数数学建模-拟合与插值课件.ppt

1、1第第5 5章作业章作业数学系数学系数学建模与数学实验数学建模与数学实验国家精品课程学习网站国家精品课程学习网站2拟合与插值拟合与插值第第5 5章章 数值分析法建模数值分析法建模1.1.拟合的基本原理；线性最小二乘拟合。拟合的基本原理；线性最小二乘拟合。3.3.面对一个实际问题，判断应该用插值，还是拟合。面对一个实际问题，判断应该用插值，还是拟合。2.2.插值的基本原理；插值的基本原理；三种插值方法：拉格朗日插值，三种插值方法：拉格朗日插值，NewtonNewton插值，三次样条插值。插值，三次样条插值。3曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题已知一组（二维）数据，即平面上已知一组（二维）数据，即

2、平面上m m个点个点（xi,yi)i=1,m,寻求一个函数（曲线）寻求一个函数（曲线）y=f(x),使使 f(x)在某种准则下与所在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。+xyy=f(x)(xi,yi)i i 为点为点（xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)的距离的距离4曲线拟合问题最常用的解法曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法线性最小二乘法的基本思路的基本思路 先选定一组函数先选定一组函数 r1(x),r2(x),rn(x),n0)2.2.作作数据散点数据散点图，通过直观判断确定图，通过直观判断确定 f(x)+y=a1+a2x+a3x2（a

3、30）+y=a1+a2x+a3x2(a30）y=a1exp(a2x)(a30)1.1.曲线改直技巧曲线改直技巧2.2.多项式阶数的确定多项式阶数的确定曲线拟合的几个问题曲线拟合的几个问题7差分与差商概念一阶前向差分一阶前向差分 11()(),1kkkkkyyyf xf xkn m阶前向差分阶前向差分 111,;mmmkkkyyy knm mn 一阶差商一阶差商 11,1kkkkkyf xxknxx m阶差商阶差商 12111,;kkk mkkk mkkk mk mkf xxxf x xxf x xxxxkn m m n ()1(),.,!nkkknfxxxnf1(),kkknkknf xa b

4、naxxxbxx设在上有 阶导数且则存在使得差商与导数的关系差商与导数的关系8差分表差分表0123nxxxxx0123nf xf xf xf xf x0121nyyyy202122nyyy3033nyy0ny23nxfffff9.xk f(xk)一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 三阶差商三阶差商 n 阶差商阶差商差商表差商表0123nxxxxx0123nf xf xf xf xf x0112231,nnf xxf x xf xxf xx01212321,nnnf xx xf x xxf xxx0123321,nnnnf x x xxf xxxx01,nf x xx10等距节点的差分性质等距节

5、点的差分性质0!(1),!()!kkjjjikij kkjkfC fCj kj 性质性质1(差分与函数值的关系差分与函数值的关系)各阶差分均可表示为函数值的线性组合各阶差分均可表示为函数值的线性组合0,()!,0,nkknPknfxa h nknkn性质性质2(多项式的差分多项式的差分)若若f(x)Pn(n次多项式类次多项式类),则则性质性质3(差分与差商的关系差分与差商的关系):1,!kiiii kkff x xxk h()(),()kkkiii kfh fxx性质性质4(差分与导数的关系）差分与导数的关系）11与拟合有关的与拟合有关的MATLAB 函数函数vpolyfit:多项式拟合多项式

6、拟合vpoly2sym:由多项式系数向量得多项式符号表达式由多项式系数向量得多项式符号表达式vpolyval:计算多项式函数在指定处的函数值计算多项式函数在指定处的函数值vpoly:计算过固定点的多项式计算过固定点的多项式vlsqcurvefit,lsqnonlin非线性最小二乘拟合非线性最小二乘拟合vfit,fittype一般曲线拟合一般曲线拟合1 1.作多项式作多项式f(x)=anxn+a1x+a0拟合拟合,可利用可利用MatlabMatlab命令命令:a=polyfit(x,y,n)2 2.对超定方程组对超定方程组11()m nnmAaynm可得最小二乘意义下的解。可得最小二乘意义下的解

7、。用用aRyyy=polyval(a,xxyy=polyval(a,xx).计算多项式计算多项式a a在在xxxx处的值处的值12 当精确函数 y=f(x)非常复杂或未知时，在区间a,b上一系列节点 x0 xm 处测得函数值 y0=f(x1),ym=f(xm)，由此构造一个简单易算的近似函数 g(x)f(x)，满足条件 g(xj)=f(xj)(j=0,m)(*)这个问题称为“插值问题”插值问题g(x)称为称为f(x)的的插值函数插值函数,一般取一般取多项式函数多项式函数。x0 xm称为插值节点称为插值节点,条件条件(*)称为称为插值条件插值条件，区间，区间a,b称为称为插值区间插值区间13x0

8、 x0 x2xm-1xm xf(x)g(x)精确函数 y=f(x)非常复杂或未知g(x)称为称为f(x)的的插值函数插值函数 节点节点 x0 xm称为插值节点称为插值节点14基本思想：基本思想：在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数中找一组合适的基函数 0(x),1(x),n(x),使使pn(x)=a0 0(x)+a1 1(x)+an n(x)不同的基函数的选取导致不同的不同的基函数的选取导致不同的插值方法插值方法15 称为拉格朗日插值基函数拉格朗日插值基函数。0()()nniiiL xl xy 已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,xn处的函数值为 y0,y1,yn。求一n次多项式函数L

