人教A版高中数学必修一课件：3.2函数模型及其应用.ppt

1、O R 圆的周长随着圆的半径的增大而增大：圆的周长随着圆的半径的增大而增大： L=2*R (一次函数一次函数) 圆的面积随着圆的半径的增大而增大：圆的面积随着圆的半径的增大而增大： S=*R2 (二次函数二次函数) 1 2 22 23 24 回顾：回顾： 某种细胞分裂时，由某种细胞分裂时，由1个分裂成两个分裂成两 个，两个，两 个分裂成个分裂成4个个，一个这样的细胞分裂，一个这样的细胞分裂x次后，得次后，得 到的细胞个数到的细胞个数y与与x的函数关系是的函数关系是 。 第一次第一次 第二次第二次 第三次第三次 第四次第四次 第x次 个 y = 2x 2x 例题：例题： 例例1、假设你有一笔资金

2、用于投资，现有三种投资方、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方 案供你选择，这三种方案的回报如下：案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一方案一：每天回报：每天回报40元；元； 方案二方案二：第一天回报：第一天回报10元，以后每天比前一天多元，以后每天比前一天多 回报回报10元；元； 方案三方案三：第一天回报：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前元，以后每天的回报比前 一天翻一番。一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案呢？请问，你会选择哪种投资方案呢？ 投资方案选择原则：投资方案选择原则： 投入资金相同，回报量多者为优投入资金相同，回报量多者为优 (1) 比较三种方案每天回报量比较三

3、种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最哪个方案在某段时间内的总回报量最 多，我们就在那段时间选择该方案。多，我们就在那段时间选择该方案。 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模 型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提 供依据。供依据。 解：设第解：设第x天所得回报为天所得回报为y元，则元，则 方案一：每天回报方案一：每天回报40元；元； y=40 (xN*) 方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前

4、一天多回元，以后每天比前一天多回 报报10元；元； y=10x (xN*) 方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前元，以后每天的回报比前 一天翻一番。一天翻一番。 y=0.42x-1 (xN*) x/天天 方案一方案一 方案二方案二 方案三方案三 y/元元 增长量增长量/元元 y/元元 增长量增长量/元元 y/元元 增长量增长量/元元 1 40 0 10 0.4 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.

5、4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4 图112-1 从每天的回报量来看：从每天的回报量来看： 第第14天，方案一最多：天，方案一最多： 每每58天，方案二最多：天，方案二最多： 第第9天以后，方案三最多；天以后，方案三最多； 有人认为投资有人认为投资14 天选择方案一；天选择方案一； 58天选择方案二；天选择方案二； 9天以后选择方案天以后选择方案 三？三？ 累积回报表累积回报表 天数天数 方案方案 1 2 3

6、4 5 6 7 8 9 10 11 一一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 816.8 结论结论 投资投资8天以下（不含天以下（不含8天），应选择第一天），应选择第一 种投资方案；投资种投资方案；投资810天，应选择第二种投天，应选择第二种投 资方案；投资资方案；投资11天（含天（含11天）以上，应选择天）以上，应选择 第三种投资方案。第三种投资方案。 解决实际问

7、题的步骤：解决实际问题的步骤： 实际问题实际问题 读 懂 问 题 读 懂 问 题 抽 象 概 括 抽 象 概 括 数学问题数学问题 演 算 演 算 推 理 推 理 数学问题的解数学问题的解 还 原 说 明 还 原 说 明 实际问题的解实际问题的解 例例2、某公司为了实现、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备万元利润的目标，准备 制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达 到到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：单位： 万元万元)随着销售利润随着销售利润x (单位：万元单位：万元)的增加而增加，的增

8、加而增加， 但资金数不超过但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的万元，同时奖金不超过利润的 25%。现有三个奖励模型：。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？，其中哪个模型能符合公司的要求呢？ (1)、由函数图象可以看出，它在区间、由函数图象可以看出，它在区间10,1000上上 递增，而且当递增，而且当x=1000时，时，y=log71000+14.550)，通过探索可以发，通过探索可以发 现：现： 在区间在区间(0,+)上，无论上，无论n比比a大多少，尽大多少，尽 管在管在x的一定范围内，的一定范围内，ax会小会小xn，

