北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明习题课件.ppt

1、北师大版八年级数学下册习题课件北师大版八年级数学下册习题课件第一章 三角形的证明123456789101112131415161判定两个三角形全等的三条基本事实为判定两个三角形全等的三条基本事实为_、_、_，一条判定定理为，一条判定定理为_全等三角形的全等三角形的_相等、相等、_相等相等SAS返回返回1知识点知识点全等三角形全等三角形ASASSSAAS对应边对应边对应角对应角2(中考中考黔东南州黔东南州)下列各图中下列各图中a，b，c为三角形的为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和边长，则甲、乙、丙三个三角形和ABC全等的全等的是是()A甲和乙甲和乙 B乙和丙乙和丙 C甲和丙甲和丙 D只有丙

2、只有丙B返回返回3(中考中考成都成都)如图，已知如图，已知ABCDCB，添加以，添加以下条件，不能判定下条件，不能判定ABC DCB的是的是()AAD BACBDBCCACDB DABDCC返回返回4等腰三角形的两等腰三角形的两_相等，简称：相等，简称：“等边对等等边对等角角”这里要注意：这里要注意：“等边对等角等边对等角”是在是在_三三角形中角形中底角底角同一同一2知识点知识点等腰三角形的边、角性质等腰三角形的边、角性质返回返回5(中考中考滨州滨州)如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，D为为BC上一点，且上一点，且DADC，BDBA，则，则B的大的大小为小为()A40 B36 C30 D

3、25B返回返回6如图，在如图，在ABC中，中，ABC63，点，点D，E分别分别是是ABC的边的边BC，AC上的点，且上的点，且ABADDEEC，则，则C的度数是的度数是()A21 B19 C18 D17A返回返回7(中考中考邵阳邵阳)如图，点如图，点D是是ABC的边的边AC上一点上一点(不不含端点含端点)，ADBD，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是()AACBC BACBCCAABC DAABCA返回返回8等腰三角形顶角的等腰三角形顶角的_、底边上的、底边上的_及底边上的及底边上的_互相重合互相重合9(中考中考娄底娄底)如图，如图，ABC中，中，ABAC，ADBC于点于点D，DEAB于点

4、于点E，BFAC于于点点F，DE3 cm，则，则BF_cm.平分线平分线3知识点知识点等腰三角形的等腰三角形的“三线合一三线合一”性质性质返回返回中线中线高线高线610如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，D为为BC的中点，则的中点，则下列结论中不一定正确的是下列结论中不一定正确的是()ABADCAD BADBCCBC DBACB11(中考中考湖州湖州)如图，如图，AD，CE分别是分别是ABC的中线和的中线和角平分线，若角平分线，若ABAC，CAD20，则则ACE的度数是的度数是()A20 B35 C40 D70D返回返回B12如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，D是是BC边的边的中点，

5、点中点，点E在在AD上，那么下列结论不一定上，那么下列结论不一定正确的是正确的是()AADBC BEBCECBCABEACE DAEBED返回返回13(中考中考天门天门)如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，AD是是角平分线，点角平分线，点E在在AD上，请写出上，请写出图中两对全等三角形，并选择图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明其中的一对加以证明1题型题型等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”性质在证明性质在证明全等三角形中的应用全等三角形中的应用 A B E A C E，E B D E C D，ABD ACD(任选其中的两对写出即可任选其中的两对写出即可)选择选择ABD ACD

6、，证明如下，证明如下(也可以选择其他两对也可以选择其他两对中的一对进行证明中的一对进行证明)：ABAC，ABDACD.AD是角平分线，是角平分线，BADCAD.ABD ACD(ASA)返回返回解：解：14(中考中考聊城聊城)如图，正方形如图，正方形ABCD中，中，E是是BC上的一上的一点，连接点，连接AE，过，过B点作点作BHAE，垂足为点，垂足为点H，延，延长长BH交交CD于点于点F，连接，连接AF.(1)求证：求证：AEBF；(2)若正方形边长是若正方形边长是5，BE2，求，求AF的长的长2题型题型全等三角形的判定和性质在求线段长中的应用全等三角形的判定和性质在求线段长中的应用(1)证明：