9、n(x)，使其满足：Ln(xi)=yi,i=0,1,n.此问题的拉格朗日插值多项式公式如下:其中li(x)为n次多项式 0,njjjixxx记拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值 0,1,2,()njjjijiiixlxxxinxxx16拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值特别地特别地:两点一次两点一次(线性线性)插值多项式插值多项式:011010110 xxxxLxyyxxxx三点二次三点二次(抛物线抛物线)插值多项式插值多项式:1202012012010210122021x xx xx xx xx xx xL xyyyxxxxx xx xxxxx 17 拉格朗日多项式插值的

10、这种振荡现象叫 Runge现象现象21(),551f xxx 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.例例1ch.m1ch.m-505-1.5-1-0.500.511.52y=1/(1+x2)n=2n=4n=6n=8n=10()()()?nnnRxLxf x 18 Newtons Interpolation基本原理基本原理Lagrange Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数基函数 li(x x)都需要重新计算都需要重新计算能否重新在能否

11、重新在Pn中寻找新的基中寻找新的基函数函数？希望每加一个节点？希望每加一个节点时，时，只附加一项只附加一项上去即可上去即可1901020101()()()().().()nnnN xAA x xA x x x xA x xx x 选取选取1,1,x-x0,(x-x0)(x-x1),(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)构成构成Pn的一组基函数的一组基函数 Newtons Interpolation基本原理基本原理利用插值条件利用插值条件Nn(xj)=f(xj),j=0,1，n代入上式，代入上式，得关于得关于Ak(k=0,1，n)的线性代数方程组的线性代数方程组0010111000100()1

12、0()1()()nninniAf xxxAf xxxxxAf x当当xj 互异时，系数矩阵非奇异，方程有唯一解互异时，系数矩阵非奇异，方程有唯一解20Lagrange插值与Newton插值的异同点v两者都是通过给定n+1个互异的插值节点，求一条n次多项式曲线近似地表示待插值的函数曲线vLagrange插值和Newton法插值的结果和余项都是一致的，因为都是利用n次多项式插值v区别：Lagrange插值法在求每个函数的时候要用到所有结点，因此如果需要再多加进去一个结点的话，需要重新求出函数才可，而这需要大工作量，于是数学家们就发明了Newton法。vLagrange插值法是通过构造n+1个n次基

13、函数，作线性组合（结果当然也是n次的多项式）而得到 Newton法插值是通过求各阶差商，递推得到公式 f(x)=f(x0)+(x-x0)fx0,x1+(x-x0)(x-x1)fx0,x1,x2.+(x-x0).(x-xn-1)fx0,x1.xn21 在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的 分 段 多 项 式 达 到 较 高 阶 光 滑 性 的 方 法？三次样条插值就是一个很好的例子。三次样条插值三次样条插值22Cubic Spline Interpolation Lagrange Interpol

14、ation23 ,1,),()(1nixxxxsxSiii,)()3),1,0()()2),1()()10223niiiiiiixxCxSniyxSnidxcxbxaxs(0)(0)(0)(0),(1,1)(0)(0)iiiiiiS xS xSxSxinSxSx自然边界条件）(0)()()40 nxSxS)(,)4)3)2xSdcbaiiiif(x)为被插值函数为被插值函数24例例21551(),fxxx用三次样条插值选取用三次样条插值选取11个基点计算插值个基点计算插值(ych.m)251.1.拉格朗日插值拉格朗日插值:自编程序自编程序2.2.分段线性插值分段线性插值:已有程序已有程序 y=

15、interp1(x0,y0,x)3.3.三次样条插值三次样条插值:已有程序已有程序 y=interp1(x0,y0,x,spline)或或 y=spline(x0,y0,x)用MATLAB作插值计算 注意：所有的插值方法都注意：所有的插值方法都要求要求x0是单调是单调的，的，并且并且x不能够超过不能够超过x的范围的范围。interp2,interp3,interpn多元函数插值多元函数插值26pp=spline(x,y)：样条函数的表示（样条函数的表示（PP结构）结构）pp=cscvn(x,y):自然样条函数的表示yi=ppval(pp,xx)或 yi=spline(x,y,xx)：样条函数求

16、值样条函数求值fprime=fnder(pp),fprime=fnder(pp,dorder)样条函数求导样条函数求导inters=fnint(pp),intgrf=fnint(pp,value)样条函数积分样条函数积分fnplt(pp)样条函数绘图样条函数绘图样条函数的相关样条函数的相关MATLABMATLAB命令命令27 例例1 1：在：在1-121-12的的1111小时内，每隔小时内，每隔1 1小时测量一次小时测量一次温度，测得的温度依次为：温度，测得的温度依次为：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，3131，3030，2222，2525，2727，2424。试估计每隔

17、。试估计每隔1/101/10小时的小时的温度值。温度值。Temp.mhours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline);(直接输出数据将是很多的)plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:)%作图xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)28xy机翼下轮廓线X035791 11 21 31 41 5Y01.21.72.02.12.01.81.21.01.6例例2 2 已知飞机下轮廓线上数据如下，分别用

18、已知飞机下轮廓线上数据如下，分别用LagrangeLagrange插值法、插值法、分段线性插值法、三次样条插值法求分段线性插值法、三次样条插值法求x每改变每改变0.1时的时的y值。值。Plane.mPlane.m29习题1.某公交公司1路车过去20个季度内的客流量(单位：百万)如下表：试确定客流量与季度序号之间的函数关系,并预测未来3个季度的客流量。2.给定f(x)=lnx的数据表xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00f(xi)0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861分别求四次Lagrange插值多项式和Newton插值多项式3.3.设设f(x)=lnx,已知已知f(x)的数据的数据.试用三次样条函数试用三次样条函数S(x)来计算来计算ln(0.6)的近似值的近似值lnx -0.916291 -0.693147 -0.356675 -0.223144x 0.40 0.50 0.70 0.80