指数函数幂函数对数函数增长的比较课件北师大版必修.pptx

1、指数函数幂函数对数函数增指数函数幂函数对数函数增长的比较精品课件北师大版长的比较精品课件北师大版必修必修学习导航学习导航学习目标学习目标重点难点重点难点重点：指数函数、对数函数、幂函数、直线重点：指数函数、对数函数、幂函数、直线增长的含义增长的含义难点：三种增长函数模型的应用难点：三种增长函数模型的应用新知初探新知初探思维启动思维启动三种函数的增长趋势三种函数的增长趋势当当a1时，指数函数时，指数函数yax是是_，并，并且当且当a越越_时，时，其函数值的增长就越快其函数值的增长就越快当当a1时，对数函数时，对数函数ylogax是是_，并，并且当且当a越越_时，其函数值的增长就越快时，其函数值的

2、增长就越快增函数增函数大大增函数增函数小小当当x0，n1时，幂函数时，幂函数yxn显然也是显然也是_，并且当，并且当n越越_时，其函数时，其函数值的增长就越快值的增长就越快由于指数函数值增长非常快，人们常称这种由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为现象为“指数爆炸指数爆炸”增函数增函数大大想一想想一想由于指数函数值增长非常快，所以对于由于指数函数值增长非常快，所以对于xR都是都是2xx2，对吗？，对吗？提示：提示：不对不对y2x与与yx2的图像有交叉现的图像有交叉现象，只有当象，只有当x4时，才有时，才有2xx2成立成立做一做做一做 1.当当a1时，下列结论：时，下列结论：指数函数指数函

3、数yax，当，当a越大时，其函数值的越大时，其函数值的增长越快；增长越快；指数函数指数函数yax，当，当a越小时，其函数值的越小时，其函数值的增长越快；增长越快；对数函数对数函数ylogax，当，当a越大时，其函数值越大时，其函数值的增长越快；的增长越快；对数函数对数函数ylogax，当，当a越小时，其函数值越小时，其函数值的增长越快的增长越快其中正确的结论是其中正确的结论是()ABC D答案：答案：B 2当当x越来越大时，下列函数中，增长速度越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是最快的是()Ay2x Byx10Cylgx Dy10 x2答案：答案：A典题例证典题例证技法归纳技法归纳题型一指

4、数函数、幂函数、对数函题型一指数函数、幂函数、对数函数增长的比较数增长的比较 四个变量四个变量y1，y2，y3，y4随变量随变量x变变化的数据如下表：化的数据如下表：x051015202530y151305051130200531304505y2594.4781785.2337336.371051.21072.28108y35305580105130155y452.31071.42951.14071.04611.01511.005关于关于x呈指数型函数变化的变量是呈指数型函数变化的变量是_【解析】指数型函数呈解析】指数型函数呈“爆炸式爆炸式”增长增长从表格中可以看出，四个变量从表格中可以看出，

5、四个变量y1，y2，y3，y4均是从均是从5开始变化，变量开始变化，变量y4的值越来越小，的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量但是减小的速度很慢，故变量y4关于关于x不呈不呈指数型函数变化；指数型函数变化；而变量而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快的增长速度最快,画出它们的图像画出它们的图像(图略图略)，可知变量，可知变量y2关于关于x呈呈指数型函数变化，故填指数型函数变化，故填y2.【答案】【答案】y2【点师点睛】【点师点睛】三种递增函数中，当自变量三种递增函数中，当自变量充分大时，指数函数的函数

6、值最大，但必须充分大时，指数函数的函数值最大，但必须是自变量的值达到一定程度因此判断一个是自变量的值达到一定程度因此判断一个增函数是否为指数型函数时，要比较自变量增函数是否为指数型函数时，要比较自变量增加到一定程度时，自变量增加相同的量，增加到一定程度时，自变量增加相同的量，函数值的增长量是否为最大，若是，则这个函数值的增长量是否为最大，若是，则这个函数就可能是指数型函数函数就可能是指数型函数变式训练变式训练1三个变量三个变量y1，y2，y3随着变量随着变量x的变化情的变化情况如下表：况如下表：x1357911y15135625171536456655y25292452189 19685177

7、149y356.10 6.616.957.27.4则关于则关于x分别呈对数型函数，指数型函数，分别呈对数型函数，指数型函数，幂函数型函数变化的变量依次为幂函数型函数变化的变量依次为()Ay1，y2，y3By2，y1，y3Cy3，y2，y1 Dy1，y3，y2解析：选解析：选C.通过指数型函数，对数型函数，通过指数型函数，对数型函数，幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量函数的增长速度越来越慢，变量y3随随x的变的变化符合此规律；化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随随x的的变化符合此规律

8、；幂函数型函数的增长速度变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，越来越快，y1随随x的变化符合此规律的变化符合此规律,故选故选C.题型二比较大小问题题型二比较大小问题 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小 【方法小结】【方法小结】解决这类题目的关键在于构解决这类题目的关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性利用幂函数与指数函数的单调性,也可以

