人教A版必修二数学课件：2.3.1　直线与平面垂直的判定.ppt

1、2.32.3 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.12.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.理解线面垂直的定义和判定定理理解线面垂直的定义和判定定理. . 2.2.能运用线面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题能运用线面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题. . 3.3.能在简单的几何体中计算线面角能在简单的几何体中计算线面角. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念 如果直线如果直线l l与平面与平面 内的内的 都垂直都垂

2、直, ,就说直线就说直线l l与平面与平面 互相互相 垂直垂直, ,记作记作 , ,直线直线l l叫做平面叫做平面 的的 , ,平面平面 叫做直线叫做直线l l的的 , , 直线与平面垂直时直线与平面垂直时, ,它们惟一的公共点叫做它们惟一的公共点叫做 . . 任意一条直线任意一条直线 ll 垂线垂线 垂面垂面 垂足垂足 2.2.直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理 文字语言文字语言 图形语言图形语言 符号语言符号语言 一条直线与一个平面内的一条直线与一个平面内的 都垂直都垂直, ,则该直线与此平面垂直则该直线与此平面垂直 a la lb a bP b l l 两条相交直线两条相交

3、直线 3.3.直线与平面所成的角直线与平面所成的角 (1)(1)如图如图, ,一条直线一条直线PAPA和一个平面和一个平面 相交相交, ,但不和这个平面但不和这个平面 , ,这条直线这条直线 叫做这个平面的斜线叫做这个平面的斜线, ,斜线和平面的交点斜线和平面的交点A A叫做叫做 , ,过斜线上过斜线上 . . 的一点向平面引垂线的一点向平面引垂线PO,PO,过垂足过垂足O O和和 的直线的直线AOAO叫做斜线在这个平面上叫做斜线在这个平面上 的射影的射影, ,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 , ,叫做这条直线叫做这条直线 和这个平面所成的角和这个

4、平面所成的角. . (2)(2)一条直线垂直于平面一条直线垂直于平面, ,称它们所成的角是称它们所成的角是 ; ;一条直线在平面内或一条直线在平面内或 一条直线和平面平行一条直线和平面平行, ,称它们所成的角是称它们所成的角是 的角的角, ,于是于是, ,直线与平面所成直线与平面所成 的角的角 的范围是的范围是0 0 9090. . 垂直垂直 斜足斜足 斜足以外斜足以外 斜足斜足A A 锐角锐角 直角直角 0 0 自我检测自我检测 1.(1.(线面垂直的定义线面垂直的定义) )直线直线ll平面平面 , ,直线直线m m , ,则则l l与与m m不可能不可能( ( ) ) (A)(A)平行平行

5、 (B)(B)相交相交 (C)(C)异面异面 (D)(D)垂直垂直 2.(2.(线面垂直定理的理解线面垂直定理的理解) )垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置 关系是关系是( ( ) ) (A)(A)垂直垂直 (B)(B)相交但不垂直相交但不垂直 (C)(C)平行平行 (D)(D)不确定不确定 3.(3.(线面垂直的判定线面垂直的判定)(2015)(2015安庆市石化一中高二期中安庆市石化一中高二期中) )将图将图(1)(1)中的等腰直中的等腰直 角三角形角三角形ABCABC沿斜边沿斜边BCBC的中线折起得到四面体的中线折起得到四面体ABCD,ABC

6、D,如图如图(2),(2),则在四面体则在四面体 ABCDABCD中中,AD,AD与与BCBC的位置关系是的位置关系是( ( ) ) (A)(A)相交且垂直相交且垂直 (B)(B)相交但不垂直相交但不垂直 (C)(C)异面且垂直异面且垂直 (D)(D)异面但不垂直异面但不垂直 A A A A C C 4.(4.(直线与平面所成的角直线与平面所成的角) )正方体正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中直线中直线AB1AB1与平面与平面ABCDABCD所成的所成的 角为角为 . . 答案答案: :4545 5.(5.(直线与平面所成的角直线与平面所成的角) )

