人教A版必修二数学课件：4.3 空间直角坐标系.ppt

1、4.34.3 空间直角坐标系空间直角坐标系 4.3.14.3.1 空间直角坐标系空间直角坐标系 4.3.24.3.2 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.理解空间直角坐标系的有关概念理解空间直角坐标系的有关概念, ,会根据坐标描出点的位置、由点会根据坐标描出点的位置、由点 的位置写出点的坐标的位置写出点的坐标. . 2.2.掌握空间两点间的距离公式掌握空间两点间的距离公式, ,理解公式使用的条件理解公式使用的条件, ,会用公式计算或会用公式计算或 证明证明. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.空间直角坐标系空间直

2、角坐标系 如图如图, ,以正方体以正方体OABCDABCOABCDABC为载体为载体, ,以以O O为原点为原点, ,分别以射线分别以射线OA,OC,OA,OC, ODOD的方向为正方向的方向为正方向, ,以线段以线段OA,OC,ODOA,OC,OD的长为单位长的长为单位长, ,建立三条数轴建立三条数轴: : , ,这时我们说建立了一个空间直角坐标系这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,Oxyz,其中点其中点O O叫叫 做做 , , 叫做坐标轴叫做坐标轴, ,通过每两个坐标轴的平面叫通过每两个坐标轴的平面叫 做坐标平面做坐标平面, ,分别称为分别称为 、 、 , ,通常建立的坐标通常建立

3、的坐标 系为系为 , ,即即 指向指向x x轴的正方向轴的正方向, , 指向指向y y轴的轴的 正方向正方向, , 指向指向z z轴的正方向轴的正方向. . x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴 坐标原点坐标原点 x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴 xOyxOy平面平面 yOzyOz平面平面 zOxzOx平面平面 右手直角坐标系右手直角坐标系 右手拇指右手拇指 食指食指 中指中指 2.2.空间直角坐标系中点的坐标空间直角坐标系中点的坐标 空间一点空间一点M M的坐标可用有序实数组的坐标可用有序实数组(x,y,z)(x,y,z)来表示来表示, ,有序实数组有序实数组(x,y,z)(x,y,

4、z)叫做叫做 点点M M在此空间直角坐标系中的坐标在此空间直角坐标系中的坐标, ,记作记作 , ,其中其中x x叫做点叫做点M M的的 , , y y叫做点叫做点M M的的 ,z,z叫做点叫做点M M的的 . . M(x,y,z)M(x,y,z) 横坐标横坐标 纵坐标纵坐标 竖坐标竖坐标 3.3.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 (1)(1)在空间直角坐标系在空间直角坐标系 OxyzOxyz 中中, ,任意一点任意一点 P(x,y,z)P(x,y,z)与原点间的距离与原点间的距离 |OP|=|OP|= 222 xyz. . (2)(2)空间中空间中, ,两点两点 P P1 1(x(x1

5、 1,y,y1 1,z,z1 1) )与与 P P2 2(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )之间的距离为之间的距离为 |P|P1 1P P2 2|=|= 222 121212 xxyyzz. . 自我检测自我检测 1.(1.(空间直角坐标系空间直角坐标系) )空间直角坐标系中空间直角坐标系中, ,三条坐标轴三条坐标轴( ( ) ) (A)(A)两两垂直且相交于一点两两垂直且相交于一点 (B)(B)两两平行两两平行 (C)(C)仅有两条不垂直仅有两条不垂直 (D)(D)仅有两条垂直仅有两条垂直 2.(2.(空间直角坐标系空间直角坐标系) )空间直角坐标系中空间直角坐标系中, ,已知点

6、已知点P(x,y,z),P(x,y,z),则则x,y,zx,y,z的取的取 值范围分别为值范围分别为( ( ) ) (A)0,+),0,+),0,+)(A)0,+),0,+),0,+) (B)(B)R,R,R,R,0,+)0,+) (C)(C)R R,0,+),0,+),R R (D)(D)R,R,RR,R,R A A D D 3.(3.(空间中点的坐标空间中点的坐标) )下列点在下列点在x x轴上的是轴上的是( ( ) ) (A)(0.1,0.2,0.3)(A)(0.1,0.2,0.3) (B)(0,0,0.001)(B)(0,0,0.001) (C)(5,0,0)(C)(5,0,0) (D