7、证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABBC，ABEBCF90.BAEAEB90.BHAE，BHE90.AEBEBH90.BAEEBH.在在ABE和和BCF中，中，,BAECBFABBCABEBCF ABE BCF(ASA)AEBF.返回返回15(中考中考广安广安)如图，有如图，有4张形状、大小完全相同的方格张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，

8、具体要求如下：如下：3题型题型等腰三角形的性质在作三角形中的应用等腰三角形的性质在作三角形中的应用(1)画一个直角边长为画一个直角边长为4，面积为，面积为6的直角三角形；的直角三角形；(2)画一个底边长为画一个底边长为4，面积为，面积为8的等腰三角形；的等腰三角形；(3)画一个面积为画一个面积为5的等腰直角三角形；的等腰直角三角形；(4)画一个一边长为画一个一边长为2 ，面积为，面积为6的等腰三角形的等腰三角形2返回返回解：解：所画图形如图所示所画图形如图所示16已知已知ABC中，中，BAC90，ABAC，D为为BC的的中点中点(1)如图，如图，E，F分别是分别是AB，AC上的点，且上的点，且

9、BEAF.试判断试判断DEF的形状，并说明理由的形状，并说明理由(2)如图，若如图，若E，F分别为分别为AB，CA的延长线上的点，仍的延长线上的点，仍有有BEAF.请判断请判断DEF是否仍具有是否仍具有(1)中的形状，并中的形状，并说明理由说明理由构造全等三角形法构造全等三角形法【思路点拨】连接【思路点拨】连接AD，本题两种情况都是要证明，本题两种情况都是要证明BDE ADF，进而得到，进而得到DEDF，BDEADF.再运用角的转化得到再运用角的转化得到EDF90，从而，从而可判断可判断DEF的形状的形状解：解：(1)DEF为等腰直角三角形为等腰直角三角形理由：连接理由：连接AD，如图所示，如

10、图所示ABAC，BAC90，D为为BC的中点，的中点，BDDC，BADDACB45.ADBD.在在BDE和和ADF中，中，(2)DEF仍为等腰直角三角形仍为等腰直角三角形理由：如图，连接理由：如图，连接AD.由由(1)可证可证ADBD，BADDACABC45，EBD180ABC18045135，FADFAEBAD9045 135.EBDFAD.返回返回第一章 三角形的证明1234567891011121314151等腰三角形两底角的平分线等腰三角形两底角的平分线_，两腰上的高，两腰上的高_，两腰上的中线，两腰上的中线_相等相等返回返回1知识点知识点等腰三角形中相等的线段等腰三角形中相等的线段相

11、等相等相等相等2已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，ABAC，BD，CE分分别平分别平分ABC和和ACB，则下列结论不一定正确的，则下列结论不一定正确的是是()ABDCE BOBOCCOCDC DABDACEC返回返回3如图，已知在如图，已知在ABC中，中，ABAC，给出下列条件，给出下列条件，不能使不能使BDCE的是的是()ABD和和CE分别为分别为AC和和AB边上的中线边上的中线BBD和和CE分别为分别为ABC和和ACB的平分线的平分线CBD和和CE分别为分别为AC和和AB边上的高边上的高DABDBCED返回返回4若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为若等腰三角形两腰上的高相交所成的

12、钝角为100，则顶角的度数为则顶角的度数为()A50 B80 C100 D130B返回返回5(1)等边三角形是轴对称图形，它有等边三角形是轴对称图形，它有_条对条对称轴；称轴；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于等于_32知识点知识点等边三角形的性质等边三角形的性质返回返回606下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形也具下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形也具有的是有的是()A三条边相等三条边相等 B三个内角相等三个内角相等C有三条对称轴有三条对称轴 D是轴对称图形是轴对称图形D返回返回7如图，已知四边形如图，已知四边形ABCD是正方形，

13、是正方形，PAD是等边是等边三角形，则三角形，则BPC等于等于()A20 B25 C30 D35C返回返回8(中考中考福建福建)如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABC中，中，ADBC，垂足为点垂足为点D，点，点E在线段在线段AD上，上，EBC45，则，则ACE等于等于()A15 B30 C45 D60A返回返回B返回返回10如图，如图，ABP与与CDP是两个全等的等边三角形，是两个全等的等边三角形，且且PAPD，下列四个结论：，下列四个结论：PCB15；ADBC；直线直线PC与与AB垂直；垂直；四边形四边形ABCD是轴对称图形是轴对称图形其中正确的有其中正确的有()A1个个 B2个个 C3

