九年级数学下同步课件：第一章-直角三角形的边角关系-.pptx

1、知识点一知识点一 测量底部可以到达的物体的高度测量底部可以到达的物体的高度提示提示所谓“底部可以到达”就是在地面上可以无障碍地直接测得测 组成工具用法/步骤图例测倾器简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成(1)把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0刻度线重合,这时度盘的顶线PQ在水平位置;(2)转动度盘,使度盘的直径对准目标,记下此时铅垂线所指的度数,则该度数为所测目标的仰角或俯角的度数测量底部可以到达的物体的高度测倾器、皮尺(卷尺)(1)在测点D处安置测倾器,测得旗杆顶端的仰角ACE=;(2)量出测倾器的高CD=b和测点D到旗杆底部B的水平距离BD=a;(3)根据三角函数求出旗杆的

2、高度AB=atan+b点与被测物体的底部之间的距离.例例1九年级(1)班在完成测量操场旗杆高度的数学活动后,小聪填写了如下数学活动报告中的一部分,请你根据此表提供的示意图及相关数据,完成此表未完成的部分.课题测量操场旗杆高度示意图测得数据AB=1.6 m,BC=12 m,=30计算过程 参考数据=1.414,=1.732,=2.236结论(精确到0.1 m)CD=m235分析分析此题属于“测量底部可以到达的物体的高度”,且已知AB,BC及,因此只需作AECD于E,在RtADE中求出DE即可求得旗杆CD的高度.解析解析由题意得,四边形ABCE是矩形,AB=EC,AE=BC.在RtADE中,tan

3、=,DE=AEtan.又AE=BC=12 m,=30,DE=12tan 30=4(m),CD=CE+DE=1.6+48.5(m).即旗杆的高CD约为8.5 m.DEAE33点拨点拨测量底部可以到达的物体的高度,实质是利用直角三角形中的一个锐角和一条直角边的长,结合三角函数计算,进而得出结果.知识点二知识点二 测量底部不可以到达的物体的高度测量底部不可以到达的物体的高度提示提示(1)所谓“底部不可以到达”就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.(2)关系式MN=+a的推导:工具步骤图例测量底部不可以到达的物体的高度测倾器、皮尺(卷尺)如图,测量物体MN的高度:(1)在测点A处安置

4、测倾器,测得此时M的仰角MCE=.(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A、B与N在同一条直线上),测得此时M的仰角MDE=.(3)量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A、B之间的距离AB=b.(4)根据三角函数求出物体MN的高度,MN=+abtantantantantantantantanb在RtMCE中,tan=,CE=.在RtDME中,tan=,DE=.CE-DE=b,-=b,ME=.MN=ME+EN=+a.MECEtanMEMEDEtanMEtanME tanMEtantantantanbtantantantanb例例2下表是刘亮所填实习报告的部分内容:请根据刘亮测得的数据,填

5、表并计算国贸大厦的高AB(已知条件:测倾器的高CE=DF=1 m).题目在平地上测量国贸大厦的高AB示意图测得数据测量项目CD的长第一次3016443560.11 m第二次2944452559.89 m平均值 分析分析通过公共边AG建立两直角三角形之间的关系,设AB=x m,用含x的代数式分别表示AG,FG,EG的长,再由已知条件列出方程,通过解方程解决问题.解析解析(1)=30,=45,=60(m).故在题表中从左到右依次填30,45,60 m.(2)设楼高AB=x m,则AG=AB-BG=(x-1)m.在RtAFG中,=45,AGGF,故GF=AG=(x-1)m.在RtAEG中,=30,A

6、GEG,故EG=(x-1)(m).EF=EG-FG=(x-1)-(x-1)=(-1)(x-1)(m).又EF=CD=60 m,(-1)(x-1)=60,x=+182.96(m),即国贸大厦的高AB约为82.96 m.30 16 29 44244 35 45 25260.11 59.892tanAG1tan30 x33336031点拨点拨测量底部不可以到达的物体的高度时常会用到方程思想,且往往需要进行两次测量,然后利用线段之间的关系得到一元一次方程,进而求出物体的高度.题型一题型一 三角函数测高的应用三角函数测高的应用例例1 (2016甘肃天水中考)如图1-6-1所示,某人在山坡坡脚A处测得电视