7、)(0,0.01,0)(D)(0,0.01,0) C C 4.(4.(空间中点的对称空间中点的对称) )点点P(P(- -3,2,3,2,- -1)1)关于平面关于平面xOyxOy的对称点是的对称点是 . . 答案答案: : ( (- -3,2,1)3,2,1) 5.(5.(空间两点间的距离空间两点间的距离) ) 点点M(4,M(4,- -3,5)3,5)到原点的距离到原点的距离d d1 1= = , ,到到z z轴的轴的 距离距离d d2 2= = . . 答案答案: :5 52 5 5 课堂探究课堂探究 空间中点的坐标的确定空间中点的坐标的确定 题型一题型一 【教师备用教师备用】 空间直角

8、坐标系的理解空间直角坐标系的理解 1.1.给定的空间直角坐标系下给定的空间直角坐标系下, ,空间任意一点是否与有序实数组空间任意一点是否与有序实数组(x,y,z)(x,y,z)之之 间存在惟一的对应关系间存在惟一的对应关系? ? 提示提示: :是是. .给定空间直角坐标系下给定空间直角坐标系下, ,空间给定一点其坐标是惟一的有序实数空间给定一点其坐标是惟一的有序实数 组组(x,y,z);(x,y,z);反之反之, ,给定一个有序实数组给定一个有序实数组(x,y,z),(x,y,z),空间也有惟一的点与之空间也有惟一的点与之 对应对应. . 2.2.在空间直角坐标系中横坐标为在空间直角坐标系中横

9、坐标为0 0的点在的点在y y轴上吗轴上吗? ? 提示提示: :不一定不一定. .横坐标为横坐标为0 0的点一定在的点一定在yOzyOz平面内平面内, ,横坐标、竖坐标全为横坐标、竖坐标全为0 0的的 点在点在y y轴上轴上. . 解解: :建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系. .点点 E E 在在 z z 轴上轴上, ,它的横坐标、纵坐标它的横坐标、纵坐标 均为均为 0,0,而而 E E 为为 DDDD1 1的中点的中点, ,故其坐标为故其坐标为（0,0,0,0, 1 2 ）. . 由由 F F 作作 FMFMADAD、FNFNDC,DC,由平面几何知由平面几何知 FM

10、=FM= 1 2 ,FN=,FN= 1 2 , , 故故 F F 点坐标为点坐标为（ 1 2 , , 1 2 ,0,0）. . 点点 G G 在在 y y 轴上轴上, ,其横、竖坐标均为其横、竖坐标均为 0,0, 又又|GD|=|GD|= 3 4 , ,故故 G G 点坐标为点坐标为（0,0, 3 4 ,0,0）. . 由由 H H 作作 HKHKCGCG 于于 K,K,由于由于 H H 为为 C C1 1G G 的中点的中点, , 故故|HK|=|HK|= 1 2 ,|CK|=,|CK|= 1 8 . . 所以所以|DK|=|DK|= 7 8 , ,故故 H H 点坐标为点坐标为（0,0,

11、7 8 , , 1 2 ）. . 【例【例 1 1】 在棱长为在棱长为 1 1 的正方体的正方体 ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,E、 F F 分别是分别是 D D1 1D D、 BDBD 的中点的中点,G,G 在棱在棱 CDCD 上上, , 且且 CG=CG= 1 4 CD,HCD,H 为为 C C1 1G G 的中点的中点, ,试建立适当的坐标系试建立适当的坐标系, ,写出写出 E E、F F、G G、H H 的坐标的坐标. . 题后反思题后反思 (1)(1)建立空间直角坐标系时建立空间直角坐标系时, ,要考虑如何建系才能使点的坐标要考虑如何建系