14、个个 D4个个D返回返回11如图，如图，A，C，B三点在同一条直线上，三点在同一条直线上，DAC和和EBC都是等边三角形，都是等边三角形，AE，BD分别与分别与CD，CE交交于点于点M，N.有如下结论：有如下结论：ACE DCB；CMCN；ACDN.其中正确结论的个数是其中正确结论的个数是()A3 B2 C1 D0B返回返回12如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，D，E分别是分别是AB，AC的中点，的中点，F是是BE，CD的交点的交点请写出图中两对全等的三角形，请写出图中两对全等的三角形，并选出其中一对加以证明并选出其中一对加以证明1题型题型等腰三角形对应线段的性质在等腰三角形对应线段的性

15、质在证明全等三角形中的应用证明全等三角形中的应用解：解：A B E A C D，D B C E C B，BFD CFE(写出两对即可写出两对即可)选证选证ABE ACD(也可以选其他两对中的一对也可以选其他两对中的一对进行证明进行证明)证明：证明：D，E分别是分别是AB，AC的中点，的中点，AD AB，AE AC.1212返回返回13已知已知ABC为等边三角形，为等边三角形，M是是BC上的一点，上的一点，N是是CA上的一点，且上的一点，且BMCN，直线，直线AM，BN相交相交于于Q点点2题型题型类比法在求角的大小中的应用类比法在求角的大小中的应用(1)若若M是是BC的中点，的中点，N是是AC的

16、中点，如图所示，求的中点，如图所示，求BQM的度数；的度数；(2)若若M不是不是BC的中点，的中点，N不是不是AC的中点，如图所示，的中点，如图所示，求求BQM的度数；的度数；(3)若若M是是BC延长线上的点，延长线上的点，N是是CA延长线上的点，如图延长线上的点，如图所示，求所示，求BQM的度数的度数(1)ABC为等边三角形，且为等边三角形，且M是是BC的中点，的中点，AMBC，即，即QMB90.ABC为等边三角形，且为等边三角形，且N是是AC的中点，的中点，BN平分平分ABC，则，则QBM30.BQM180QMBQBM180903060.解：解：(2)ABC为等边三角形，为等边三角形，AB

17、BC，ABCC60.又又BMCN，AMB BNC(SAS)BAMCBN.BQMBAMABNCBNABNABC60.(3)ABC为等边三角形，为等边三角形，ABBC，ABCACB60.又又BMCN，ABM BCN(SAS)MN.BQMNNAQMMACACB60.返回返回14如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABC中，点中，点D，E分别在边分别在边BC，AB上，且上，且BDAE，AD与与CE交于点交于点F.(1)求证：求证：ADCE；(2)求求DFC的度数的度数3题型题型等边三角形的性质在求边、角中的应用等边三角形的性质在求边、角中的应用ABC是等边三角形，是等边三角形，BACB60，ABAC.

18、又又AEBD，AEC BDA(SAS)ADCE.(1)证明：证明：(2)解：由解：由(1)知知AEC BDA，ACEBAD.DFCFACACEFACBADBAC60.返回返回15如图，已知如图，已知ABC为等边三角形，延长为等边三角形，延长BC到到D，延，延长长BA到到E，并且使，并且使AEBD，连接，连接CE，DE.求证：求证：ECED【思路点拨】先以【思路点拨】先以B为内角，为内角，BE为边为边构造等边三角形，再依据等边三角形构造等边三角形，再依据等边三角形的性质找全等三角形证明的性质找全等三角形证明构造等边三角形法构造等边三角形法证明：证明：ABC为等边三角形，为等边三角形，B60，AB

