北师大版八年级数学下册课件-421提公因式法(共54张).ppt

1、1.整式乘法有几种形式整式乘法有几种形式?(1)单项式乘以单项式单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式单项式乘以多项式:a(m+n)=am+an (3)多项式乘以多项式多项式乘以多项式:(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2.乘法公式有哪些乘法公式有哪些?(1)平方差公式平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 (2)完全平方公式完全平方公式:(ab)2=a22ab+b2练习一 理解概念判断下列各式哪些是整式乘法判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解哪些是因式分解?(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)(2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2

2、=25a2-10a+1 (4).x2+4x+4=(x+2)2 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 (6).m2-4=(m+4)(m-4)(7).2 R+2 r=2(R+r)因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解因式分解因式分解辨别下列运算是不是因式分解辨别下列运算是不是因式分解.).2)(2(4.4.2)3(23.3).2(336.2.84)2(4.1222232aaaxxxxxaxaxaxbaabaa()()()()不是不是不是不是是是是是.规律总结 分解因式与整式乘法是互逆过程分解因式与整式乘法是互逆过程.分解因式要注意以下几点

3、分解因式要注意以下几点:1.分解的对象必须是多项式分解的对象必须是多项式.2.分接的结果一定是几个整式的分接的结果一定是几个整式的乘积的形式乘积的形式.3.要分解到不能分解为止要分解到不能分解为止.多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。mcmbma相同因式m这个多项式有什么特点？应提取的公因式为应提取的公因式为:_:_议一议：多项式有公因式吗？是什么？2336ax yx yz 233ax ya x x y 362 3x yzx x x y z 23x y公因式的确定方法：公因式的确定方法：应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数与应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数与各项各

4、项都含有的相同字母的最低次数幂的积。都含有的相同字母的最低次数幂的积。例:找 3 x 2 6 xy 的公因式。系数：最大公约数。3字母：相同的字母x 所以，公因式是3x。指数：相同字母的最低次幂1练一练：多项式多项式公因式公因式232515ab cb c 3223410a ba b c 2ab 2()ab25b c 25()b c222a b 222()a b因式分解结果224a babc 应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数与应提取的公因式的是：各项系数的最大公约数与各项各项都含有的相同字母的最低次数幂的积。都含有的相同字母的最低次数幂的积。2ac 3abc 25abc 正确找出多项式各

5、项公因式的关键是：1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。2、定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。3、定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂 你知道吗？找一找:下列各多项式的公因式是什么？（3）（a）（a2）（2(m+n)）（3mn）（-2xy）(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)a 2-a 3(4)4(m+n)2+2(m+n)(5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。(a+b+c )ma+mb

6、+mcm=(1)8a3b2+12ab3c例1:把下列各式分解因式分析：提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积。(2)2a(b+c)-3(b+c)注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。把12x2y+18xy2分解因式解：原式=3xy(4x+6y)错误公因式没有提尽，还可以提出公因式2注意：公因式要提尽。诊断正确解：原式=6xy(2x+3y)当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。错误注意：某项提出莫漏1。解：原式=x(3x-6y)把3x2-6xy+x分解因式正

7、确解：原式=3x.x-6y.x+1.x =x(3x-6y+1)提出负号时括号里的项没变号错误诊断把-x2+xy-xz分解因式解：原式=-x(x+y-z)注意：首项有负常提负。正确解：原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z)看你能否过关？把下列各式分解因式：(1)8 m2n+2mn(2)12xyz-9x2y2(3)p(a2+b2)-q(a2+b2)(4)-x3y3-x2y2-xy 例2 把 12b(a-b)2 18(b-a)2 分解因式解：12b(a-b)2 18(b-a)3 =12b(a-b)2+18(a-b)3 =6(a-b)2 2b+3(a-b)=6(a-b)2(2b+3a-3b)