12、才能使点的坐标 简单、便于计算简单、便于计算, ,一般是要使尽量多的点落在坐标轴上一般是要使尽量多的点落在坐标轴上. . (2)(2)对于长方体或正方体对于长方体或正方体, ,一般取相邻的三条棱为一般取相邻的三条棱为x x、y y、z z轴建立空间直角轴建立空间直角 坐标系坐标系; ;确定点的坐标时确定点的坐标时, ,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度, , 即将坐标转化为与轴平行的线段长度即将坐标转化为与轴平行的线段长度, ,同时要注意坐标的符号同时要注意坐标的符号, ,这也是求空这也是求空 间点的坐标的关键间点的坐标的关键. . 解解: :

13、以以A A为坐标原点为坐标原点, ,射线射线AB,AD,AAAB,AD,AA1 1的方向分别为的方向分别为x x 轴、轴、y y 轴、轴、z z 轴正方向建立空间直角坐标系轴正方向建立空间直角坐标系, ,如图如图 所示所示. . 如图如图, ,在长方体在长方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分别是棱分别是棱BC,CCBC,CC1 1上的上的 点点,|CF|=|AB|=2|CE|,|AB|AD|AA,|CF|=|AB|=2|CE|,|AB|AD|AA1 1|=124.|=124.试建立适当的坐标试建立适当的坐标 系系, ,写出写出E,FE

14、,F点的坐标点的坐标. . 即时训练即时训练1 1- -1:1: 分别设分别设|AB|=1,|AD|=2,|AA|AB|=1,|AD|=2,|AA1 1|=4,|=4, 则则|CF|=|AB|=1,|CF|=|AB|=1, |CE|=|CE|= 1 2 |AB|=|AB|= 1 2 , , 所以所以|BE|=|BC|BE|=|BC|- -|CE|=2|CE|=2- - 1 2 = = 3 2 . . 所以点所以点 E E 的坐标为的坐标为（1,1, 3 2 ,0,0）, ,点点 F F 的坐标为的坐标为(1,2,1).(1,2,1). 解解: :(1)(1)很明显很明显 A(0,0,0),A(

15、0,0,0), 由于点由于点 B B 在在 x x 轴的正半轴上轴的正半轴上, ,且且|OB|=4,|OB|=4,所以所以 B(4,0,0).B(4,0,0).同理同理, ,可得可得 D(0,3,0),AD(0,3,0),A1 1(0,0,5).(0,0,5).由于点由于点 C C 在坐标平面在坐标平面 xOyxOy 内内,BC,BCAB,CDAB,CDAD,AD,则点则点 C(4,3,0).C(4,3,0). 同理同理, ,可得可得B B1 1(4,0,5),D(4,0,5),D1 1(0,3,5),(0,3,5),与与C C的坐标相比的坐标相比, ,点点C C1 1的坐标中只有竖坐标的坐标

16、中只有竖坐标 不同不同,CC,CC1 1=AA=AA1 1=5,=5,则点则点 C C1 1(4,3,5).(4,3,5). 如图如图, ,长方体长方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,|AB|=4,|AD|=3,|AB|=4,|AD|=3, |AA|AA1 1|=5,N|=5,N为棱为棱CCCC1 1的中点的中点, ,分别以分别以ABAB、ADAD、AAAA1 1所在的直线为所在的直线为x x、y y、 z z轴轴, ,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系. . 【备用例【备用例1 1】( (基础基础) ) (1)(1)求点求点A A、B B、C C、D D

17、、A A1 1、B B1 1、C C1 1、D D1 1的坐标的坐标; ; (2)(2)求点求点N N的坐标的坐标. . (2)(2)由由(1)(1)知知C(4,3,0),CC(4,3,0),C1 1(4,3,5),(4,3,5),则则C C1 1C C的中点为的中点为 （ 44 2 , , 33 2 , , 05 2 ） , , 即即 N N（4,3,4,3, 5 2 ）. . 解解: :取取 ACAC的中点的中点 O O和和 A A1 1C C1 1的中点的中点 O O1 1, ,可得可得 BOBOAC,AC,分别以分别以 OB,OC,OOOB,OC,OO1 1所在直线所在直线 为为 x,