19、BC.如图，以如图，以BE为边，为边，B为内角作等边三角形为内角作等边三角形BEF.BEBFEF，F60.AEBD，BEAEBFBD，即即ABDF.BCDF.返回返回第一章 三角形的证明123456789101112131415161有两个角有两个角_的三角形是等腰三角形，简称：的三角形是等腰三角形，简称：“等角对等角对_”2如图，在如图，在ABC中，中，BC，AB5，则，则AC的长的长为为()A2 B3 C4 D5相等相等D返回返回1知识点知识点等腰三角形的判定等腰三角形的判定等边等边3在在ABC中，中，A B C1 1 2，则，则ABC是是()A等腰三角形等腰三角形 B直角三角形直角三角形

20、C锐角三角形锐角三角形 D等腰直角三角形等腰直角三角形D返回返回4如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点D，E在在BC边边上，上，ABDDAEEAC36，则图中，则图中共有等腰三角形共有等腰三角形()A4个个 B5个个 C6个个 D2个个C返回返回5(中考中考海南海南)已知已知ABC的三边长分别为的三边长分别为4，4，6，在在ABC所在平面内画一条直线，将所在平面内画一条直线，将ABC分割分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画这样的直线最多可画()A3条条 B4条条 C5条条 D6条条B返回返回6如图所示的正方形网格中

21、，网格线的交点称为格点，如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知已知A，B是两格点，如果是两格点，如果C也是图中的格点，且使也是图中的格点，且使得得ABC为等腰三角形，则点为等腰三角形，则点C的个数是的个数是()A6 B7 C8 D9C返回返回7如图，在如图，在ABC中，中，ABC和和ACB的平分线交于点的平分线交于点E，过点，过点E作作MNBC交交AB于点于点M，交，交AC于点于点N，若，若BMCN9，则线段，则线段MN的长为的长为()A6 B7 C8 D9D返回返回B返回返回9反证法：先假设命题的反证法：先假设命题的_不成立，然后推不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已

22、知条件相导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相_的结果，从而证明命题的结论的结果，从而证明命题的结论_成立这种证明方法称为反证法成立这种证明方法称为反证法结论结论2知识点知识点反证法反证法返回返回矛盾矛盾一定一定10“abCab Dab或或abD返回返回11用反证法证明命题用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一在直角三角形中，至少有一个锐角不大于个锐角不大于45”时，应先假设时，应先假设()A有一个锐角小于有一个锐角小于45B每一个锐角都小于每一个锐角都小于45C有一个锐角大于有一个锐角大于45D每一个锐角都大于每一个锐角都大于45D返回返回12下列命题中，宜用反证法证明的是下列命题中

23、，宜用反证法证明的是()A等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等B有一个外角是有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形C两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行互相平行D全等三角形的面积相等全等三角形的面积相等C返回返回13(中考中考常州常州)如图，已知如图，已知ABC中，中，ABAC，BD，CE是高，是高，BD与与CE相交于点相交于点O.(1)求证：求证：OBOC；(2)若若ABC50，求，求BOC的度数的度数1题型题型等腰三角形的判定在求角中的应用等腰三角形的判定在求角中的应用ABAC，ABCACB.BD，

24、CE是是ABC的两条高线，的两条高线，BDCCEB90.DBCECB.OBOC.(1)证明：证明：(2)解：解：ABC50，ABAC，A18025080.EOD360909080100.BOCEOD100.返回返回14(中考中考广东广东)如图，长方形如图，长方形ABCD中，中，ABAD，把长，把长方形沿对角线方形沿对角线AC所在直线折叠，使点所在直线折叠，使点B落在点落在点E处，处，AE交交CD于点于点F，连接，连接DE.(1)求证：求证：ADE CED；(2)求证：求证：DEF是等腰三角形是等腰三角形2题型题型全等三角形的判定和性质在折叠全等三角形的判定和性质在折叠中判定等腰三角形中的应用中

25、判定等腰三角形中的应用(1)证明：证明：(2)由由ADE CED可得可得AEDCDE，FDFE.即即DEF是等腰三角形是等腰三角形返回返回15如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，D为为BC边的中点，边的中点，F为为CA的延长线上的一点，过点的延长线上的一点，过点F 作作FGBC于点于点G，并交，并交AB于点于点E.求证：求证：(1)ADFG；(2)AFE为等腰三角形为等腰三角形3题型题型等腰三角形判定和性质的综合应用等腰三角形判定和性质的综合应用(1)ABAC，D是是BC的中点，的中点，ADBC.又又FGBC，ADFG.证明：证明：(2)ABAC，D是是BC的中点，的中点，BADCAD.A

