人教B版必修2数学课件：1.2.3.2 平面与平面垂直.ppt

1、-1- 第第2课时课时 平面与平面垂直平面与平面垂直 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.理解平面与平面垂直的定义. 2.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中面 面垂直的有关判定方法及性质. 3.掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定 理,并能利用以上定理解决空间中的垂直性问 题. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.两个平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个

2、平面垂直,又这两个平面与第三个 平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直. 思考 1过平面 的一条垂线能作多少个平面与平面 垂直? 提示:无数个. 思考 2经过平面的一条斜线与该平面垂直的平面有多少个? 提示:只有一个. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 判定定理 性质定理 文字 语言 如果一个平面过另一个平面 的一条垂线,则两个平面互相 垂直 如果两个平面互相垂直,那么在一个 平面内垂直于它们交线的直线垂直 于另一个平面 图形 语言 JICHU

3、 ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 续表 判定定理 性质定理 符号 语言 a 平面 a 平面 a = b a b a JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 3(1)两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平 面的位置关系是怎样的? (2)两个平面互相垂直,其中一个平面内与交线相交的直线与另一个平 面一定垂直吗? 提示:(1)两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位 置关系可能是平行,也可能是相交

4、,还可能是在平面内. (2)两个平面互相垂直,其中一个平面内与交线相交的直线与另一个平 面不一定垂直. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 面面垂直的判定 (1)面面垂直的定义,判定的方法是: 证明第三个平面与两个相交平面的交线垂直; 证明这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直; 根据定义,这两个平面互相垂直. (2)面面垂直的判定定理.在证明两个平面垂直时,一般先从现有的直线 中寻找平面的垂线,若这样的直线在现有的图中不存在,则可通过作辅助线 来解决

5、. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 1】 在正方体 AC1中,求证:平面 BDD1B1平面 ACC1A1. 证明:如图所示,因为 AA1平面 ABCD,BD 平面 ABCD, 所以 AA1BD. 又在底面 ABCD 内,对角线 ACBD,且 AA1AC=A, 所以 BD平面 ACC1A1. 又 BD 平面 BDD1B1, 所以平面 BDD1B1平面 ACC1A1. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识

6、SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 2】 如图,在四面体 ABCD 中,BD= 2a,AB=AD=CB=CD=AC=a,求证:平面 ABD平面 BCD. 思路分析:图形中的垂直关系较少,不妨考虑利 用定义法证明. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 证明:取 BD 的中点为 E,连接 AE,CE, 因为 CB=CD=AB=AD, 所以 AEBD,CEBD,则有 BD平面 AEC. 因为 AB=AD=CB=CD=AC=a,B

7、D= 2a, 所以ABD 和BCD 都是等腰直角三角 形,AE,CE 都是斜边上的中线. 所以 AE=CE=1 2BD= 2 2 a. 又 AC=a,所以 AE2+CE2=AC2.所以 AECE. 又 AE,CE 分别是平面 AEC 与平面 ABD、平面 BCD 的交线,所以平面 ABD平面 BCD. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 面面垂直的性质 (1)当所给的题目中有面面垂直的条件时,一般要注意是否有垂直于两 个平面交线的垂线,如果有,可利用性质定理将面

8、面垂直转化为线面垂直或 线线垂直;如果没有,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作 交线的垂线,这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直. (2)面面垂直性质定理的常用推论: 两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两相交平面的交线也垂直 于第三个平面. 两个互相垂直的平面的垂线也互相垂直. 如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线与另一个平面平 行或在另一个平面内. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 3】 (1)如图所示,三棱锥 P-ABC 的底

9、面在平面 内,且 ACPC,平面 PAC平面 PBC,点 P,A,B 是定点,则动点 C 运动形成的图形 是( ) A.一条线段 B.一条直线 C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 解析:因为平面 PAC平面 PBC,ACPC, AC 平面 PAC,且平面 PAC平面 PBC=PC, 所以 AC平面 PBC. 又因为 BC 平面 PBC, 所以 ACBC,所以ACB=90 , 所以动点 C 运动形成的图形是以 AB 为直径的圆,