18、y,zx,y,z 轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系. . 因为三棱柱各棱长均为因为三棱柱各棱长均为 2,2, 所以所以 OA=OC=1,OB=OA=OC=1,OB=3, , 可得可得 A(0, A(0,- -1,0),B(1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A,0,0),C(0,1,0),A1 1(0,(0,- -1,2),1,2), B B1 1( (3,0,0,2),C2),C1 1(0,1,2).(0,1,2). 如图如图, ,三棱柱三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1中中, ,所有棱长都为所有棱长都为2,2,侧棱侧棱 AAAA1 1底面底面AB

19、C,ABC,建立适当坐标系写出各顶点的坐标建立适当坐标系写出各顶点的坐标. . (1)(1)求点求点A A、B B、C C、D D、A A1 1、B B1 1、C C1 1、D D1 1的坐标的坐标; ; (2)(2)求点求点N N的坐标的坐标. . 【备用例【备用例2 2】 ( (拔高拔高) ) 空间直角坐标系中点的对称问题空间直角坐标系中点的对称问题 题型二题型二 【例【例2 2】 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,点点P(P(- -2,1,4).2,1,4). (1)(1)求点求点P P关于关于x x轴的对称点的坐标轴的对称点的坐标; ; (2)(2)求点求点P P关于关于xOy

20、xOy平面的对称点的坐标平面的对称点的坐标; ; (3)(3)求点求点P P关于点关于点M(2,M(2,- -1,1,- -4)4)的对称点的坐标的对称点的坐标. . 解解: : (1)(1)由于关于由于关于x x轴对称的点的横坐标不变轴对称的点的横坐标不变, ,纵坐标、竖坐标变为纵坐标、竖坐标变为 原来的相反数原来的相反数, ,所以对称点为所以对称点为P P1 1( (- -2,2,- -1,1,- -4).4). (2)(2)由于点由于点P P关于关于xOyxOy平面对称后平面对称后, ,横坐标、纵坐标不变横坐标、纵坐标不变, ,竖坐标变为竖坐标变为 原来的相反数原来的相反数, ,所以对称

21、点为所以对称点为P P2 2( (- -2,1,2,1,- -4).4). (3)(3)设对称点为设对称点为P P3 3(x,y,z),(x,y,z),则点则点M M为线段为线段PPPP3 3的中点的中点, , 由中点坐标公式由中点坐标公式, , 可得可得x=2x=22 2- -( (- -2)=6,y=22)=6,y=2( (- -1)1)- -1=1=- -3,z=23,z=2( (- -4)4)- -4=4=- -12.12. 所以所以P P3 3(6,(6,- -3,3,- -12).12). 题后反思题后反思 解决有关对称问题时解决有关对称问题时, ,注意依靠注意依靠x x轴、轴、y

22、 y轴、轴、z z轴作为参照轴作为参照 直线直线, ,坐标平面为参照面坐标平面为参照面, ,通过平行、垂直确定出对称点的位置通过平行、垂直确定出对称点的位置. .空间点关空间点关 于坐标轴、坐标平面的对称问题于坐标轴、坐标平面的对称问题, ,可以参照如下口诀记忆可以参照如下口诀记忆: :“关于谁对称关于谁对称 谁不变谁不变, ,其余的符号均相反其余的符号均相反”. .如关于如关于x x轴对称的点横坐标不变轴对称的点横坐标不变, ,纵坐标、纵坐标、 竖坐标变为原来的相反数竖坐标变为原来的相反数; ;关于关于xOyxOy坐标平面对称的点横、纵坐标不变坐标平面对称的点横、纵坐标不变, ,竖竖 坐标相

23、反坐标相反. .特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数. . 已知已知M(2,1,3),M(2,1,3),求求M M关于原点对称的点关于原点对称的点M M1 1,M,M关于关于xOyxOy平面对称的平面对称的 点点M M2 2,M,M关于关于x x轴、轴、y y轴对称的点轴对称的点M M3 3,M,M4 4. . 即时训练即时训练2 2- -1:1: 解解: :由于点由于点M M与与M M1 1关于原点对称关于原点对称, ,所以所以M M1 1( (- -2,2,- -1,1,- -3);3);点点M M与与M M2 2关于关于 xOy

