微分中值定理及洛必塔法则-课件.ppt

1、4.1 4.1 中值定理中值定理4 4.1.1.1 1 中值定理中值定理4 4.1.1.2 2 洛必塔法则洛必塔法则如果函数如果函数 满足条件：满足条件：)(xfy（1 1）在）在 上连续；上连续；,ba（2 2）在）在 内可导；内可导；),(ba（3 3），)()(bfaf),(ba则在区间内至少存在一点则在区间内至少存在一点 ，使，使0)(f定理定理4.14.1（罗尔定理）（罗尔定理）Rolle4.1.14.1.1 中值定理中值定理几何解释几何解释:ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC例例设，在区间设

2、，在区间显然满足罗尔定理前两个条件显然满足罗尔定理前两个条件.且且，即第三个条件也成立，即第三个条件也成立xxxf3)()(xf3,00)0(f0)3(f所以所以xxxxxxxxxf32363226323)(，令，解得，取令，解得，取 0)(xf2x)3,0(2有有20)2()(ff(1)(2)0ff 例例1 1验证函数验证函数 在在区间区间 上满足罗尔定理的三个条件上满足罗尔定理的三个条件,并求出并求出满足满足 的的 32()4710f xxxx 1,2()0fx 解解 因因 是多项式是多项式,所以在所以在 上可导，故在上可导，故在 上连续，上连续，且在且在 可导可导.32()4710f x

3、xxx(,)1,2(1,2)容易验证容易验证因此，因此，满足罗尔定理的三个条件满足罗尔定理的三个条件.()f x而而 2()387fxxx ()0fx 令令解解之之得得12437437,33xx 2111,21,2()0 xxxf 显显然然，不不在在内内，应应舍舍去去，因因而而可可把把 取取作作，就就有有2 3870 xx即即练习一练习一下列函数在指定的区间上是否满足下列函数在指定的区间上是否满足罗尔定理的条件？如满足，就求出定理中的罗尔定理的条件？如满足，就求出定理中的 .23232(1)()(2)0,4(2)()(2)0,21(3)()1,11f xxf xxf xx 定理定理4.24.2

4、（拉格朗日（拉格朗日LagrangeLagrange定理）定理）则在区间内至少有一点，使得则在区间内至少有一点，使得),(baabafbff)()()(.)(xfy 如果函数满足条件：如果函数满足条件：(1)(1)在在 上连续；上连续；,ba),(ba(2)(2)在内可导；在内可导；ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧abafbfkAB)()(就是满足定理结论的点就是满足定理结论的点.1ABkf)(1abafbf)()(还有下面两个推论：还有下面两个推论：推论推论1 1如

5、果函数在区间内如果函数在区间内任一点的导数都等于零，则在任一点的导数都等于零，则在 内内是一个常数是一个常数.)(xfy),(ba),(ba)(xf)(xf 推论推论2 2如果函数与函数在区间如果函数与函数在区间内的导数处处相等，即，内的导数处处相等，即，则与在区间内只相差一个常数则与在区间内只相差一个常数.即即)(xf)(xg),(ba)()(xgxf)(xf)(xg),(bacxgxf)()()cos0,2(0,)()2 f xxf x 因因为为函函数数在在上上连连续续，在在可可导导，故故满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理解解的的条条件件，例例2 2验证函数验证函数 在区间在区间 上上满足拉

6、格朗日定理满足拉格朗日定理.()cosf xx 0,2 ()sin,fxx 而而 ()(0)(),0.222fff 由由 01sin2 得得22 sin=,arcsin0,.2 (-1,1)在在内内证证明明212arctanarctan21xxx例例3 3证明：在区间证明：在区间 内内(1,1)2 22221(1)22 2(1)41xxxxx212arctan21xx21(arctan)1xx2因因此此，由由推推论论，212arctan=arctan.21xxCx0,0.xC令令得得所所以以等等式式成成立立练习二练习二下列函数在指定的区间上是否满下列函数在指定的区间上是否满足拉格朗日定理的条件

7、？如满足，就求出定理足拉格朗日定理的条件？如满足，就求出定理中的中的 .332(1)()2,1,1(2)()arctan,0,1(3)()5+2,1,0f xxf xxf xxxx 33 5433 41 定义定义如果当如果当(或或)时，两个时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在那么极限可能存在，也可能不存在.通常把这种极限称为或未定式。通常把这种极限称为或未定式。0 xx00()f x0()()lim()xxxf xg xx ()g x例如例如,0sinlim,xxxlim,nxxxe)00()(4.1.24.1.2 洛必塔法洛必塔法