8、=6(a-b)2(3a-b)练习：(x-y)2+y(y-x)2、确定公因式的方法：小结3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：1、什么叫因式分解？(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.4、提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽；（2）小心漏掉1;（3）提出负号时,要注意变号.记住哟！1、计算（-2）101+（-2）1002、已知,求代数式 的值。42 yx3xy222xyyx例1：确定下列多项式的公因式，并分解因式()32126 xx()332315 pqp q()4369ababxaby()23482 xaxx提取公因式法的一般步骤提取公因

9、式法的一般步骤：（1 1）确定应提取的公因式）确定应提取的公因式（2 2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式（3 3）把多项式写成这两个因式的积的形式）把多项式写成这两个因式的积的形式练一练：分解因式32(1)32()aaaa 32(2)1022()6pppp 2321aa2351pp练一练：分解因式2(1)39 xxy 2(2)36 mxnx 2(3)2102 ab4a bab例2：分解因式22()abab括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“”号，括到括号里的是各项都变号。添括号则：下面的分解因式对吗？如果不对，应怎样改正

10、？()()()()()()()()xxxxxxa ca ca cacssss ssa babaab aba 232232322221 23232 3632324624644682238()xxx 2231()aac 2312()s ss2232()baab 22342将下列各多项式因式分解将下列各多项式因式分解:.51520.3.3.2.12222xyxyyxxyyxaayax.提取公因数后提取公因数后,括号内的多项式的项数与括号内的多项式的项数与原多项式的项数相同原多项式的项数相同.利用整式的乘法来检验因式分解是否正确利用整式的乘法来检验因式分解是否正确.、下列各式均用提取公因式法因式分解、

11、下列各式均用提取公因式法因式分解,其中其中正确的是正确的是()A.6(x2)x(2x)=(x2)(6x)B.x33x2x=x(x23x)C.a(ab)2ab(ab)=a(ab)D.3xn16xn=3xn(x2)D灵活运用灵活运用：2、m2(a2)m(2a)分解因式等于（）分解因式等于（）A.(a2)(m2m)B.m(a2)(m1)C.m(a2)(m1)D.以上答案都不对以上答案都不对C3、下列各式正确的是（）、下列各式正确的是（）A.(xy)2n=(yx)2n(n为正整数为正整数)B.整式整式x210可分解为可分解为(x3)(x3)1C.整式整式xy(yx)2可分解为可分解为(xy)(1yx)

12、D.a(x2)b(2x)=(x2)(ab)D4、(ab)3(ba)2=(ab)2_.(ab1)5、分解因式分解因式18m2n(ab)2 9mn2(ba)=_.9mn(ab)(2ma2mbn)6、分解因式：、分解因式：4xmynb6xm1yn22xm2yn1a(xyz)b(zxy)c(xzy)(5x2y)2(2x5y)2解：原式解：原式2xmyn(2b3xy2x2y)解：原式解：原式(xyz)(abc)解：原式解：原式25x220 xy4y24x220 xy25y2 29x229y2 29(x2y2)拓展运用拓展运用：1.已知已知1xx2x3=0.求求xx2x3x4x2000的值的值.解：原式解

13、：原式x(1xx2x3)x5(1xx2x3)x1997(1xx2x3)03.试说明试说明:817279913能被能被45整除整除.解：解：原式原式(34)7(33)9(32)13 =328327326 =326(3231)=3265 =32545817279913能被能被45整除整除.知识收藏知识收藏：.确定公因式的方法确定公因式的方法:公因式的系数应取各项系数的最大公因数公因式的系数应取各项系数的最大公因数.公因式应取相同因式的最低次幂公因式应取相同因式的最低次幂.提取公因数后提取公因数后,括号内的多项式的项数与原括号内的多项式的项数与原多项式的项数相同多项式的项数相同.利用整式的乘法来检验