26、DFG，FCAD，AEFBAD.FAEF.AFAE，即，即AEF是等腰三角形是等腰三角形返回返回16如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，EF交交AB于点于点E，交，交AC的延长线于点的延长线于点F，交，交BC于点于点D，且，且BECF.求证：求证：DEDF.4题型题型等腰三角形判定和性质在构造全等腰三角形判定和性质在构造全等三角形中的应用等三角形中的应用过点过点E作作EGAC，交，交BC于点于点G，FDEG，ACBEGB.ABAC，ACBB.BEGB.BEEG.BECF，EGCF.证明：证明：返回返回第一章 三角形的证明123456789101112131415161三个角都三个角都_的三

27、角形是等边三角形；的三角形是等边三角形；有一个角等于有一个角等于_的等腰三角形是等边的等腰三角形是等边三角形三角形相等相等返回返回1知识点知识点等边三角形的判定等边三角形的判定602下列关于等边三角形的描述错误的是下列关于等边三角形的描述错误的是()A三边相等的三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形B三个角相等的三角形是等边三角形三个角相等的三角形是等边三角形C有一个角是有一个角是60的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形D有两个角是有两个角是60的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形C返回返回3已知在已知在ABC中，中，A60，如果判定，如果判定ABC是等边三是等边三角形，还需添

28、加一个条件现有下面三种说法：角形，还需添加一个条件现有下面三种说法：如果添加条件如果添加条件“ABAC”，那么，那么ABC是等边三角形；是等边三角形；如果添加条件如果添加条件“BC”，那么，那么ABC是等边三角形；是等边三角形；如果添加条件如果添加条件“边边AB，BC上的高相等上的高相等”，那么，那么ABC是是等边三角形等边三角形上述说法中，正确的有上述说法中，正确的有()A3个个 B2个个 C1个个 D0个个A返回返回4(中考中考玉林玉林)如图，如图，AOB60，OAOB，动点，动点C从点从点O出发，沿射线出发，沿射线OB方向移动，以方向移动，以AC为边在右为边在右侧作等边三角形侧作等边三角

29、形ACD，连接，连接BD，则，则BD所在直线与所在直线与OA所在直线的位置关系是所在直线的位置关系是()A平行平行 B相交相交C垂直垂直 D平行、相交或垂直平行、相交或垂直A返回返回5如图，如图，D，E，F分别是等边三角形分别是等边三角形ABC各边上的各边上的点，且点，且ADBECF，则，则DEF的形状是的形状是()A等边三角形等边三角形B腰和底边不相等的等腰三角形腰和底边不相等的等腰三角形C直角三角形直角三角形D不等边三角形不等边三角形A返回返回6在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么，那么它所对的直角边等于它所对的直角边等于_斜边的一半斜边的一半2知识点

30、知识点含含30角的直角三角形的性角的直角三角形的性质质返回返回C返回返回8在在ABC中，中，A B C1 2 3，则，则BC AB等于等于()A2 1 B1 2 C1 3 D2 39如图，在如图，在ABC中，中，C90，AC3，B30，点，点P是是BC边上的动点，边上的动点，则则AP长不可能是长不可能是()A3.5 B4.2 C5.8 D7B返回返回D10如图，一棵大树在一次强台风中从离地面如图，一棵大树在一次强台风中从离地面5 m处折断处折断倒下，倒下部分与地面成倒下，倒下部分与地面成30角，角，这棵大树折断前的高度为这棵大树折断前的高度为()A10 m B15 m C25 m D30 m1

31、1如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，B15，DE垂直平分垂直平分AB，交，交BC于点于点E，垂足为，垂足为D，若，若BE6 cm，则，则AC等于等于()A6 cm B5 cm C4 cm D3 cmB返回返回D12(中考中考淄博淄博)如图，在如图，在RtABC中，中，CM平分平分ACB交交AB于点于点M，过点，过点M作作MNBC交交AC于点于点N，且，且MN平分平分AMC，若，若AN1，则，则BC的长为的长为()A4 B6 C4 D8B返回返回313(中考中考徐州徐州)如图，已知如图，已知ACBC，垂足为，垂足为C，AC4，BC3，将线段，将线段AC绕点绕点A按逆时针方向旋按逆时针方向

