1、专专题题课课微微 椭圆中的“蒙日圆”【引例1】已知圆C：过圆外一点M作圆C的两条互相垂直的切线，求点M的轨迹方程.【解析】【解析】222.xyr过点O分别作两切线的垂线，垂足分别为N、PON=OP=r.易证，四边形OPMN为正方形,2OMr点M的轨迹方程为：.2222xyr圆的两条互相垂直的切线交圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆点的轨迹是一个圆.【引例【引例2】(2014广东广东18题题)已知椭圆已知椭圆C：，一个焦点为一个焦点为 ，离心率为，离心率为 .（1）求椭圆）求椭圆C的标准方程；的标准方程；（2）若动点）若动点P(x0,y0)为椭圆为椭圆C外一点，且点外一点，且点P到到椭圆椭
2、圆C的两条切线相互垂直，求点的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程的轨迹方程.22221(0)xyabab5,05322194xyP(3，2).【解析】当两条切线中有斜率不存在或斜率为0时，当两条切线的斜率都存在时,设过P点直线方程为yy0=k(xx0).0022()194yk xxyxy(9k2+4)x218k(kx0y0)x+9(kxy0)236=0.直线与椭圆相切，=0(x02-9)k22x0y0k+y024=0220013xy201220419yk kx 2213xy综上所述，P的轨迹方程为 .蒙日圆定理蒙日圆定理定理1：椭圆C：的两条相互垂直的切线的交点P的轨迹方程为 .22221xy
3、ab2222xyab蒙日圆蒙日圆证明：当两条切线的斜率都存在时,设过P点切线方程为y=kxkx0+y0.曲直联立，化简得(a2k2+b2)x22ka2(kx0y0)x+a2(kxy0)2a2b2=0.因为，直线与椭圆相切，所以，=0，化简得(x02a2)k22x0y0k+y02b2=0因此，两条切线的斜率k1,k2是式的两个根，则，化简得 .当两条切线中有斜率不存在或斜率为0时，P(a，b).综上所述，P的轨迹方程为 .220122201ybk kxa 222200 xyab2222xyab设直线方程设直线方程曲直联立曲直联立相切，相切，=0垂直，垂直，k1k2=1【例题】已知两动点A、B在椭
4、圆 上，动点P在直线3x+4y10=0上，若APB恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为_.222:1(1)xCyaa3x+4y10=0与蒙日圆x2+y2=a2+1相离dr222|10|2134a即23a6(0,)3问题1：若将点P固定，当A、B位于何处时，APB最大？问题2：当一个锐角在不断增大的过程中，临界情况是什么？蒙日圆定理蒙日圆定理定理1：椭圆C：的两条相互垂直的切线的交点P的轨迹是 .22221xyab2222xyab思考：对于双曲线和抛物线，思考：对于双曲线和抛物线，会有类似结论吗会有类似结论吗?筷子夹汤圆筷子夹汤圆圆锥曲线蒙日圆，圆锥曲线蒙日圆，切线垂直要齐全。切线垂直要齐全。交点轨迹有两种，交点轨迹有两种，椭双成圆抛准线。椭双成圆抛准线。蒙日圆定理应用1蒙日圆定理应用2蒙日圆定理应用3蒙日圆定理应用4
