b21(0b，ab，a0)的离心率为 2，则 a( ) A2 B. 6 2 C. 5 2 D1 答案 D 解析 由题意，得 e a23 a 2， a234a2，a21.a0，a1. 直线与双曲线的综合应用 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C：2x2 y21. (1)设 F 是 C 的左焦点， M 是 C

15、 右支上一点 若|MF|2 2， 求点 M 的坐标 (2)过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线， 求这两组平 行线围成的平行四边形的面积 (3)设斜率为 k(|k| 2)的直线 l 交 C 于 P、Q 两点若 l 与 圆 x2y21 相切，求证：OPOQ. 解题提示 (1)利用 M 点在双曲线 C 上及|MF|2 2构建 关于点 M 的坐标的关系式 (2)根据过 C 的左顶点 A( 2 2 ，0)且与 C 的渐近线平行得 出直线方程，与渐近线方程联立，得平行四边形的一个顶点坐 标 (3)由斜率为 k 的直线 l 与圆 x2y21 相切， 得变量的关系 式，将直线 l 的方程与双曲线 C

16、 的方程联立，结合向量知识求 得 OPOQ. 解析 (1)设双曲线 C：x 2 1 2 y21，左焦点 F( 6 2 ，0) 设 M(x，y)，则|MF|2(x 6 2 )2y2( 3x 2 2 )2， 由 M 点是右支上一点，知 x 2 2 ， 所以|MF| 3x 2 2 2 2，得 x 6 2 ， 所以 M( 6 2 ， 2) (2)左顶点 A( 2 2 ，0)，渐近线方程：y 2x. 过点A与渐近线y 2x平行的直线方程为y 2(x 2 2 )， 即 y 2x1. 解方程组 y 2x， y 2x1， 得 x 2 4 ， y1 2. 所求平行四边形的面积为 S|OA| |y| 2 4 .

17、(3)设直线PQ的方程是ykxb.因直线PQ与已知圆相切， 故 |b| k211，即 b 2k21.(*) 由 ykxb， 2x2y21， 得(2k2)x22kbxb210. 设 P(x1，y1)，Q(x1，y2)，则 x1x2 2kb 2k2， x1x21b 2 2k2 . 又 y1y2(kx1b)(kx2b)， 所以OP OQ x1x2y1y2(1k2)x1x2kb(x1x2)b2 1k 21b2 2k2 2k2b2 2k2b 21b 2k2 2k2 . 由(*)知OP OQ 0，所以 OPOQ. 方法总结 解决直线与双曲线的综合应用问题时，常联 立方程组消元后，先判断二次项系数是否为 0

18、，若不为 0 再判 断 ，通过韦达定理求出两根之和与之积后再求解 给定双曲线 x2y 2 2 1，过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线 交于两点 P1、P2.如果 A 点是弦 P1P2的中点，求 l 的方程 解析 设过点 A(2,1)的弦的端点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则 x2 1y 2 1 2 1 x2 2y 2 2 2 1 ，两式相减得 kP1P2y 1y2 x1x2 22 114， 故直线 l 的方程为 y14(x2)， 即 4xy70. 方法总结 求过定点的双曲线的中点弦问 题，通常有下面两种方法： 1点差法，即设出弦的两端点坐标代入双曲 线方程后相减，得到弦中

19、点坐标与弦所在直 线斜率的关系，从而求出直线方程 2联立法，即将直线方程与双曲线方程联 立，利用根与系数的关系与判别式求解 无论使用点差法还是联立法，都要运用是 否大于0来判定中点弦是否存在. 已知双曲线 x2y 2 4 1， 过点 P(1,1)的直线 l 与双 曲线只有一个公共点，求直线 l 的斜率 k 的值 误解 设 l:yk(x1)1，代入双曲线方程得(4k2)x2 (2k2k2)xk22k50，由题意知 (2k2k2)24(4 k2) (k22k5)0， 所以 k5 2. 辨析 错因在于忽略了4k20，即直线l 与双曲线的渐近线平行时，l与双曲线只有一 个交点也符合题意，另外没有考虑直线l斜率 不存在的情况 正解 可分两种情况：直线 l 斜率不存在时，l:x1 与 双曲线相切，符合题意；直线 l 斜率存在时，设 l 的方程为 y k(x1)1，代入双曲线的方程得(4k2)x2(2k2k2)xk2 2k50，当 4k20，即 k 2，即直线 l 与双曲线的渐近 线平行时，l 与双曲线只有一个公共点；当 4k20 时，令 0，得 k5 2.综上可知 k 5 2或 k 2 或 k 不存在. 双曲线；的几何性质 几何性质了解 范围、对称性 顶点、渐近线 离心率 直线与双曲线 位置关系 弦长 中点弦