9、借助幂函数与指数函数的图像也可以借助幂函数与指数函数的图像变式训练变式训练2y12x，y2x2，y3log2x,当当2x4时时,有有()Ay1y2y3 By2y1y3Cy1y3y2 Dy2y3y1解析：选解析：选B.在同一平面直角坐标系中画出函在同一平面直角坐标系中画出函数数y2x，yx2，ylog2x的图像的图像(图略图略)，在，在区间区间(2,4)上从上往下图像依次是上从上往下图像依次是yx2，y2x，ylog2x，所以，所以y2y1y3.题型三几种增长函数模型的应用题型三几种增长函数模型的应用 (本题满分本题满分12分分)某公司为了实现某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激

10、励销售部万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，万元时，按销售利润进行奖励，且奖金按销售利润进行奖励，且奖金y(万元万元)随销售随销售利润利润x(万元万元)的增加而增加，但奖励总数不超的增加而增加，但奖励总数不超过过5万元，同时奖金不超过利润的万元，同时奖金不超过利润的25%，现，现有三个奖励模型：有三个奖励模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型能符合公司要求？，其中哪个模型能符合公司要求？【解】借助计算器或计【解】借助计算器或计算机作出函数算机作出函数y5，y0.25x，ylog7x1，y1.002x

11、的图像如图所示：的图像如图所示：观察图像发现，在区间观察图像发现，在区间10,1000上模型上模型y0.25x，y1.002x的图像都有一部分在的图像都有一部分在y5的的上方，这说明只有按模型上方，这说明只有按模型ylog7x1进行奖进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断述判断对于模型对于模型y0.25x，它在区间，它在区间10，1000上上是单调递增的，当是单调递增的，当x(20，1000时，时，y5，因此该模型不符合要求因此该模型不符合要求.5分分对于模型对于模型y1.002x，利用计算器，可知，利用计算器，可知1.0028065.005，

12、由于，由于y1.002x是增函数，是增函数，故当故当x(806,1000时，时，y5，因此，也不符，因此，也不符合题意合题意.6分分对于模型对于模型ylog7x1，它在区间，它在区间10,1000上上单调递增且当单调递增且当x1000时，时，ylog7100014.555，所以它符合奖金总数不超过，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求万元的要求.8分分再计算按模型再计算按模型ylog7x1奖励时，奖金是否奖励时，奖金是否超过利润超过利润x的的25%，即当，即当x10,1000时，利时，利用计算器或计算机作用计算器或计算机作f(x)log7x10.25x的图像，由图像可知的图像，由图像可知f(x

13、)是减函数，因此是减函数，因此f(x)f(10)0.31670，即，即log7x10.25x.10分分所以当所以当x10,1000时，时，y0.25x.这说明，这说明，按模型按模型ylog7x1奖励不超过利润的奖励不超过利润的25%.11分分综上所述，模型综上所述，模型ylog7x1确实符合公司要确实符合公司要求求.12分分【思维总结】【思维总结】借助函数图像，研究它们的借助函数图像，研究它们的变化是这类题的常用方法变化是这类题的常用方法变式训练变式训练318世纪世纪70年代，德国科学家提丢斯发现年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平金星、地球、火星、木星、土星离太阳

14、的平均距离均距离(天文单位天文单位)如下表所示：如下表所示：行行星星1(金星金星)2(地球地球)3(火星火星)4()5(木星木星)6(土星土星)7()距距离离0.71.01.65.210.0他研究行星排列规律后预测在火星他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了一颗谷神星，但不后来果然发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物请你推测谷神星的位置，在土炸后的产物请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？少？1试比较函数试

15、比较函数yx100，y5x，ylog5x的增的增长情况长情况解：三个函数中，解：三个函数中，ylog5x增长的速度要比增长的速度要比yx100和和y5x增长的速度慢得多，且增长的速度慢得多，且ylog5x增长得越来越慢，图像几乎渐渐与增长得越来越慢，图像几乎渐渐与x轴平行轴平行;而而yx100和和y5x，当，当x比较小时，比较小时，yx100要要比比y5x增长得快，但当增长得快，但当x逐渐增大，增大到逐渐增大，增大到一定程度后，一定程度后，y5x要比要比yx100增长得快增长得快2某城市现有人口总数为某城市现有人口总数为100万人，如果年万人，如果年自然增长率为自然增长率为1.2%，试解答下面

16、的问题：，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数写出该城市人口总数y(万人万人)与年数与年数x(年年)的函数关系式；的函数关系式；(2)计算计算10年以后该城市人口总数年以后该城市人口总数(精确到精确到0.1万人万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人万人(精确到精确到1年年)(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210)解：解：(1)1年后该城市人口总数为：年后该城市人口总数为：y1001001.2%100(11.2%)2年后该城市人口总数为：年后该城市人口总数为：y100(11.2%)100(11.2

17、%)1.2%100(11.2%)2.3年后该城市人口总数为：年后该城市人口总数为：y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)2(11.2%)100(11.2%)3.x年后该城市人口数为：年后该城市人口数为：y100(11.2%)x(xN)(2)10年后该城市的人口数为年后该城市的人口数为100(11.2%)10112.7(万人万人)(3)设设x年后该城市人口将达到年后该城市人口将达到120万人，万人，即即100(11.2%)x120，xlog1.0121.2016(年年)因此，大约因此，大约16年以后该城市人口将达到年以后该城市人口将达到120万人万人方法技巧方法技巧选择增长型函数描述实际问题的标准是：指选择增长型函数描述实际问题的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律化规律