7、塔尖点C的仰角为60,沿山坡向上走到P处测得点C的仰角为45,已知OA=100米,山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)为i=1 2,且O、A、B在同一条直线上,求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度.(测倾器高度忽略不计,结果保留根号形式)图1-6-1解析解析作PEOB于点E,PFCO于点F,如图1-6-2.在RtAOC中,AO=100米,CAO=60,图1-6-2CO=AOtan 60=100(米).设PE=x米,tanPAB=,3PEAE12AE=2x米.在RtPCF中,CPF=45,CF=(100-x)米,PF=OA+AE=(100+2x)米,PF=CF,100+2x=100-x

8、,x=.答:电视塔OC的高度为100米,点P的铅直高度为米.33100(31)33100(31)3点拨点拨解此题用到两个技巧:一是添加辅助线,构造直角三角形;二是当直角三角形不可直接求解时,将某个未知量设为未知数,并利用锐角三角函数表示出其他未知量,再借助图形中的等量关系或锐角三角函数列方程求解.题型二题型二 三角函数测距离的应用三角函数测距离的应用例例2综合实践课上,小明所在的小组要测量护城河的宽度.图1-6-3是护城河的一段,两岸ABCD,河岸AB上有一排大树,相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得=36,然后沿河岸走50米到达N点,测得=72.请你根据这些数

9、据帮小明他们算出河宽FR(结果保留两位有效数字).(参考数据:sin 360.59,cos 360.81,tan 360.73,sin 720.95,cos 720.31,tan 723.08)图1-6-3解析解析过点F作FGEM交CD于点G,如图1-6-4,则MG=EF=20米.图1-6-4FGN=36,GFN=-FGN=72-36=36.FGN=GFN,FN=GN=50-20=30(米).在RtFNR中,FR=FNsin=30sin 72300.9529(米).故河宽约为29米.点拨点拨解题关键是添加辅助线,构造直角三角形.此题巧妙利用36与72之间的关系得到等腰三角形,从而简化了计算.发

10、挥直观想象,构造直角三角形素养解读素养解读直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路.直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几何直观理解问题,运用空间想象认识事物.典例剖析典例剖析 例例 (2018四川宜宾中考)某游乐场一转角滑梯如图1-6-5所示

11、,滑梯立柱AB、CD均垂直于地面,点E在线段BD上,在C点测得点A的仰角为30,点E的俯角也为30,测得B、E间距离为10米,立柱AB高30米.求立柱CD的高.(结果保留根号)图1-6-5解析解析如图1-6-6,作CHAB于H,则四边形HBDC为矩形,BD=CH,由题意得,ACH=30,CED=30,设CD=x米,则AH=(30-x)米,在RtAHC中,HC=(30-x)米,则BD=CH=(30-x)米,ED=(30-x)-10米,tanAHACH333在RtCDE中,=tanCED,即=,解得x=15-.答:立柱CD的高为米.CDDE30 3310 xx3353351533图1-6-6素养呈

12、现素养呈现(1)了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,作CHAB于H,得到RtAHC和矩形BDCH.(2)由矩形BDCH得到BD=CH,设CD=x米,根据正切的定义用x表示出HC,根据题意用x表示出ED.(3)在CDE中,根据正切的定义列出方程,解方程即可.知识点一知识点一 测量底部可以到达的物体的高度测量底部可以到达的物体的高度1.(2016湖南益阳中考)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度,如图1-6-1,旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等,小明将PB拉到PB的位置,测得PBC=(BC为水平线),测角仪BD的

13、高度为1,则旗杆PA的高度为()A.B.11 sin11 sinC.D.11cos11cos图1-6-1答案答案 A依题意知,PB=PA,设PA=x,则PC=x-1,在RtPBC中,sin=,解得x=.PCPB1xx11 sin2.在一次数学活动中,李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度CD.如图1-6-2,已知李明距假山的水平距离BD为12 m,他的眼睛距地面的高度为1.6 m,李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C,此时,铅垂线OE经过量角器的60刻度线,则假山的高度为()图1-6-2A.(4+1.6)mB.(12+1.6)mC.