14、因式分解是否正确利用整式的乘法来检验因式分解是否正确.1、多项式的第一项系数为负数时，_ _ _复习：提公因式法2、公因式的系数是_;_;3、字母取多项式各项中都含有的_;_;4、相同字母的指数取各项中最小的一个,即_._.多项式各项系数的最大公因数多项式各项系数的最大公因数相同的字母相同的字母最低次幂最低次幂先提取先提取“-”“-”号，注意多项式的各项变号；号，注意多项式的各项变号；1、下列等式变形中是因式分解的是（）A.18a3b=3a26ab B.a2+3a-1=a(a+3)-1 C.a(a+1)=a2+a D.x2-4y2=(x-2y)(x+2y)2、多项式6a2b2-8a3bc3的公

15、因式是 。3、将下列各式进行因式分解.（2）8ab2-16a2b3（3）-25ab-15a2c（4）-a3b2-2a2b2+ab（1）am-bm课前小测D2a2bm(a-b)8ab2(1-2ab)=-5a(5b+3ac)=-ab(a2b+2ab-1)=-(25ab+15a2c)=-(a3b2+2a2b2-ab)提问：课前小测中的 am-bm，若将式子中的m改成 x-3，又如何分解呢？a m -b m (x-3)(x-3)=(a-b)m(x-3)规律：似a(c+d)+b(c+d)的形式的分解因式，实际上与我们学过的am+bm形式类似，只需将式子中的(c+d)看成以前的m即可。a(x-3)+b(x

16、-3)=(x-3)(a+b)你能根据上面的方法，分解下面多项式吗？你能根据上面的方法，分解下面多项式吗？将a换成a+2呢？(a+2)(x-3)+b(x-3).=(x-3)(a+2+b)将将a换成换成a+1;b换成换成a-5呢？呢？(a+1)(x-3)+(a-5)(x-3).=(x-3)(a+1+a-5)=(x-3)(2a-4)式子：式子：3(2a+1)2-9(2a+1)如何分解？如何分解？=3(2a+1)(2a+1-3)分解因式：a(x-3)+b(x-3)=2(x-3)(a-2)=3(2a+1)(2a-2)=6(2a+1)(a-1)（1）a(2x+3)+2b(2x+3)=(2x+3)(a+2b

17、)（2）4x(a+b)-2y(a+b)=2(a+b)(2x-y)（3）(3a+2)(x-y)-(6a-1)(x-y)=(x-y)(3a+2)-(6a-1)=(x-y)(3a+2-6a+1)=(x-y)(-3a+3)=-3(x-y)(a-1)公因式公因式 是是多项式多项式形式，怎样形式，怎样运用提公运用提公因式法分解因式？因式法分解因式？想一想类似a(c+d)+b(c+d)的形式的分解因式，实际上与我们学过的am+bm形式类似，只需将式子中的(c+d)看成以前的m即可。在下列各式等号右边的括号前填入在下列各式等号右边的括号前填入“+”或或“”号，使等式成立：号，使等式成立：(1)(a-b)=_(

18、b-a);(2)(a-b)2=_(b-a)2;(3)(a-b)3=_(b-a)3;(4)(a-b)4=_(b-a)4;(5)(a+b)5=_(b+a)5;(6)(a+b)6=_(b+a)6.+(7)(a+b)=_(-b-a);-(8)(a+b)2=_(-a-b)2.+由此可知规律：由此可知规律：(1)a-b(1)a-b 与与 -a+b-a+b 互为相反数互为相反数.(a-b)n=(b-a)n (n是偶数是偶数）(a-b)n=-(b-a)n (n是奇数是奇数）(2)a+b(2)a+b与与b+a b+a 互为相同数互为相同数,(a+b)n=(b+a)n (n是整数是整数）a+b a+b 与与 -a

