函数的单调性与导数课件.ppt

1、1.3.1函数的单调性与导数函数的单调性与导数单调性的定义单调性的定义对于函数yf(x)在某个区间上单调递增递增或单调递减递减的性质性质，叫做f(x)在这个区间上的单单调性调性，这个区间区间叫做f(x)的单调区间单调区间。一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对如果对于定义域于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在在区间区间D上是上是增函数增函数 判断函数单调性有哪些方法？判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数比如：判断函数 的单调性。的单

2、调性。yx 2 (,0)(0,)xyo2yx 函数在函数在 上为上为_函数，函数，在在 上为上为_函数。函数。图象法图象法定义法定义法减减增增如图：如图：思考：那么如何求出下列函数的单调性呢思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x(1)f(x)=2x3 3-6x-6x2 2+7 +7 (2)f(x)=e(2)f(x)=ex x-x+1 -x+1 (3)f(x)=sinx-x(3)f(x)=sinx-x发现问题：发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：时。例如

3、：2x2x3 3-6x-6x2 2+7+7，是否有更为简捷的方法，是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的呢？下面我们通过函数的y=xy=x2 24x4x3 3图象来图象来考察考察单调性单调性与与导数导数有什么关系有什么关系2yx0.再观察函数再观察函数y=xy=x2 24x4x3 3的图象：的图象：总结总结:该函数在区该函数在区间（间（，2）上）上单单减减,切线斜率切线斜率小于小于0,即其即其导数为负导数为负;而当而当x=2时其切线时其切线斜率为斜率为0,即即导数为导数为0.函数在该点单调性函数在该点单调性发生改变发生改变.在区间（在区间（2，+）上上单增单增,切线斜率切线斜率大大于于0,

4、即其即其导数为正导数为正.xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函探讨函数的单调性与其导函数正负的关系数正负的关系.结论：在某个区间结论：在某个区间(a a,b b)内内,如果如果 ,那么函数那么函数 在这个区间内在这个区间内单调递增单调递增;如果如果 ,那么那么函数函数 在这个区间内在这个区间内单调递减单调递减.如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有f f(x)=0,(x)=0,则则f(x)f(x)为常数函数为常数函数a b(,)在在某某个个区区间间内内,fx ()0f xa b()(,)在在内内单单调调递递增增

5、fx ()0f xa b()(,)在在内内单单调调递递减减注意：注意：应正确理解应正确理解 “某个区间某个区间”的含义的含义,它它必是定义域内的某个区间。必是定义域内的某个区间。课本思考课本思考思考思考1：如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ，那么函数，那么函数 有什么特性？有什么特性？()0fx ()f x()f x 是是常常数数函函数数。1122()A(,()B(,()yf xxf xxf x 表示过函数图象上两点、的直线斜率。几何意义：几何意义：关系：关系：12,()x xyf x 当区间()的长度很小时，平均变化率可以近似地反映函数在这个区间的单调性。思考思考2：结合函数单调性的

6、定义，思考某个区间上函数结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数 的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。()f x例例1 1、已知导函数、已知导函数 的下列信息：的下列信息：()f x当当1x41x0;0;当当x4,x4,或或x1x1时，时，0;0,即在（0，1上恒成立31g xxg xg max而()在（0，1上 单 调 递 增，()(1)=-11a-322f xx 当a1时，()1f xa-f x对x（0，1）也有()0时，（）在(0,1)上是增函数所以a的范围是-1，+）在某个区间上，在某个区间上，f（x）在这个区间上单调递增）在这个区间上单调递

7、增（递减）；但由（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于是不够的。还有可能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证f x()0(或0(或0(B)0(B)11a1(C)1(D)01(D)0a1 1)33,33(A A证明：令证明：令f(x)=e2x12x.f(x)=2e2x2=2(e2x1)x0，e2xe0=1，2(e2x1)0,即即f(x)0f(x)=e2x12x在在(0，+)上是增函数上是增函数.f(0

8、)=e010=0.当当x0时，时，f(x)f(0)=0，即，即e2x12x0.1+2xe2x2.当当x0时，证明不等式：时，证明不等式：1+2xe2x.分析：假设令分析：假设令f(x)=e2x12x.f(0)=e010=0,如果能够证明如果能够证明f(x)在在(0，+)上是增函数，那么上是增函数，那么f(x)0，则不等式就可以证明，则不等式就可以证明.点评：点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为为0.3.3.设设f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定恰有三个单调区间，试确定a 的取值范的取值范围，并求其单调区间。围，并求其单调区间。提示提示:运用导数判断单调性运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小根据函数的单调性比较函数值大小审题不细致致误2021