24、xOy平面对称平面对称, ,横坐标与纵坐标不变横坐标与纵坐标不变, ,竖坐标变为原来的相反数竖坐标变为原来的相反数, , 所以所以M M2 2(2,1,(2,1,- -3);M3);M与与M M3 3关于关于x x轴对称轴对称, ,则则M M3 3的横坐标不变的横坐标不变, ,纵坐标纵坐标 和竖坐标变为原来的相反数和竖坐标变为原来的相反数, ,即即M M3 3(2,(2,- -1,1,- -3),3),同理同理M M4 4( (- -2,1,2,1,- -3).3). 空间两点间的距离空间两点间的距离 题型三题型三 【例【例3 3】 如图如图, ,已知正方体已知正方体ABCDABCD- -AB

25、CDABCD的棱长为的棱长为a,Ma,M为为BDBD的中点的中点, , 点点N N在在ACAC上上, ,且且|AN|=3|NC|,|AN|=3|NC|,试求试求|MN|MN|的长的长. . 解解: :由题意应先建立坐标系由题意应先建立坐标系, ,以以D D为原点为原点, ,建立如图所示空间直角坐标系建立如图所示空间直角坐标系. .因为正因为正 方体棱长为方体棱长为 a,a,所以所以 B(a,a,0),AB(a,a,0),A(a,0,a),C(a,0,a),C(0,a,a),D(0,a,a),D(0,0,a).(0,0,a).由于由于 M M 为为 BDBD的中点的中点, ,取取 A AC C的

26、中点的中点 O O, ,所以所以 M M（ 2 a , , 2 a , , 2 a ）,O,O（ 2 a , , 2 a ,a,a）. .因为因为 |A|AN|=3|NCN|=3|NC|,|,所以所以 N N 为为 A AC C的四等分点的四等分点, ,从而从而 N N 为为 O OC C的中点的中点, ,故故 N N（ a a , , 3 4 a,aa,a）. . 根据空间两点间的距离公式根据空间两点间的距离公式, ,可得可得|MN|=|MN|= 222 3 24242 aaaaa a = = 6 4 a.a. 题后题后反思反思 求空间两点间的距离时求空间两点间的距离时, ,一般使用空间两点

27、间的距离公式一般使用空间两点间的距离公式, ,应应 用公式的关键在于建立适当的坐标系用公式的关键在于建立适当的坐标系, ,确定两点的坐标确定两点的坐标. .确定点的坐标的方确定点的坐标的方 法视具体题目而定法视具体题目而定, ,一般说来一般说来, ,要转化到平面中求解要转化到平面中求解, ,有时也利用几何图形的有时也利用几何图形的 特征特征, ,结合平面直角坐标系的知识确定结合平面直角坐标系的知识确定. . 解解: :如图如图, ,以以 C C 为原点为原点, ,以以 CA,CB,CCCA,CB,CC1 1所在直线为坐标轴所在直线为坐标轴, ,建立空间直角建立空间直角 坐标系坐标系 C C-

28、-xyz,xyz, 因为因为 CA=CB=1,AACA=CB=1,AA1 1=2,=2, 所以所以 N(1,0,1),MN(1,0,1),M（ 1 2 , , 1 2 ,2,2）. . 由两点间的距离公式由两点间的距离公式, ,得得 MN=MN= 22 211 1012 22 = = 6 2 . . 侧棱垂直底面的三棱柱叫直三棱柱侧棱垂直底面的三棱柱叫直三棱柱. .已知直三棱柱已知直三棱柱ABCABC- - A A1 1B B1 1C C1 1, ,底面底面ABCABC中中,CA=CB=1,BCA=90,CA=CB=1,BCA=90, ,棱棱AAAA1 1=2,M,N=2,M,N分别是分别是A A1 1B B1 1,A,A1 1A A的的 中点中点. .求求MNMN的长的长. . 即时训练即时训练3 3- -1:1: 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!