7、已知线段已知线段ABAB的长等于它在平面的长等于它在平面 内射影长的内射影长的2 2倍倍, , 则则ABAB所在直线与平面所在直线与平面 所成的角为所成的角为 . . 答案答案: :6060 课堂探究课堂探究 线面垂直的概念与定理的理解线面垂直的概念与定理的理解 题型一题型一 【例例1 1】 下列说法中正确的个数是下列说法中正确的个数是( ( ) ) 若直线若直线l l与平面与平面 内一条直线垂直内一条直线垂直, ,则则ll ; ; 若直线若直线l l与平面与平面 内两条直线垂直内两条直线垂直, ,则则ll ; ; 若直线若直线l l与平面与平面 内两条相交直线垂直内两条相交直线垂直, ,则则

8、ll ; ; 若直线若直线l l与平面与平面 内任意一条直线垂直内任意一条直线垂直, ,则则ll ; ; 若直线若直线l l与平面与平面 内无数条直线垂直内无数条直线垂直, ,则则ll . . (A)1(A)1 (B)2(B)2 (C)3(C)3 (D)4(D)4 解析解析: :由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是, ,故选故选B.B. 题后反思题后反思 线面垂直的判定定理中线面垂直的判定定理中, ,直线垂直于平面内的两条相交直直线垂直于平面内的两条相交直 线线, ,“相交相交”两字必不可少两字必不可少, ,否则否则, ,就是换成无数条直线就是换

9、成无数条直线, ,这条直线也不一这条直线也不一 定与平面垂直定与平面垂直. . 即时训练即时训练1 1- -1:1:下列说法中下列说法中, ,正确的是正确的是 . . (1)(1)一条直线和一个平面平行一条直线和一个平面平行, ,它就和这个平面内的任何直线平行它就和这个平面内的任何直线平行. . (2)(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边. . (3)(3)如果三条共点直线两两垂直如果三条共点直线两两垂直, ,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的 平面平面. . (4)(4)与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平

10、行与一个平面的垂线垂直的直线和这个平面平行. . 解析解析: : (1)a,b(1)a,b ,直线直线a a与直线与直线b b可能平行可能平行, ,也可能异面也可能异面, ,故故(1)(1)错错. . (2) (2) 一条直线垂直于三角形的两边一条直线垂直于三角形的两边, ,则该直线垂直于三角形所在平面则该直线垂直于三角形所在平面, , 故该直线与三角形的第三边垂直故该直线与三角形的第三边垂直, ,故故(2)(2)正确正确. . (3)(3)三条共点直线两两垂直三条共点直线两两垂直, ,设为设为a,b,c,a,b,c,且且a,b,ca,b,c共点于共点于O.O. 因为因为ab,ac,bc=O,

11、ab,ac,bc=O, 所以所以b b、c c确定一平面确定一平面, ,设为设为,则则a.a.同理可知同理可知b b垂直于由垂直于由a a、c c确定的确定的 平面平面,c,c垂直于由垂直于由a a、b b确定的平面确定的平面. .故故(3)(3)正确正确. . (4)(4)因为平面内的任意一条直线都和该平面的垂线垂直因为平面内的任意一条直线都和该平面的垂线垂直, ,所以直线也可所以直线也可 能在平面内能在平面内, ,故故(4)(4)不正确不正确. . 答案答案: : (2)(3)(2)(3) 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 题型二题型二 【教师备用教师备用】 1.1.若把定理中“两

12、条相交直线”改为“两条直线”若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”, ,直线与平面一定直线与平面一定 垂直吗垂直吗? ? 提示提示: :当这两条直线平行时当这两条直线平行时, ,直线可与平面相交但不一定垂直直线可与平面相交但不一定垂直. . 2.2.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面如果两条平行线中的一条垂直于一个平面, ,那么另一条也垂直于这那么另一条也垂直于这 个平面吗个平面吗? ? 提示提示: :垂直垂直. . 【例例2 2】 (2015(2015唐山市高二期中唐山市高二期中) )如图所示如图所示, ,在四棱锥在四棱锥P P- -ABCDABCD中中, ,底面底面ABCDABCD