32、旋转转60，得到线段，得到线段AD，连接，连接DC，DB(1)线段线段DC_；(2)求线段求线段DB的长度的长度1题型题型等边三角形的判定在求线段长中的应用等边三角形的判定在求线段长中的应用4(1)4解：解：(2)如图，过点如图，过点D作作DEBC于点于点E.易得易得ADC是等边三角形，是等边三角形，ACD60.ACBC，ACB90.DCB30.返回返回14如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，BAC120，AEBE，D为为EC的中点的中点(1)求求CAE的度数；的度数；(2)求证：求证：ADE是等边三角形是等边三角形2题型题型边角关系在判定等边三角形中的应用边角关系在判定等边三角形中的应用

33、(1)解：解：(2)证明：证明：返回返回15如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABC中，点中，点D，E分别在边分别在边BC，AC上，且上，且DEAB，过点，过点E作作EFDE，交，交BC的延的延长线于点长线于点F.(1)求求F的度数；的度数；(2)若若CD2，求，求DF的长的长3题型题型含含30角的直角三角形性质在求边、角中的应角的直角三角形性质在求边、角中的应用用(1)ABC是等边三角形，是等边三角形，B60.DEAB，EDCB60.EFDE，DEF90.F90EDC30.解：解：(2)ACB60，EDC60，DEC60.EDC是等边三角形是等边三角形DEDC2.DEF90，F30，DF2

34、DE4.返回返回16(中考中考衢州衢州)【问题背景】如图，在正方形【问题背景】如图，在正方形ABCD的的内部，作内部，作DAEABFBCGCDH，根据，根据三角形全等的条件，易得三角形全等的条件，易得DAE ABF BCG CDH，从而得到四边形从而得到四边形EFGH是正方形是正方形类比法类比法【类比探究】如图，在正三角形【类比探究】如图，在正三角形ABC的内部，作的内部，作BADCBEACF，AD，BE，CF两两相交两两相交于于D，E，F三点三点(D，E，F三点不重合三点不重合)(1)ABD，BCE，CAF是否全等？是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明如果是，请选择其中一对进行证明(2)

35、DEF是否为正三角形？请说明理由是否为正三角形？请说明理由(1)ABD BCE CAF.选 择选 择 ABD BCE进 行 证 明进 行 证 明(也 可 以 选 择也 可 以 选 择ABD CAF或或BCE CAF进行证明进行证明)ABC是正三角形，是正三角形，CABABCBCA60，ABBC.ABDABC2，BCEACB3，23，解：解：(2)DEF是正三角形理由如下：是正三角形理由如下：ABD BCE CAF，ADBBECCFA.FDEDEFEFD.DEF是正三角形是正三角形返回返回第一章 三角形的证明1234567题型题型1证明线段相等证明线段相等1如图，在如图，在ABC中，中，ABAC

36、，D是是BC的中点，的中点，E，F分别是分别是AB，AC上的点，且上的点，且AEAF.求证：求证：DEDF.1类型类型证明数量关系证明数量关系证明：证明：返回返回题型题型2证明角相等证明角相等2如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，AD平分平分BAC求证：求证：DBCDCB证明：证明：返回返回题型题型1证明平行关系证明平行关系 3如图，已知如图，已知ABC为等边三角形，点为等边三角形，点P在在AB上，上，以以CP为边作等边三角形为边作等边三角形PCE.求证：求证：AEBC2类型类型证明位置关系证明位置关系证明：证明：返回返回题型题型2证明垂直关系证明垂直关系4如图，在如图，在ABC中，中，A

37、BAC，点，点D，E，F分别分别在边在边BC，AB，AC上，且上，且BDCF，BECD，G是是EF的中点求证：的中点求证：DGEF.证明：证明：返回返回5如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，CD，CE三等分三等分ACB，CDAB求证：求证：(1)AB2BC；(2)CEAEBE.3类型类型证明倍分关系证明倍分关系(1)ACB90，CD，CE三等分三等分ACB，12330.1260.CDAB，CDA90.A30.在在RtACB中，中，A30，AB2BC.证明：证明：(2)由由(1)知知A130，CEAE.又易得又易得BBCEBEC60，BCE为等边三角形，为等边三角形，CEBE.CEAEBE