14、(4+1.6)mD.4 m3323答案答案 A如图所示,过点A作AFCD于点F,根据题意知5=AOE=60,1=2=3=4=90,则四边形ABDF是矩形,DF=AB=1.6 m,AF=BD=12 m.在RtACF中,tan5=tan 60=,CF=4(m),假山的高度CD=CF+DF=(4+1.6)m.故选A.AFCF33AF123333.如图1-6-3,甲、乙两楼之间的距离为40米,小华从甲楼顶观测乙楼楼顶的仰角=30,观测乙楼底部的俯角=45,则乙楼的高为 米.(不取近似值)图1-6-3答案答案 40 3403解析解析如图,作AECD于E,则CAE=30,DAE=45,AE=ED=40米,

15、在RtACE中,CE=AEtan 30=40=米,在RtADE中,DE=AEtan 45=401=40米,CD=CE+ED=米.3340 3340 34034.三楚第一山东方山是黄石地区的佛教圣地,也是国家AAA级游览景区.如图1-6-4,它的主峰海拔约为600 m,主峰AB上建有一座电信信号发射架BC,在山脚P处测得峰顶的仰角为,发射架顶端的仰角为,其中tan=,tan=,求发射架高BC.图1-6-43558解析解析在RtPAB中,tan=,PA=600=1 000(m).在RtPAC中,tan=,AC=PAtan=1 000=625(m).BC=625-600=25(m).即发射架高为25

16、 m.ABPAtanAB53ACPA58知识点二知识点二 测量底部不可以到达的物体的高度测量底部不可以到达的物体的高度5.如图1-6-5所示,从地面上C、D两处望山顶A,仰角分别为30、45,若C、D两地相距300 m,则山高AB为()图1-6-5A.150 mB.150 mC.150 mD.150(+1)m323答案答案 D在RtABD中,ADB=45,设AB为x m,则BD=x m,BC=(x+300)m,在RtABC中,tanACB=,所以=,解得x=150(+1).即山高AB为150(+1)m.ABBC300 xx33336.(2015广东珠海中考)如图1-6-6,某塔观光层的最外沿点

17、E为蹦极项目的起跳点,已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米,塔高AB为123米(AB垂直于地面BC),在地面C处测得点E的仰角=45,从点C沿CB方向前行40米到达D,在D处测得塔尖A的仰角=60,求点E离地面的高度EF.(结果精确到1米,参考数据:1.4,1.7)23图1-6-6解析解析在RtADB中,tan=,BD=41,DF=41-10,在RtECF中,tan=,CF=EF,又CF-DF=CD,EF-(41-10)=40,EF=41+30100.答:点E离地面的高度EF约为100米.ABBDtanAB123tan6033EFCFtanEFtan45EF331.如图1-6-7,某天小

18、明发现阳光下电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=8米,BC=20米,斜坡CD的坡度为1,且此时测得1米长竹竿的影长为 2米,则电线杆的高度为()图1-6-7A.(14+2)米 B.28米C.(7+)米 D.9米333答案答案 A如图,过D作DE垂直BC,与BC的延长线交于E,过D作DFAB于F,斜坡CD的坡度为1,DCE=30,DE=4,CE=4,BF=4,DF=20+4,1米长竹竿的影长为2米,=,则AF=10+2,AB=AF+BF=10+2+4=14+2,电线杆的高度为(14+2)米.故选A.333204 3AF1233332.(2015河南中考)如图1-6-8所示,

19、某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48.若坡角FAE=30,求大树的高度.(结果保留整数.参考数据:sin 480.74,cos 480.67,tan 481.11,1.73)3图1-6-8解析解析延长BD交AE于点G,过点D作DHAE于点H(图略).由题意知,DAE=BGA=30,DA=6米,GD=DA=6米.GH=AH=DAcos 30=6=3米,GA=6米.设BC=x米.在RtGBC中,GC=x米.在RtABC中,AC=.GC-AC=GA,x-=6.x13.即大树的高度约

20、为13米.3233tanBCBGCtan30 x3tanBCBACtan48x3tan48x33.某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中,设计了以下两种方案:请你选择其中的一种方案,求甲教学楼AB和乙教学楼CD的高度.(结果课题测量教学楼高度方案方案一方案二测量示意图测得数据BD=32 m,ACE=BCE=31BD=32 m,DAF=50,CAF=31参考数据tan 310.60,sin 310.52,cos 310.86tan 310.60,tan 501.20,sin 500.77精确到0.1 m)解析解析方案一:根据题意得,四边形BDCE是矩形,CE=BD=32 m,CD=BE

21、,在RtACE中,AE=ECtan 31320.60=19.20(m),在RtBCE中,BE=ECtan 31320.60=19.20(m),AB=AE+BE=38.4 m,CD=BE=19.2 m.答:甲教学楼AB的高度为38.4 m,乙教学楼CD的高度为19.2 m.方案二:根据题意得,四边形BDCE是矩形,CE=BD=32 m,CD=BE,在RtACE中,ACE=CAF=31,AE=ECtan 31320.60=19.20(m),在RtABD中,ADB=DAF=50,AB=BDtan 50321.20=38.40(m),CD=BE=AB-AE=19.2 m.答:甲教学楼AB的高度为38.