10、除去 A 和 B 两点,故选 D. 答案:D ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)如图,AB 是O 的直径,C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点,平面 PAC平面 ABC, 判断 BC 与平面 PAC 的位置关系,并证明. 判断平面 PBC 与平面 PAC 的位置关系. 解:BC平面 PAC. 证明:因为 AB 是O 的直径,C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点,所以 ACB=90 ,所以 BCAC. 又因为平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,B

11、C 平面ABC 所以 BC平面 PAC. 因为 BC 平面 PBC,所以平面 PBC平面 PAC. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 探索型问题 (1)垂直关系的相互转化: (2)探究型问题的两种解题方法: (分析法)即从问题的结论出发,探求问题成立的条件. (反证法)先假设使结论成立的条件存在,然后进行推证,推出矛盾,否 定假设,确定使结论成立的条件不存在. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITA

12、NG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 4】 如图,在三棱锥 A-BCD 中,BCD=90 ,BC=CD=1,AB平面 BCD,ADB=60 ,E,F 分别是 AC,AD 上的动点,且 = =(0 CD2+CB2CD2+CB2. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 连接 BD,在BCD 中,BCD=90 , 故 CD2+CB2=BD2. 在平面四边形 ABCD 中, 因为DAB=ABC=ADC=90 ,所以BCD=90 , 所以 CD2

13、+CB2=BD2. 将代入得BD2BD2,矛盾,故四边形ABCD 不可能是空间四边形, 只能是平面四边形, 所以四边形 ABCD 是矩形. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 易错点 2:忽略了问题的唯一性而致误 【典型例题 6】 已知直线 a 不垂直于平面 ,如图所示,求证:过 a 有且 只有一个平面与 垂直. 错解:记 Aa,过 A 作 b,ab=A,则可得 a,b 确定一个平面 ,由 b,b ,得 ,这说明过 a 有且只有一个平面 与 垂直. 错因分析:仅证明了命

14、题的存在性,而忽略了唯一性. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 正解:(1)存在性.设 Aa,过 A 作 b,ab=Aa,b确定一个平面,记作 . . (2)唯一性.假设过 a 不止一个平面垂直于 ,可设除 外还有平面 满 足 , = a. 这与 a 不垂直于 矛盾.从而假设不成立,所以只有一个平面垂直于 . 于是,由(1)(2)可知原命题成立. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重

15、点难点 1 2 3 4 5 1.下列结论中正确的是( ) 垂直于同一条直线的两条直线平行; 垂直于同一条直线的两个平面平行; 垂直于同一个平面的两条直线平行; 垂直于同一个平面的两个平面平行. A. B. C. D. 答案:C SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.已知平面 平面 ,=l,则下列命题中错误 的是( ) A.如果直线 a ,那么直线 a 必垂直于平面 内的无数条直线 B.如果直线 a ,那么直线 a 不可能与平面 平行 C.如果直线 a ,al,那么直线 a平面 D

16、.平面 内一定存在无数多条直线都垂直于平面 内的所有直线 答案:B SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面,若 PCBD,平行四边形 ABCD 一定是 . 解析:因为 PA平面 ABCD, 所以 PABD. 又因为 PCBD,PAPC=P, 所以 BD平面 PAC,所以 BDAC, 所以平行四边形 ABCD 一定是菱形. 答案:菱形 SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDI

17、AN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.设 , 是空间两个不同的平面,m,n 是平面 及 外的两条不同的直线.从 “mn;n;m”中选取三个作为条件,余下一个作为结论, 写出你认为正确的一个命题: (用序号表示). 解析:将作为条件,可结合长方体进行证明,即从长方体的一个顶点出 发的两条棱与其对面垂直,这两个对面互相垂直,故;对于 ,可仿照前面的例子进行说明. 答案:(或) SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方 形,O 是正方形 ABCD 的中心,PO底面 ABCD,E 是 PC 的中点. 求证:平面 PAC平面 BDE. 证明:因为 PO底面 ABCD,所以 POBD. 又因为 ACBD,且 ACPO=O, 所以 BD平面 PAC.而 BD 平面 BDE, 所以平面 PAC平面 BDE.