1、8.1 能带思想和轨道基方法简单轨道图像：（1）一维点阵；（2）每个原子只有一个S轨道反键轨道成键轨道成键轨道反键轨道非键轨道N很大，得到一个有一定宽度的连续能带金属绝缘体半导体 一维点阵：在x点的波函数（k）（x）与在X+na点的函数（k）（x+na）具有一定的联系。Bloch思想给出了这种联系。)()()()(xeaxkikakBloch定理：允许的晶格函数具有以下的形式:晶格函数 k：标记，其个数对应于一维晶格中的原子个数 a：晶格周期晶体具有周期性；晶格势场也具有周期性；相应函数的值在晶格等效点是相似的。a k：其实对应的是电子的波矢晶格波函数可以用原子轨道的线性组合表示；niknan
2、ke)(k为0 2100nnk如果s轨道记为n，第n个轨道位于na处；则下列原子轨道线性组合的函数满足Bloch条件 210/)1(nnnakk=/a S轨道p轨道一维情况下对应S及P轨道能量与K的关系 u能量随k变化的图称为能带结构；u能带宽度为能带中最高和最低能级的距离；u对于一维情况系，晶格间距越小，则能带宽度越大；u在晶格中有多少原子，则有多少K值，亦对应多少能级(xy)平面两维方格结构：)()()()(reTrkikTkT为平移矢量；K为波矢，可以分解为x及y方向的kx与ky。二维情况下原子1s轨道的可能组合（阴影对应系数为正，非阴影为负)能带结构图倒易空间uK为波矢，可以看做是倒易
3、空间的一点。uK限制在第一布里渊区，沿具有一定对称性的路线取值，得到E-K图。8.2 周期H-F方法研究固体周期H-F方法中，Fock矩阵的元素由所谓Bloch函数的线性组合构建而成)()()(rkarkiki每一个bloch函数是原子轨道的线性组合 TTkikTrr)exp()()(T是以平移矢量T为特征的晶胞中的第个原子轨道，每一个原子轨道可以表示为（例如）高斯函数的线性组合；系数ik 通过求解下列矩阵方程得到。kkkkkEASAFFock矩阵系数矩阵交叠矩阵能量矩阵对第一布里渊区一系列k值进行求解。2222mEdxd一维无限深势阱中的自由粒子 mkEikxc2/);exp(22)/exp
4、(ipxc二维条件)/exp()/exp()/exp(rikcyikcxikcyyxxxyphk/2mkkEyx2/(222 8.3 近自由电子近似K具有长度倒数的量纲；上述情况下能量可以取任何值。$,cNmbNmaNmkaak可以看作是有倒易矢量定义的倒易空间的一点；。数学证明，满足Bloch条件的波函数具有以下的条件 GkGkriGcru)exp()()()(ruerkikrkm，m和m为整数；N=NNN为晶格中单胞数量 u(r)为与晶格具有相同周期性的函数周期系统G为倒易晶格矢量晶体波函数具有周期性调幅平面波的形式求和遍及所考虑的所有倒易格矢。当这种形式的势场带入薛定额方程 0222Gk
5、GGGkGcUcEGkm原子核产生的势场在晶格中具有周期性，也可以写为倒易格矢傅里叶展开的形式 GGriGUrU)exp()(UG为傅立叶系数 0222kGcEGkm对应于外加势场为0，mGkE2/22)(exp)(rGkir倒易格矢波矢对于固定的k值，系统中有多少倒易格矢，则有多少方程的形式；对应每一G的方程的解，记为一能带，标为n。系统中有多少倒易格矢，有多少n的取值。对应固定的n值，可以考察能量随k的变化。对于一维晶格，G可以取2/a,4/a;对于每一固定G值，能量随K值在第一布里渊区取值变化G=0:k=0,E=0；k=/a，maE2/)/(22G=2/a:k=0,maE2/)/2(22
6、K从0到/a，对G=2/a，E增加；对G=2/a E减小K从0到-/a，对G=2/a，E减小；对G=-2/a E增加扩展布里渊区二维 弱势场，它会对波函数和相应的能量水平进行调制，产生能带间隙 附录：布洛赫定理的严格表述：晶体结构特点：具有周期性，构成晶体的粒子在三维空间作周期性的排列 可以用实空间，也可以用倒易空间进行描述 单体近似情况下，晶体中的每一个电子受到的势场为周期性势场，并具有平移特性。)()(rVRrV根据哈密顿量的平移对称性，单电子波函数可用含有波矢k的指数因子 和周期性函数 的乘积表示)exp(rik)(ruk)()exp()(rurikrkk上式为布洛赫定理，其波函数为布洛赫波函数)()(ruRrukk 晶体波函数具有周期性调幅平面波的形式；在r 和r+R处波函数之差一相位因子，波函数模相同将固体抽象为具有平移周期性的理想晶体，将能带问题转化为单电子在周期性势场的运动。在实空间的周期性函数可以展开为关于倒格矢的傅立叶级数GkkriGGuruexp)()(这样的方法为平面波展开法。G为倒易格矢GkkrGkiGur)(exp)()(波函数的平面波展开法