38、.返回返回6如图，在如图，在ABC中，中，ABC2C，AD平平分分BAC求证：求证：ACABBD4类型类型证明和差关系证明和差关系证明：证明：如图，延长如图，延长CB至点至点E，使，使BEBA，连接连接AE，则，则BAEE.ABCBAEE2E.又又ABC2C，EC.AEAC.AD平分平分BAC，BADDAC.BAEE，EC，BAEC.又又EADBAEBAD，EDACDAC，EADEDA.AEDE.ACDEBEBDABBD.返回返回7如图，如图，AD是是ABC中中BAC的平分线，的平分线，P是是AD上的任意一点，且上的任意一点，且ABAC求证：求证：ABACPBPC5类型类型证明不等关系证明不等

39、关系证明：证明：返回返回AEP ACP(SAS)PEPC.在在PBE中，中，BEPBPE，即即ABACPBPC.第一章 三角形的证明12345678910111213141516171直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角_；反之，有两个角互；反之，有两个角互余的三角形是余的三角形是_2(中考中考柳州柳州)如图，图中直角三角形共有如图，图中直角三角形共有()A1个个 B2个个C3个个 D4个个互余互余C返回返回1知识点知识点直角三角形中角的关系直角三角形中角的关系直角三角形直角三角形3(中考中考长沙长沙)一个三角形三个内角的度数之比为一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定

40、是，则这个三角形一定是()A锐角三角形锐角三角形 B直角三角形直角三角形C钝角三角形钝角三角形 D等腰直角三角形等腰直角三角形B返回返回4直角三角形两条直角边的平方和等于直角三角形两条直角边的平方和等于_；反之，如果三角形两边的平方和等于反之，如果三角形两边的平方和等于_的平方，那么这个三角形是直角三角形的平方，那么这个三角形是直角三角形5某三角形的三边长分别为某三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边，它的最短边上的高为上的高为()A6 B4.8 C2.4 D8斜边的平方斜边的平方2知识点知识点直角三角形中的边角关系直角三角形中的边角关系返回返回第三边第三边DB返回返回7(中考中考雅安雅

41、安)如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AC90，B60，AD1，BC2，则四边形，则四边形ABCD的面积是的面积是()A.B3 C2 D4A返回返回3 3238(中考中考株洲株洲)如图，以直角三角形的三边如图，以直角三角形的三边a，b，c为边为边或直径，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形或直径，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1S2S3的图形个数是的图形个数是()A1 B2 C3 D4D返回返回9(中考中考长沙长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这

42、样一道题目：里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里、里、12里、里、13里，问这块沙田面积有多大？题中的里，问这块沙田面积有多大？题中的“里里”是我国市是我国市制长度单位，制长度单位，1里里500米，则该沙田的面积为米，则该沙田的面积为()A7.5平方千米平方千米 B15平方千米平方千米C75平方千米平方千米 D750平方千米平方千米A返回返回10在两个命题中，如果

43、一个命题的条件和结论分别是在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为_，其中一个命题称为另一个命题的，其中一个命题称为另一个命题的_11如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的_互逆命题互逆命题3知识点知识点逆命题和逆定理逆命题和逆定理返回返回逆命题逆命题逆定理逆定理12(中考中考包头包头)已知下列命题：已知下列命题：若若 1，则，则ab；若若ab0，则，则|a|b|；等边三角形

44、的三个内角都相等；等边三角形的三个内角都相等；底角相等的两个等腰三角形全等底角相等的两个等腰三角形全等其中原命题与逆命题均为真命题的个数是其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个A返回返回ab13下列定理中，没有逆定理的是下列定理中，没有逆定理的是()A等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等B对顶角相等对顶角相等C有一个角等于有一个角等于60的等腰三角形是等边的等腰三角形是等边三角形三角形D直角三角形两个锐角的和等于直角三角形两个锐角的和等于90B返回返回14如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，BC15，AC20，CD是高求：是高求：(1)