13、是矩形是矩形, ,侧棱侧棱PAPA垂直于底面垂直于底面,E,E、F F分别是分别是ABAB、PCPC的中点的中点,PA=AD.,PA=AD.求证求证: : (1)CDPD;(1)CDPD; (2)EF(2)EF平面平面PCD.PCD. 证明证明: : (1)(1)因为因为PAPA底面底面ABCD,CDABCD,CD 底面底面ABCD,ABCD, 所以所以CDPA.CDPA. 又在矩形又在矩形ABCDABCD中中,CDAD,CDAD,且且ADPA=A,ADPA=A, 所以所以CDCD平面平面PAD,PAD,所以所以CDPD.CDPD. (2)(2)取取 PDPD 的中点的中点 G,G,连接连接

14、AG,FG,AG,FG, 又因为又因为 F F 是是 PCPC 的中点的中点, , 所以所以 GFGF 1 2 CD,CD,所以所以 GFGFAE.AE. 所以四边形所以四边形 AEFGAEFG 是平行四边形是平行四边形, , 所以所以 AGAGEF.EF. 因为因为 PA=AD,GPA=AD,G 是是 PDPD 的中点的中点, , 所以所以 AGAGPD,PD,所以所以 EFEFPD,PD, 因为因为 CDCD平面平面 PAD,AGPAD,AG 平面平面 PAD.PAD. 所以所以 CDCDAG.AG.所以所以 EFEFCD.CD. 因为因为 PDPDCD=D,CD=D,所以所以 EFEF平

15、面平面 PCD.PCD. 题后题后反思反思 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个 平面内找到两条相交直线平面内找到两条相交直线, ,证明它们和这条直线垂直证明它们和这条直线垂直. . 即时训练即时训练 2 2 1:1:如图所示如图所示, ,侧棱垂直于底面的三棱柱侧棱垂直于底面的三棱柱 ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中中, ,底面底面 ABCABC 为等为等 腰直角三角形腰直角三角形, ,ACB=90ACB=90,C,C 点到点到 ABAB1 1的距离为的距离为 CE,DCE,D 为为 ABAB 的中点的

16、中点. . 求证求证:(1)CD:(1)CDAAAA1 1;(2)AB;(2)AB1 1平面平面 CED.CED. 证明证明: : (1)(1)由题意由题意, ,得得AAAA1 1平面平面ABC,CDABC,CD 平面平面ABC,ABC,所以所以CDAACDAA1 1. . (2)(2)因为因为D D是是ABAB的中点的中点, ,ABCABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形,ACB=90,ACB=90, ,所以所以CDAB.CDAB. 又又CDAACDAA1 1,ABA,ABA1 1A=A,A=A,所以所以CDCD平面平面A A1 1B B1 1BA,BA,因为因为ABAB1 1 平面平面A

17、A1 1B B1 1BA,BA,所以所以 CDABCDAB1 1. . 又又CEABCEAB1 1,CDCE=C,CDCE=C,所以所以ABAB1 1平面平面CED.CED. 【备用例【备用例 1 1】 (2015 (2015 山西忻州高二期中联考山西忻州高二期中联考) )如图如图, ,在四棱锥在四棱锥 P P ABCDABCD 中中,PD,PD 平面平面 ABCD,AD=CD,DBABCD,AD=CD,DB 平分平分ADC,EADC,E 为为 PCPC 的中点的中点. . (1)(1)证明证明:PA:PA平面平面 BDE;BDE; (2)(2)证明证明:AC:AC平面平面 PBD.PBD.

18、证明证明: : (1)(1)设设ACBD=H,ACBD=H,连接连接EH.EH. 在在ADCADC中中, , 因为因为AD=CD,AD=CD,且且DBDB平分平分ADC,ADC, 所以所以H H为为ACAC的中点的中点. . 又由题设又由题设,E,E为为PCPC的中点的中点, , 故故EHPA.EHPA. 又又EHEH 平面平面BDE,BDE,且且PAPA 平面平面BDE,BDE, 所以所以PAPA平面平面BDE.BDE. (2)(2)因为因为PDPD平面平面ABCD,ACABCD,AC 平面平面ABCD,ABCD, 所以所以PDAC.PDAC. 由由(1)(1)可得可得,DBAC.,DBAC