22、4 m,乙教学楼CD的高度为19.2 m.4.(2018河南唐河一模)如图1-6-9,建筑物AB的高为6 m,在其正东方向有个通信塔CD,在它们之间的点M(B,M,D三点在一条直线上)处测得建筑物顶端A、塔顶C的仰角分别为37和60,在A处测得塔顶C的仰角为30,求通信塔CD的高度.(sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75,1.73,精确到0.1 m)图1-6-93解析解析如图,过点A作AECD于E,则四边形ABDE是矩形,设CE=x m,在RtAEC中,AEC=90,CAE=30,AE=x m.在RtCDM中,CD=CE+DE=CE+AB=(x+6)m,DM=m.t

23、an30CE3tan60CD3(6)3x在RtABM中,BM=m,AE=BD,x=+,解得x=+3,CD=CE+ED=+915.9(m).答:通信塔CD的高度约为15.9 m.tan37AB6tan3736tan373(6)3x3 3tan373 3tan371.如图,在一次暑假旅游中,小亮在仙岛湖的游船上(A处)测得湖西岸的山峰太婆尖(C处)和湖东岸的山峰老君岭(D处)的仰角都是45,游船向东航行100米后(B处)测得太婆尖、老君岭的仰角分别为30、60,试问太婆尖、老君岭的高度各为多少米?(=1.732,结果精确到1米)3解析解析设太婆尖的高度为h1米,老君岭的高度为h2米,依题意,有h1

24、=50(+1)=50(1.732+1)=136.6137,h2=50(3+)=50(3+1.732)=236.6237.答:太婆尖的高度约为137米,老君岭的高度约为237米.1122100,tan30tan45100,tan45tan60hhhh100tan30tan45tan45tan303100tan45tan60tan60tan4532.图为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图,图为其示意图,吊臂AB与地面上一直线EH平行,测得A点到楼顶D的距离为5 m,每层楼高3.5 m,AE、BF、CH都垂直于地面.(1)求16层楼房DE的高度;(2)若EF=16 m,求塔吊CH的高度(结果精确到0.

25、1 m).解析解析(1)根据题意,得DE=3.516=56(m).16层楼房DE的高度为56 m.(2)设CG为x m.在RtACG中,tan 15=,AG=;在RtBCG中,tan 35=,BG=.AB=AG-BG=-,又AB=EF,-=16,解得x=6.94,CH=DE+AD+CG=56+5+6.9467.9(m).CGAGtan15CGCGBGtan35CGtan15CG tan35CGtan15x tan35x1611tan15tan35答:塔吊CH的高度约为67.9 m.3.(2017四川资阳雁江模拟)如图,某市少年宫数学课外活动初三小组的同学为测量一座铁塔AM的高度,他们在坡度是i

26、=1 2.5的斜坡DE的D处测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部A和楼顶B的仰角分别是60、45,斜坡高EF=2米,CE=13米,CH=2米.大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM.请你写出解答过程.(参考数据:1.41,1.73,结果保留整数)23解析解析斜坡的坡度是i=,EF=2,FD=2.5EF=2.52=5,CE=13,CE=GF,GD=GF+FD=CE+FD=13+5=18.在RtDBG中,GDB=45,BG=GD=18,在RtDAN中,NDA=60,ND=NG+GD=CH+GD=2+18=20,AN=NDtan 60=20=20,AM=AN-MN=AN-BG=20-1817.答:铁塔高

27、AM约为17米.EFFD12.5333解答题解答题1.(2018浙江衢州一模,20,)小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度,如图1-6-10,旗杆的顶端垂下一绳子,将绳子拉直钉在地上,末端恰好在C处且与地面成60角,小明拿起绳子末端,后退至E处,拉直绳子,此时绳子末端D距离地面1.6 m且绳子与水平方向成45角.图1-6-10(1)填空:AD AC(填“”“”或“=”);(2)求旗杆AB的高度.(参考数据:1.41,1.73,结果精确到0.1 m)23解析解析(1)=.(2)设绳子AC的长为x m,在ABC中,AB=ACsin 60=xsin 60(m),过D作DFAB于F,如图,ADF=4

