2.3　等差数列的前n项和 (一).pptx

1、第二章 数 列 2.3 等差数列的前n项和 (一) 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊 到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思. 3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由 其中三个求另外两个. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 数列前n项和的概念 把a1a2an叫数列an的前n项和，记做 . a1a2a3an1 (n2). 思考 由Sn与Sn1的表达式可以得出 an 答案 Sn1 SnSn1 n2， S1 n1. Sn 知

2、识点二 等差数列前n项和公式、推导和认识 1.公式：若an是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn . 答案 na1an 2 2.若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn . na1 1 2 n(n1)d 3.推导：(方法：倒序相加法) 过程：Sna1a2an， Snanan1a1， a1ana2an1ana1， 2Snn(a1an)， Snna1an 2 . 4.从函数角度认识等差数列的前n项和公式 (1)公式的变形 Snna1nn1d 2 d 2n 2(a 1d 2)n. (2)从函数角度认识公式 当d0时，Sn是项数n的二次函数，且不含常数项； 当d0时，Snna1，不是

3、项数n的二次函数. (3)结论及其应用 已知数列an的前n项和SnAn2BnC， 若C0，则数列an为等差数列； 若C0，则数列an不是等差数列. 思考 等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a14，则公差d等于( ) A.2 B.1 3 C.1 D.3 解析答案 解析 S3a1a2a33a26， a22， 又a14，d2. A 2.若Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm， S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为 . 3.设两个等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则an bn S2n1 T2n1. 1.若数列an是公差为 d 的等差数列

4、，则数列 Sn n 也是等差数列，且公差 为d 2. 知识点三 等差数列前n项和的性质 答案 m2d 4.若等差数列的项数为2n，则S2nn(anan1)， S 偶S奇nd， S偶 S奇 an1 an . 5.若等差数列的项数为2n1，则S2n1(2n1)an1， S 偶S奇an1， S偶 S奇 n n1. 思考 等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项 和是_. 解析答案 解析 设an的前3m项和是S， Sm，S2mSm，S3mS2m分别为30,70，S100. 由性质知30,70，S100成等差数列. 27030(S100)， S210. 210 返回 题型探究 重

5、点突破 题型一 与等差数列Sn有关的基本量的计算 例1 在等差数列an中. 解析答案 (1)a15 6，an 3 2，Sn5，求 n 和 d. 解 由题意得，Snna 1an 2 5，解得 n15. 53 () 62 2 n 又 a155 6(151)d 3 2，d 1 6. n15，d1 6. (2)a14，S8172，求a8和d. 解析答案 反思与感悟 解 由已知得 S88a 1a8 2 84a 8 2 172， 解得a839， 又a84(81)d39，d5. a839，d5. 跟踪训练1 在等差数列an中； (1)已知a610，S55，求a8和S10； 解 S55a154 2 d5， a

6、6a15d10， 解得 a15，d3. 解析答案 a8a62d102316， S1010a1109 2 d10(5)59385. (2)已知a3a1540，求S17. 解析答案 解 S1717a 1a17 2 17a 3a15 2 1740 2 340. 题型二 等差数列前n项和性质的应用 例2 (1)设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等 于( ) A.13 B.35 C.49 D.63 解析答案 解析 S77 2(a1a7) 7 2(a2a6) 7 2(311)49. C 解析答案 (2)等差数列an与bn的前 n 项和分别是 Sn和 Tn，已知Sn Tn 7n n

7、3，则 a5 b5等 于( ) A.7 B.2 3 C. 70 13 D. 21 4 解析 a5 b5 a1a9 2 b1b9 2 S9 T9 79 93 21 4 . D 解析答案 反思与感悟 (3)已知数列an的通项公式为 an2n1(nN*)，其前 n 项和为 Sn，则数 列Sn n 的前 10 项的和为_. 解析 Snn32n1 2 n(n2). Sn n n2， 数列Sn n 是以首项为 3，公差为 1 的等差数列， Sn n 的前 10 项和为 103109 2 175. 75 跟踪训练2 (1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7 a8a9等于( ) A.6

8、3 B.45 C.36 D.27 解析答案 解析 由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3) S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，即a7a8a945. B (2)已知两个等差数列an与bn的前n(n1)项和分别是Sn和Tn，且SnTn (2n1)(3n2)，求a9 b9的值. 解析答案 题型三 等差数列前n项和公式在实际中的应用 例3 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当 天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月 利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分 期付款的第10个月该交付

9、多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际 花费多少钱？ 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一 棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边， 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此 最小值为_米. 解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发 前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑 旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数 列，故所有同学往返的总路程为 S92098 2 201020109 2 202 000 米

10、. 2 000 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.在等差数列an中，S10120，那么a1a10的值是( ) A.12 B.24 C.36 D.48 解析 S1010a1a10 2 5(a1a10)120， a1a1024. B 解析答案 解 析 设 等 差 数 列 an 的 首 项 为 a1， 公 差 为 d ， 由 已 知 得 2a15d19， 5a110d40， 解得 a12， d3. 1 2 3 4 5 2.在等差数列an中，a2a519，S540，则a10等于( ) A.27 B.24 C.29 D.48 a1029329. C 解析答案 解析 易知(a3a8)29. 3.已知

11、数列an中，a2 3a 2 82a3a89，且 an0，则 S10等于( ) 1 2 3 4 5 A.1 B.11 C.13 D.15 D 解析答案 an0，a3a83. S1010a 1a10 2 10a 3a8 2 15. 1 2 3 4 5 解析答案 4.等差数列an的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210， 则此数列的项数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 又 Sna 1an 2 n 270210，n6. 解析 由题意知a1a2a3a4124， anan1an2an3156， 4(a1an)280， a1an70. B 1 2 3 4 5 解析答案 S203101101100 2 230 603. 5.在等差数列an中，an2n3，则等差数列an从第100项到第200项 之和S的值为_. 解析 a100203， 30 603 课堂小结 1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中 也可能用到. 2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若 已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时， 要注意整体思想的应用，注意结论若mnpq，则anamapaq(n， m，p，qN*)，若mn2p，则anam2ap的应用. 返回