19、. 又又PDDB=D,PDDB=D,故故ACAC平面平面PBD.PBD. 【备用例【备用例 2 2】 (2014 (2014 高考湖北卷高考湖北卷) )如图如图, ,在正方体在正方体 ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,P,Q,M,N,E,F,P,Q,M,N 分分 别是棱别是棱 AB,AD,DDAB,AD,DD1 1,BB,BB1 1,A,A1 1B B1 1,A,A1 1D D1 1的中点的中点, ,求证求证: : (1)(1)直线直线 BCBC1 1平面平面 EFPQ;EFPQ; (2)(2)直线直线 ACAC1 1平面平面 PQMN.PQMN.

20、 证明证明: :(1)(1)连接连接 ADAD1 1, ,由由 ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正方体是正方体, , 知知 ADAD1 1BCBC1 1, , 因为因为 F,PF,P 分别是分别是 AD,DDAD,DD1 1的中点的中点, , 所以所以 FPFPADAD1 1. .从而从而 BCBC1 1FP.FP. 而而 FPFP 平面平面 EFPQ,EFPQ,且且 BCBC1 1 平面平面 EFPQ,EFPQ, 故直线故直线 BCBC1 1平面平面 EFPQ.EFPQ. (2)(2)如图如图, ,连接连接AC,BD,AC,BD, 则则ACBD.ACBD.

21、 由由CCCC1 1平面平面ABCD,ABCD, BDBD 平面平面ABCD,ABCD, 可得可得CCCC1 1BD.BD. 又又ACCCACCC1 1=C,=C, 所以所以BDBD平面平面ACCACC1 1. . 而而ACAC1 1 平面平面ACCACC1 1, ,所以所以BDACBDAC1 1. . 连接连接B B1 1D D1 1, ,因为因为M,NM,N分别是分别是A A1 1B B1 1,A,A1 1D D1 1的中点的中点, , 所以所以MNBD,MNBD,从而从而MNACMNAC1 1. . 同理可证同理可证PNACPNAC1 1. . 又又PNMN=N,PNMN=N,所以直线所

22、以直线ACAC1 1平面平面PQMN.PQMN. 直线与平面所成的角直线与平面所成的角 题型三题型三 【例【例 3 3】 如图所示如图所示, ,已知已知 ABAB 为圆为圆 O O 的直径的直径, ,且且 AB=4,AB=4,点点 D D 为线段为线段 ABAB 上一点上一点, , 且且 AD=AD= 1 3 DB,DB,点点 C C 为圆为圆 O O 上一点上一点, ,且且 BC=BC=3AC.AC.点点 P P 在圆在圆 O O 所在平面上的正投所在平面上的正投 影为点影为点 D,PD=DB.D,PD=DB. (1)(1)求证求证:CD:CD平面平面 PAB;PAB; (2)(2)求直线求

23、直线 PCPC 与平面与平面 PABPAB 所成的角所成的角. . 法一法一 (1)(1)证明证明: :连接连接 CO,CO,由由 3AD=DB3AD=DB 知知, ,点点 D D 为为 AOAO 的中点的中点. . 又因为又因为 ABAB 为圆为圆 O O 的直径的直径, , 所以所以 ACACCB.CB. 由由3AC=BCAC=BC 知知, ,CAB=60CAB=60, , 所以所以ACOACO 为等边三角形为等边三角形. . 故故 CDCDAO.AO. 因为点因为点P P在圆在圆O O所在平面上的正投影为点所在平面上的正投影为点D,D, 所以所以 PDPD平面平面 ABC,ABC, 又又

24、 CDCD 平面平面 ABC,ABC, 所以所以 PDPDCD,CD, 由由 PDPD 平面平面 PAB,AOPAB,AO 平面平面 PAB,PAB,且且 PDPDAO=D,AO=D, 得得 CDCD平面平面 PAB.PAB. (2) (2)解解: :由由(1)(1)知知CPDCPD 是直线是直线 PCPC 与平面与平面 PABPAB 所成的角所成的角, , 又又AOCAOC 是边长为是边长为 2 2 的正三角形的正三角形, , 所以所以 CD=CD=3. . 在在 RtRtPCDPCD 中中,PD=DB=3,CD=,PD=DB=3,CD=3, , 所以所以 tantanCPD=CPD= CD