28、5,ADF是等腰直角三角形,AF=DF=xsin 45(m),AB-AF=BF=1.6(m),即xsin 60-xsin 45=1.6,解得x10,AB=10sin 608.7(m).答:旗杆AB的高度约为8.7 m.2.(2018河南平顶山一模,19,)如图1-6-11,湛河两岸AB与EF平行,小亮同学假期在湛河边A点处测得对岸河边C处的视线与湛河岸的夹角CAB=37,沿河岸前行140米到点B处,测得对岸C处的视线与湛河岸夹角CBA=45,问湛河的宽度约为多少米?(参考数据:sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75)图1-6-11解析解析过点C作CDAB于点D,设CD

29、=x米,CBA=45,BD=CD=x米,AB=140米,AD=(140-x)米,tanCAB=,且CAB=37,CDAD=tan 37,解得x60,答:湛河的宽度约为60米.140 xx3.(2018江苏徐州一模,25,)如图1-6-12,为测量某建筑物BC及上面旗杆AB的高度,小明在距建筑物BC底部12 m的点F处,测得视线点E与旗杆AB的顶端A的仰角为52,测得视线E与旗杆AB的底端B是仰角为45,已知小明的身高EF为1.6 m.图1-6-12(1)求建筑物BC的高度;(2)求旗杆AB的高度.(参考数据:sin 52=0.79,cos 52=0.62,tan 52=1.28,结果精确到0.

30、1 m)解析解析(1)过点E作EDAC于点D,则四边形DCFE为矩形.ADE=90,CD=EF=1.6,ED=FC=12,在RtBED中,DE=12,BED=45,BD=EDtanBED=12tan 45=12.BC=BD+CD=12+1.6=13.6.答:建筑物BC的高度为13.6 m.(2)在RtAED中,DE=12,AED=52,AD=EDtanAED=12tan 52=15.36.AB=AD-BD=15.36-12=3.363.4.答:旗杆AB的高度约为3.4 m.1.(2017广东深圳龙岗一模,3,)如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角=75,若AC=6米,则树高BC为()A.6s

31、in 75米 B.米C.米 D.6tan 75米6cos756tan75答案答案 DBCAC,AC=7米,BAC=,=tan,BC=ACtan=6tan=6tan 75米.BCAC2.(2018辽宁抚顺一模,23,)如图,某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后,选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度,他们先在斜坡上的D处测得建筑物顶端B的仰角为30,且D离地面的高度DE=5 m.坡底EA=30 m,然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60,点E,A,C在同一水平线上,求建筑物BC的高.(结果用含有根号的式子表示)解析解析过点D作DHBC于点H,如图所示,则四边形DHCE是矩形,DH=EC

32、,DE=HC=5 m,设建筑物BC的高度为x m,则BH=(x-5)m,在RtDHB中,BDH=30,DH=(x-5)(m),AC=EC-EA=DH-EA=(x-5)-30(m),在RtACB中,BAC=60,tanBAC=,=,解得x=.答:建筑物BC的高为 m.tanBHBDH33BCAC3(5)30 xx 31530 321530 32解答题解答题1.(2018海南中考,22,)如图1-6-13,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高,先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角HDE为45,此时教学楼顶端G恰好在视线DH上,再向前走7米到达B处,又测得教学楼顶端G的仰角G

33、EF为60,点A、B、C三点在同一水平线上.(1)计算古树BH的高;(2)计算教学楼CG的高.(参考数据:1.4,1.7)23图1-6-13解析解析根据题意得,AD=BE=CF=1.5米,AB=DE=7米,HDE=45,GEF=60,HED=GFD=90,(1)在RtDHE中,HED=90,HDE=45,DE=7米,tanHDE=,即tan 45=,EH=7米,BH=EH+BE=7+1.5=8.5(米).答:古树高为8.5米.(2)设GF的长为x米,在RtDFG中,GFD=90,GDF=45,tanGDF=,即tan 45=,DF=x米,EF=(x-7)米.在RtEFG中,GFD=90,GEF