9、但由，但由 于于ax的增长快于的增长快于xn的增长，因此总存在的增长，因此总存在 一个一个x0，当，当xx0时，就会有时，就会有axxn. 结论结论2： 一般地，对于指数函数一般地，对于指数函数y=logax (a1) 和幂函数和幂函数y=xn (n0)，通过探索可以，通过探索可以 发现：发现： 在区间在区间(0,+)上，随着上，随着x的增大，的增大，logax增增 大得越一越慢，图象就像是渐渐地与大得越一越慢，图象就像是渐渐地与x轴轴 平行一样。尽管在平行一样。尽管在x的一定范围内，的一定范围内， logax可能会小可能会小xn，但由于，但由于logax的增长慢的增长慢 于于xn的增长，因此

10、总存在一个的增长，因此总存在一个x0，当，当xx0 时，就会有时，就会有logax1)，y=logax (a1) 和和y=xn (n0)都是增函数。都是增函数。 (2)、随着、随着x的增大，的增大， y=ax (a1)的增长速度越来越的增长速度越来越 快，会远远大于快，会远远大于y=xn (n0)的增长速度。的增长速度。 (3)、随着、随着x的增大，的增大， y=logax (a1)的增长速度越来的增长速度越来 越慢，会远远大于越慢，会远远大于y=xn (n0)的增长速度。的增长速度。 总存在一个总存在一个x0，当，当xx0时，就有时，就有 logaxxnax 例例3、一辆汽车在某段路、一辆汽

11、车在某段路 程的行驶速度与时间的程的行驶速度与时间的 关系如图所示。关系如图所示。 (1)、求图中阴影部分、求图中阴影部分 的面积，并说明所求的面积，并说明所求 面积的实际含义；面积的实际含义； (2)、假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程、假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程 前的读数为前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程试建立汽车行驶这段路程 时汽车里程表读数时汽车里程表读数s km与时间与时间 t h的函数解析式，的函数解析式， 并作出相应的图象。并作出相应的图象。 例例4、人口问题是当世界各国普遍关注的问题。认、人口问题是当世界各国普遍关注的问题。认 识人口数量的变化规

12、律，可以为有效控制人口增长识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长 提供依据。早在提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就年，英国经济学家马尔萨斯就 提出了自然状态下的人口增长模型：提出了自然状态下的人口增长模型： y = y0 er t 期中期中t表示经过的时间，表示经过的时间，y0表示表示t=0时的人口数，时的人口数，r表表 示人口的年增长率。示人口的年增长率。 (1)、如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一、如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一 时期的人口增长率时期的人口增长率(精确到精确到0.0001)，用马尔萨斯人，用马尔萨斯人 口模型建立我国在这一时期的具体人口增

13、长模型，口模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型， 并检验所得模型与实际人口数据是否相符；并检验所得模型与实际人口数据是否相符； (2)、如果表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口、如果表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口 达到达到12亿？亿？ y = y0 er t 例例5、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等 固定成本为固定成本为200元，每桶水的进价是元，每桶水的进价是5元。销售元。销售 单价与日均销售量的关系如下表：单价与日均销售量的关系如下表： 请根据心上数据作出分析，这个经营部怎样请根据心上数据作出分析，这个经营部怎样 定价才能获得最大利润？定

14、价才能获得最大利润？ 销售单价销售单价/元元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量日均销售量/桶桶 480 440 400 360 320 280 240 例例6、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如 下表：下表： (1)、根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，、根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型， 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的的函数关系？试写出这个函数模型的 解析式。解析式。 (2)、若体重超过相同身高男性体重平均值的、若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍倍 为偏胖，低于为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高倍为偏瘦，那么这个地区一名身高 为为175cm，体重为，体重为78kg的在校男生的体重是否正常的在校男生的体重是否正常？ x bay 收集数据收集数据 画散点图画散点图 选择函数模型选择函数模型 求函数模型求函数模型 检验检验 用函数模型解释问题用函数模型解释问题 不 符 合 实 际 不 符 合 实 际