8、则则(2)(2)与在点的某个领域内与在点的某个领域内(点可除外点可除外)可导，且；可导，且；)(xf)(xg0 x0 x0)(xg(1)(1)，；，；0)(lim0 xgxx0)(lim0 xfxx(3)(3)（或）（或）Axgxfxx)()(lim01.1.型未定式型未定式00定理定理4.44.4（洛必塔法则）（洛必塔法则）若函数与满足条件：若函数与满足条件：)(xf)(xg则（或）则（或）Axgxfxgxfxxxx)()(lim)()(lim00例例1 1求求 .xxxx201elim解解当时，有和当时，有和，这是型未定式由洛必达法则，这是型未定式由洛必达法则0 x02x01ex00112

9、elim1elim020 xxxxxxx例例2 2 求求 30cos1limxxx解解当时，有和当时，有和，这是型未定式，这是型未定式.由罗必达法则由罗必达法则0 x0cos1x03x0020303sinlimcos1limxxxxxx当时，有和，当时，有和，仍是型未定式再用罗必达法则仍是型未定式再用罗必达法则0 x0sin x033x00 xxxxxx6coslim3sinlim020例例3 3求求xxx1arctan2lim解解当时，有和当时，有和，这是型未定式，这是型未定式.由罗必达法则由罗必达法则x0arctan2x01x00 xxx1arctan2lim221limxxx22111l

10、imxxx1(1)(1)，；)(lim0 xgxx)(lim0 xfxx (2)(2)与与 在点在点 的某个领域内的某个领域内(点点 可除外可除外)可导，且可导，且 ；)(xf)(xg0 x0 x0)(xg1.1.型未定式型未定式定理定理4.54.5（洛必塔法则）（洛必塔法则）若函数与满足条件：若函数与满足条件：)(xf)(xg(3)(3)()()(lim0Axgxfxx或或 .则则或或)()()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxx解解当时，有当时，有 和和，这是型未定式，这是型未定式.由罗必达法由罗必达法则则 0 xxcotlnxlnxxxlncotlnlim012sin2l

11、im0 xxxxxxxsincoslim0 xxxx1)sin1(tanlim20例例4 4求求xxxlncotlnlim0例例5 5 求求 nxxxlnlim解解当时，有和当时，有和，这是型未定式由罗必达法则，这是型未定式由罗必达法则xxlnnxnxxxlnlim11limnxnxxnxnx1lim0练习三练习三利用洛必达法则求下列极限利用洛必达法则求下列极限0213033213220(1)1(1)lim()ln(2)lim(1)sin(3)lim264(4)lim211(5)limxxxxxxxxxxxxxxxxxxx为任意实数 16 61302000(6)limtan(7)limsin1

12、(8)lim2(9)lim1cos(10)lim(0,1,0,1)ln(1)xaxaxxxxxxxxxeexaxxxxexxeexabaabbxae 2 12 2 lnab0324(11)limsin(12)limsinln(13)limln(1)(14)limln(1)(15)lim()xxxxxnxxxexxxxxxxxxnNe0 0 0 12 0 关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()(1).0型型步骤步骤:,10 .0100 或或3.3.型未定式型未定式000,1,0,例例6 6解解.lim2xxex 求求)0(x

13、exx2lim 原式原式2limxxe.例例7 7求求(型型)xxxlnlim00 解解xxxlnlim0(已化为已化为 型型)2011limxxx0 xxx1lnlim0)(lim0 xx例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)(0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 .0(2).型型步骤步骤:例例9 9求型求型 .)tan(seclim2xxx)(010sincoslim2xxx)00(cossin1lim2xxx 已化为已化为 型型)tan(seclim2xxx解解)cossincos1(lim2xxxx例例1 10 0解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式.1 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件练习四练习四利用洛必达法则求下列极限利用洛必达法则求下列极限.212010(1)limarctan02(2)lim011(3)lim1ln11(4)lim1xxxxxxxxx exxxe 型型型型1 12三、小结三、小结:洛必达法则洛必达法则型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111