34、=60,GF=x米,EF=(x-7)米,tan 60=,解得x=16.5,EHED7EHGFDFxDF7xx217 32217 1.72 CG=CF+FG=1.5+16.5=18(米).答:教学楼高约为18米.2.(2018吉林中考,21,)数学活动小组的同学为测量旗杆高度,制定了如下测量方案,使用的工具是测角仪和皮尺,请帮助组长林平完成方案内容,用含a,b,的代数式表示旗杆AB的高度.数学活动方案活动时间:2018年4月2日 活动地点:学校操场 填表人:林平课题测量学校旗杆的高度活动目的运用所学数学知识及方法解决实际问题方案示意图测量步骤(1)用 测得ADE=;(2)用 测得BC=a米,CD

35、=b米计算过程 解析解析测量步骤:(1)测角仪.(2)皮尺.计算过程:由题意可知ADE=,DE=BC=a,BE=CD=b.在RtADE中,AED=90.tanADE=,AE=DEtanADE.AE=atan.AB=AE+BE=(b+atan)米.AEDE3.(2018湖南郴州中考,22,)小亮在某桥附近试飞无人机,如图1-6-14,为了测量无人机飞行的高度AD,小亮通过操控器指令无人机测得桥头B,C的俯角分别为EAB=60,EAC=30,且D,B,C在同一水平线上.已知桥BC=30米,求无人机飞行的高度AD.(精确到0.01米,参考数据:1.414,1.732)图1-6-1423解析解析设AD

36、=x米.因为EAB=60,EAC=30,所以DBA=60,DCA=30,在RtADB中,BD=x米,同理,在RtDAC中,CD=x米,因为BC=CD-BD=30米,所以x-x=30,解得x=1525.98米.答:无人机飞行的高度AD约为25.98米.tan60AD33333331.(2016山东聊城中考,12,)聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一,也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标.如图,点O是摩天轮的圆心,长为110米的AB是其垂直地面的直径.小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33,测得圆心O的仰角为21,则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为(tan

37、330.65,tan 210.38)()A.169米 B.204米 C.240米 D.407米答案答案 B如图,作CDAB交AB的延长线于D,则在RtACD与RtOCD中,CD=,即=,解得BD22.4米.CD=204米.故选B.tan21ODtan33AD55tan21BD110tan33BDtan21OD5522.40.382.(2017山东烟台中考,12,)如图,数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度,在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45,向前走20米到达A处,测得点D的仰角为67.5,已知测倾器AB的高度为1.6米,则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米,1

38、.414)()A.34.14米 B.31.4米 C.35.7米 D.35.74米2答案答案 C过B作BFCD于F,易知B,B,F在一条直线上,AB=AB=CF=1.6,在RtDFB中,BF=,在RtDFB中,BF=DF,tan67.5DFBB=AA=20,BF-BF=DF-=20,DF34.1,CD=DF+CF=35.7.即楼房CD的高度约为35.7米.故选C.tan67.5DF3.(2017浙江绍兴中考,20,)如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18,教学楼底部B的俯角为20,量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30 m.(1)求BCD的度数;(2

39、)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1 m,参考数据:tan 200.36,tan 180.32)解析解析(1)过点C作CEBD于点E,则DCE=18,BCE=20,BCD=DCE+BCE=18+20=38.(2)由已知得CE=AB=30 m,在RtCBE中,BE=CEtan 20300.36=10.80(m),在RtCDE中,DE=CEtan 18300.32=9.60(m),BD=BE+DE=10.80+9.60=20.4(m).答:教学楼的高为20.4 m.4.(2017四川眉山中考,22,)如图,为了测得一棵树的高度AB,小明在D处用高为1 m的测角仪CD测得树顶A的仰角为45,再向树

40、的方向前进10 m,又测得树顶A的仰角为60,求这棵树的高度AB.解析解析如图,设AE=x m,在RtACE中,CE=x m,在RtAFE中,FE=x m.又因为CF=CE-FE,CF=DG=10 m,所以x-x=10,解得x=15+5,所以AB=AE+EB=15+5+1=16+5 m.答:这棵树的高度AB为(16+5)m.tan45AEtan60AE333333335.(2017山东潍坊中考,20,)如图,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库,高2.5米;上面五层居住,每层高度相等.测角仪支架离地1.5米,在A处测得五楼顶部点D的仰角为60,在B处测得四楼顶部点E的仰

41、角为30,AB=14米.求居民楼的高度(精确到0.1米,参考数据:1.73).3解析解析设每层楼高为x米,由题意得MC=MC-CC=2.5-1.5=1米,则DC=(5x+1)米,EC=(4x+1)米.在RtDCA中,DAC=60,CA=(5x+1)米.在RtECB中,EBC=30,CB=(4x+1)米.AB=CB-CA=AB,(4x+1)-(5x+1)=14,解得x3.18,所以居民楼的高度约为53.18+2.5=18.4米.tan60DC33tan30EC33336.(2017四川内江中考,20,)如图,某人为了测量小山顶上的塔ED的高,他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45,再沿AC方向