45、AB的长；的长；(2)ABC的面积；的面积；(3)CD的长的长1题型题型直角三角形的性质在求边长中的应直角三角形的性质在求边长中的应用用返回返回解：解：15如图，如图，P是等边三角形是等边三角形ABC内的一点，连接内的一点，连接PA，PB，PC，以，以BP为边作为边作PBQ60，且且BQBP，连接，连接CQ，PQ.(1)观察并猜想观察并猜想AP与与CQ之间的大小关系，并说明理由；之间的大小关系，并说明理由；(2)若若PA PB PC3 4 5，试判断，试判断PQC的形状，并说的形状，并说明理由明理由2题型题型勾股定理的逆定理在判断三角形形状中的应用勾股定理的逆定理在判断三角形形状中的应用 (1

46、)APCQ.理由：理由：ABC是等边三角形，是等边三角形，ABCB，ABC60.PBQ60，ABPABCPBCPBQPBCCBQ.又又BPBQ ABP CBQ(SAS)APCQ.解：解：(2)PQC是直角三角形是直角三角形理由：由理由：由PA PB PC3 4 5，可设，可设PA3a，PB4a，PC5a(a0)在在PBQ中，中，PBBQ4a，PBQ60，PBQ是等边三角形是等边三角形PQ4a.又由又由(1)知知APCQ，PQ2QC2PQ2AP216a29a225a2PC2.PQC是直角三角形是直角三角形返回返回16(中考中考柳州柳州)如图，在如图，在ABC中，中，D为为AC边的中点，边的中点，

47、且且DBBC，BC4，CD5.求：求：(1)DB的长；的长；(2)ABC中中BC边上的高边上的高3题型题型倍长中线法在构造直角三角形中的应用倍长中线法在构造直角三角形中的应用 (1)DBBC，BC4，CD5，DB 3.2254 解：解：(2)如图，延长如图，延长BD至点至点E，使，使DEBD，连接，连接AE，BE2BD6.D是是AC的中点，的中点，ADDC.在在BDC和和EDA中，中，返回返回17如图，牧童在如图，牧童在A处放牛，其家在处放牛，其家在B处，处，A，B到河岸的到河岸的距离分别为距离分别为AC400 m，BD200 m，CD800 m，牧童从牧童从A处把牛牵到河边饮水后再处把牛牵到

48、河边饮水后再回家试问：在何处饮水，所走路回家试问：在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？程最短？最短路程是多少？对称法对称法【思路点拨】作点【思路点拨】作点A关于直线关于直线CD的对称点的对称点G，连接，连接GB，交，交CD于点于点E，利用，利用“两点之间线段最短两点之间线段最短”可知，可知，应在点应在点E处饮水再根据对称性，知处饮水再根据对称性，知GB的长为所求的长为所求的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理即可解决即可解决解：解：如图，作点如图，作点A关于直线关于直线CD的对称点的对称点G，连接，连接GB交交CD于点于点E，连接，连接A

49、E，由，由“两点之间线段最短两点之间线段最短”可知，在可知，在点点E处饮水，所走路程最短，最短路程为处饮水，所走路程最短，最短路程为GB的长过点的长过点G作作BD的垂线，交的垂线，交BD的延长线于点的延长线于点H.在在RtGHB中，中，GHCD800 m，BHBDDHBDAC600 m，由勾股定理，得由勾股定理，得GB2GH2BH2.GB1 000 m，即最短路程为，即最短路程为1 000 m.返回返回第一章 三角形的证明12345678910111213141_和一条和一条_分别相等的两个直角三角形全等，分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成可以简写成“_”或或“_”2(中考中考娄底娄底)

50、如图，在如图，在RtABC与与RtDCB中，已知中，已知AD90，请你添加一个条件，请你添加一个条件(不添加字母和辅助不添加字母和辅助线线)，使，使RtABC RtDCB，你添，你添加的条件是加的条件是_斜边斜边返回返回1知识点知识点判定两直角三角形全等的方法判定两直角三角形全等的方法直角边直角边斜边、直角边斜边、直角边HLABDC(答案不唯一答案不唯一)3如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，若，若ADBC，则可直接，则可直接判定判定ABD和和ACD全等的方法是全等的方法是()ASAS BASA CSSS DHL4如图，在如图，在ABC中，中，C90，EDAB于点于点D，BDBC，若，若A