25、 PD = = 3 3 , ,CPD=30CPD=30, , 即直线即直线 PCPC 与平面与平面 PABPAB 所成的角为所成的角为 3030. . 法二法二 (1)(1)证明证明: :因为因为 ABAB 为圆为圆 O O 的直径的直径, , 所以所以 ACACCB.CB. 在在 RtRtABCABC 中中, ,由由 AB=4,3AD=DB,AB=4,3AD=DB,3AC=BCAC=BC 得得, , DB=3,BC=2DB=3,BC=23, , 所以所以 BD BC = = BC AB = = 3 2 , , 则则BDCBDCBCA,BCA,所以所以BCA=BCA=BDC,BDC,即即 CD

26、CDAO.AO. 因为点因为点 P P 在圆在圆 O O 所在平面上的正投影为点所在平面上的正投影为点 D,D, 所以所以 PDPD平面平面 ABC.ABC. 又又 CDCD 平面平面 ABC,ABC,所以所以 PDPDCD.CD. 由由 PDPD 平面平面 PAB,AOPAB,AO 平面平面 PAB,PAB, 且且 PDPDAO=D,AO=D,得得 CDCD平面平面 PAB.PAB. (2)(2)解解: :由由(1)(1)知知CPDCPD 是直线是直线 PCPC 与平面与平面 PABPAB 所成的角所成的角. . 在在 RtRtPCDPCD 中中,PD=BD=3,CD=,PD=BD=3,CD

27、= 22 BCBD= =3, , 所以所以 tantanCPD=CPD= CD PD = = 3 3 , ,CPD=30CPD=30, , 即直线即直线 PCPC 与平面与平面 PABPAB 所成的角为所成的角为 3030. . 题后题后反思反思 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤: : (1)(1)确定斜线与平面的交点确定斜线与平面的交点( (斜足斜足);(2);(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平通过斜线上除斜足以外的某一点作平 面的垂线面的垂线, ,连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影, ,则斜线和射影所成的则斜

28、线和射影所成的 锐角即为所求的角锐角即为所求的角;(3);(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形. . 即时训练即时训练 3 3 1:1:如图所示如图所示,AB,AB 是圆柱的母线是圆柱的母线,BD,BD 是圆柱底面圆的直径是圆柱底面圆的直径,C,C 是底是底 面圆周上一点面圆周上一点, ,且且 AB=BC=2,AB=BC=2,CBD=45CBD=45. . (1)(1)求证求证:CD:CD平面平面 ABC;ABC; (2)(2)求直线求直线 BDBD 与平面与平面 ACDACD 所成角的大小所成角的大小. . (1)(1)证明证明: :因为因为BD

29、BD是底面圆的直径是底面圆的直径, , 所以所以CDBC.CDBC. 又又ABAB平面平面BCD,CDBCD,CD 平面平面BCD,BCD, 所以所以ABCD.ABCD. 因为因为ABBC=C,ABBC=C,所以所以CDCD平面平面ABC.ABC. (2)(2)解解: :取取 ACAC 的中点的中点 E,E,连接连接 DE,DE,由由(1)(1)知知 BEBECD,CD,又又 E E 是是 ACAC 的中的中 点点,AB=BC=2,AB=BC=2,ABC=90ABC=90, ,所以所以 BEBEAC,AC,所以所以 BEBE平面平面 ACD,ACD,所以直线所以直线 BDBD 与平面与平面 ACDACD 所成的角为所成的角为BDE.BDE. 而而 BEBE平面平面 ACD,ACD,则则 BEBEED,ED, 即即BEDBED 为直角三角形为直角三角形. . 又又 AB=BC=2,AB=BC=2,CBD=45CBD=45, , 则则 BD=2BD=22,BE=,BE=2, , 所以所以 sinsinBDE=BDE= BE BD = = 1 2 , , 所以所以BDE=30BDE=30. . 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!