D99二元泰勒公式课件.ppt

1、目录 上页 下页 返回 结束*第九节一、二元函数泰勒公式一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明二、极值充分条件的证明 二元函数的泰勒公式 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 一、二元函数的泰勒公式一、二元函数的泰勒公式一元函数)(xf的泰勒公式:20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10)1(!)1()(nnhnxxf)10(推广多元函数泰勒公式 目录 上页 下页 返回 结束 记号记号(设下面涉及的偏导数连续):),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(

2、),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地,表示表示目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 1.),(),(00yxyxfz在点设的某一邻域内有直到 n+1 阶连续偏导数,),(00kyhx为此邻域内任 一点,则有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(001!)1(1kyhxfkhRnyxnn)10(nR其中 称为f 在点(x0,y0)的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项.目

3、录 上页 下页 返回 结束 证证:令),10(),()(00tktyhtxft则),()1(,),()0(0000kyhxfyxf利用多元复合函数求导法则可得:),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy),()()0(002yxfkhyx 目录 上页 下页 返回 结束),(C)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地,),()()0(00)(yxfkhmyxm由)(t的麦克劳林公式,得)1

4、()()1(!)1(1nn)10(将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.)0()0()0()0()(!1!21nn 目录 上页 下页 返回 结束),()(001!)1(1kyhxfkhRnyxnn说明说明:(1)余项估计式.因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界 M,22kh 令则有1)(!)1(nnkhnMRsincoskh11)sincos(!)1(nnnM)1(max2 1,0 xx利用11)2(!)1(nnnM)(no2目录 上页 下页 返回 结束(2)当 n=0 时,得二元函数的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx)

5、,(00kyhxfky)10(3)若函数),(yxfz 在区域D 上的两个一阶偏导数恒为零,.),(常数yxf由中值公式可知在该区域上 定理1目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求函数)0,0()1ln(),(在点yxyxf解解:yxyxfyxfyx11),(),(的三阶泰勒公式.2)1(1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1(!2yxyxfpp)3,2,1,0(p444)1(!3yxyxfpp)4,3,2,1,0(p因此,)0,0()(fkhyx)0,0()0,0(yxfkfhkh目录 上页 下页 返回 结束)0,0()(2fkhyx)0,0()(3fkhyx)0

6、,0()0,0(2)0,0(22yyyxxxfkfkhfh)0,0(C333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0)0,0(f又代入三阶泰勒公式得将ykxh,)1ln(yxyx 2)(21yx 33)(31Ryx3)1(!2yx),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(003!31yxfkhyx3R其中),()(43khfkhRyx44)1()(41yxyxykxh)10(目录 上页 下页 返回 结束 时,具有极值二、极值充分条件的证明二、极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A

7、 0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC定理定理2(充分条件)目录 上页 下页 返回 结束 证证:由二元函数的泰勒公式,并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx则有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00连续的二阶偏导数在点由于yxyxf所以Akyhxfxx),(0

8、0Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(0000,0时kh00目录 上页 下页 返回 结束 22221kCkhBhA其中其中,是当h 0,k 0 时的无穷小量,于是z),(21khQ)(22kh,很小时因此当kh.),(确定的正负号可由khQz(1)当 ACB2 0 时,必有 A0,且 A 与C 同号,)()2(),(2222221kBACkBkhBAhAkhQA)()(2221kBACkBhAA可见,0),(,0khQA时当从而z0,因此),(yxf;),(00有极小值在点yx)(2o22221kkhh目录 上页 下页 返回 结束)()(),(2221kBACkBhAkhQA,0)

9、,(,0khQA时当从而 z0,在点因此),(yxf;),(00有极大值yx(2)当 ACB2 0 时,若A,C不全为零,无妨设 A0,则)(),(221kkBhAkhQA)(2BAC),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直线当时,有,0kBhAAkhQ与故),(异号;),(yx当,),(0000时接近沿直线yxyy,0k有AkhQ与故),(同号.可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,在点因此),(yxf;),(00无极值yx),(00yxxyO目录 上页 下页 返回 结束+若 AC 0,则必有 B0,不妨设 B0,此时 222),(kCkhBhAkhQ),(00kyhx对点,同号时当kh,0),(khQ,异号时当kh,0),(khQ可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,在点因此),(yxf;),(00无极值yxkhB2,0z从而,0z从而(3)当ACB2 0 时,若 A0,则21)(),(kBhAkhQA若 A0,则 B0,2),(kCkhQ可能),(khQ为零或非零xy),(00yxO目录 上页 下页 返回 结束 此时)(),(221okhQz因此 作业作业P123 1,3,4,5第十节 ,)(,0),(2确定的正负号由时因为ozkhQ不能断定(x0,y0)是否为极值点.