42、前进60 m到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为60,塔底点E的仰角为30,求塔ED的高度.(结果保留根号)解析解析由题意知,DBC=60,EBC=30,DBE=DBC-EBC=60-30=30.又BCD=90,BDC=90-DBC=90-60=30.DBE=BDE.BE=DE.设EC=x m,则DE=BE=2EC=2x m,DC=EC+DE=x+2x=3x m,BC=x m.由题意可知,DAC=45,DCA=90,AB=20 m,ACD为等腰直角三角形,AC=DC.x+60=3x,解得x=30+10.答:塔ED的高为(30+10)m.22BEEC33331.(2014浙江绍兴中考)九(1)班同

43、学在上学期的社会实践活动中,对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量.(1)如图1-6-15,第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上,使得DB与CB的长度相等,如果测量得到CDB=38,求护墙与地面的倾斜角的度数;(2)如图1-6-15,第二小组用皮尺量得EF为16米(E为护墙上的端点),EF的中点离地面FB的高度为1.9米,请你求出E点离地面FB的高度;(3)如图1-6-15,第三小组利用第一、二小组的结果来测量护墙上旗杆的高度.在点P处测得旗杆顶端A的仰角为45,向前走4米到达Q点,测得顶端A的仰角为60,求旗杆AE的高度.(结果精确到0.1米)(备用数据:tan 60=1.732,tan 30=

44、0.577,=1.732,=1.414)32图1-6-15解析解析(1)DB=CB,CDB=BCD.CDB=38,=CDB+BCD=76.(2)过点E作EGFB的延长线,垂足为G,过EF的中点O作OHFB,垂足为H,如图1.OH=1.9米,EG=2OH=3.8米.E点离地面的高度为3.8米.图1(3)延长AE交直线PB于点G,如图2,设AG=x米.图2在RtQAG中,tanAQG=,QG=x;在RtPAG中,tanAPG=,PG=x.PQ+QG=PG,4+x=x,解得x9.46,AE=AG-EG=9.46-3.85.7(米).旗杆AE的高度约为5.7米.AGQG3x33AGPG332.阅读材料

45、:关于三角函数有如下的公式:sin()=sin cos cos sin;tan()=.利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.例:tan 15=tan(45-30)=2-.根据以上阅读材料,请选择适当的公式解决下列问题:(1)计算sin 15;tantan1tantantan45tan301tan45tan3031331 13(33)(33)(33)(33)126 363(2)乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一,如图1-6-16.如图1-6-16,李华站在距离塔底A为7 m的C处,测得塔顶的仰角为75,李华的眼睛离地面的距离DC为1.62 m,请帮助李华求出乌蒙

46、铁塔的高度.(结果精确到0.1 m.参考数据:1.732,1.414)32图1-6-16解析解析(1)sin 15=sin(45-30)=sin 45cos 30-cos 45sin 30=-=-=.(2)在RtBDE中,BED=90,BDE=75,DE=AC=7 m,BE=DEtanBDE=DEtan 75.tan 75=tan(45+30)=2+,BE=7(2+)=(14+7)m,AB=AE+BE=1.62+14+727.7 m.故乌蒙铁塔的高度约为27.7 m.223222126424624tan45tan301tan45tan3031331 13 3333关于三角函数有如下公式:sin

47、(+)=sin cos+cos sin,cos(+)=cos cos-sin sin,tan(+)=(1-tan tan 0),利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值,如tan 105=tan(45+60)=-(2+).根据上面的知识,你可以选择适当的公式解决下面的实际问题:tantan1tantantan45tan601tan45tan60131 13(13)(13)(13)(13)42 323如图,直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角为60,底端C点的俯角为75.此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42米,求建筑物CD的高.依题意,在RtADE中,ADE=60,AE=EDtan 60=BCtan 60=42米.在RtACB中,ACB=75,AB=BCtan 75.3解析解析过点D作DEAB于点E.tan 75=tan(45+30)=2+,AB=42(2+)=(84+42)米,CD=BE=AB-AE=84+42-42=84(米).答:建筑物CD的高为84米.tan45tan301tan45tan3031331333333