19、-b -a-b 互为相反数互为相反数.(-a-b)n=(a+b)n (n是偶数是偶数）(-a-b)n=-(a+b)n (n是奇数是奇数）练习一练习一1.在下列各式右边括号前添上适当的符号,使左边与右边相等.(1)a+2=_(2+a)(2)-x+2y=_(2y-x)(3)(m-a)2=_(a-m)2 (4)(a-b)3=_(-a+b)3(5)(x+y)(x-2y)=_(y+x)(2y-x)+-2.2.判断下列各式是否正确判断下列各式是否正确?(1)(y-x)2=-(x-y)2(2)(3+2x)3=-(2x+3)3(3)a-2b=-(-2b+a)(4)-a+b=-(a+b)(5)(a-b)(x-2

20、y)=(b-a)(2y-x)否否否否否否否否对对例例1.1.把把 a(x-3)+2b(x-3)a(x-3)+2b(x-3)分解因式分解因式.解：解：a(x-3)+2b(x-3)a(x-3)+2b(x-3)=（x-3x-3）(a+2b)(a+2b)分析：多项式可看成分析：多项式可看成a(x-3)a(x-3)与与 2b(x-3)2b(x-3)两项。公因式为两项。公因式为x-3x-3例题解析例题解析例例2.2.把把a(x-y)+b(y-x)a(x-y)+b(y-x)分解因式分解因式.解：解：a(x-y)+b(y-x)a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)=a(x-y)-b(b(x-yx-y)=(x

21、-y)(a-b)=(x-y)(a-b)分析：多项式可看成a(x-y)与+b(y-x)两项。其中X-y与y-x互为相反数，可将+b(y-x)变为-b(x-y)，则a(x-y)与-b(x-y)公因式为 x-y例例3.3.把把6(m-n)6(m-n)3 3-12(n-m)-12(n-m)2 2分解因式分解因式.解：解：6(m-n)6(m-n)3 3-12(n-m)-12(n-m)2 2 6(m-n)6(m-n)3 3-12(-12(m-nm-n)2 2 6(m-n)6(m-n)2 2(m-n-2)(m-n-2)分析：其中(m-n)与(n-m)互为相反数.可将-12(n-m)2变为-12(m-n)2，

22、则6(m-n)3与-12(m-n)2 公因式为6(m-n)2例4.把6(x+y)(y-x)2-9(x-y)3分解因式.解：解：6(x+y)(y-x)2-9(x-y)3 =6(x+y)(x-y)2-9(x-y)3 =3(x-y)22(x+y)-3(x-y)=3(x-y)2(2x+2y-3x+3y)=3(x-y)2(-x+5y)=3(x-y)2(5y-x)=-3(x-y)2(x-5y)-(2)5x(a-b)2+10y(b-a)2)3(23)(6)(12mnnm )1()xyb )yx a 分解因式：分解因式：(4)a(a+b)(a-b)-a(a+b)2练习二练习二=a(x-y)+b(x-y)=(x

23、-y)(a+b)=5x(a+b)2+10y(a-b)2=12(m-n)3-6(m-n)2=a(a+b)(a-b)-(a+b)=6(m-n)22(m-n)-1=6(m-n)2(2m-2n-1)=-2ab(a+b)=5(a+b)2(x+2y)分解因式：分解因式：(5)mn(m+n)-m(n+m)2(6)2(a-3)2-a+3(7)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)练习二练习二)8(32)(6)(2abba =mn(m+n)-m(m+n)2=2(a-3)2-(a-3)=a(x-a)-b(x-a)-c(x-a)=2(a-b)2(1+3a-3b)=-m(m+n)n-(m+n)=2(a-3)2(a-3)-1=(a-3)(2a-7)=(x-a)(a-b-c)=2(a-b)2+6(a-b)3=2(a-b)21-3(a-b)=-m2(m+n)课堂小结 两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:(1)当相同字母前的符号相同时,则两个多项式相等.如:a-b 和-b+a 即-b+a=a-b(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.如:a-b 和 b-a 即 a-b=-（a-b）教学反思 数学学习方法的应用，本节课用到转化、猜想、归纳的数学方法，以后在教学中提醒学生数学方法的应用。教学反思培养学生的能力和创新精神必须建立在以知识为载体的基础上。