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1、微 积 分（第五（第五版）版）引 论 微积分思路预备知识 初等数学小结第一章第一章 函数与极限函数与极限第二章第二章 导数与微分导数与微分第三章第三章 导数的应用导数的应用第四章第四章 不定积分不定积分第五章第五章 定积分定积分附 录 二元微分学习题答案目录第一章 函数与极限1.1 函数的类别与基本性质基本初等函数共有六大类：1.常量函数y=c(c为常数)2.幂函数y=x(为常数)3.指数函数y=ax(a0,a1)4.对数函数y=logax(a0,a1)5.三角函数6.反三角函数第一章 函数与极限1.1 函数的类别与基本性质定义定义1.11.1若函数是由基本初等函数经过有限次若函数是由基本初等

2、函数经过有限次的四则运算与有限次的复合运算构成的四则运算与有限次的复合运算构成的的，且且用用一个数学表达式一个数学表达式表示表示，则则称这样的函数为称这样的函数为初等初等函数函数。定义定义1.21.2已知函数定义域被分成有限个已知函数定义域被分成有限个区间区间，若若在各个区间上表示对应规则的数学表达式在各个区间上表示对应规则的数学表达式一一样样，但但单独定义各个区间公共端点处的函数单独定义各个区间公共端点处的函数值值；或者或者在各个区间上表示对应规则的数学表达式在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样不完全一样,则称这样的函数为分段则称这样的函数为分段函数函数。第一章 函数与极限1.1

3、函数的类别与基本性质1.奇偶性定义定义1.31.3已知函数已知函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为D D，对于对于任任意点意点xxD D，若若恒有恒有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x)，则则称函数称函数f(x)f(x)为为奇函数奇函数；若若恒有恒有f(-x)=f(xf(-x)=f(x)，则则称函数称函数f(x)f(x)为为偶函数偶函数。第一章 函数与极限1.1 函数的类别与基本性质2.有界性定义定义1.41.4已知函数已知函数f(x)f(x)在区间在区间I(I(可以是开区间可以是开区间,也可以是闭区间或半开区间也可以是闭区间或半开区间)上有定义上有定义,若存在若存在一个常数一个常数

4、M0,M0,使得对于所有点使得对于所有点xI,xI,恒有恒有|f(x)|M,|f(x)|M,则称函数则称函数f(x)f(x)在区间在区间I I上有界上有界;否则否则称函数称函数f(x)f(x)在区间在区间I I上无界上无界.第一章 函数与极限1.1 函数的类别与基本性质3.单调性定义定义1.51.5已知函数已知函数f(x)f(x)在开区间在开区间J J内有定义内有定义,对对于开区间于开区间J J内的任意两点内的任意两点x x1 1,x,x2 2,当当x x2 2xx1 1时时,若恒若恒有有f(xf(x2 2)f(x)f(x1 1),),则称函数则称函数f(x)f(x)在开区间在开区间J J内单

5、调内单调增加增加,开区间开区间J J为函数为函数f(x)f(x)的单调增加区间的单调增加区间;若恒若恒有有f(xf(x2 2)f(x)f(x),)f(x),则称函数值则称函数值f(xf(x0 0)为函数为函数f(x)f(x)的的极大值极大值,点点x x0 0为函数为函数f(x)f(x)的极大值点的极大值点;若恒有若恒有f(xf(x0 0)f(x),)f(x),则称函数值则称函数值f(xf(x0 0)为函数为函数f(x)f(x)的极的极小值小值,点点x x0 0为函数为函数f(x)f(x)的极小值点的极小值点.第一章 函数与极限1.1 函数的类别与基本性质5.最值定义定义1.71.7已知函数已知

6、函数f(x)f(x)在区间在区间I(I(可以是开区间可以是开区间,也可以是闭区间或半开区间也可以是闭区间或半开区间)上有定义上有定义,且点且点x x0 0I.I.对于任意点对于任意点xI,xI,若恒有若恒有f(xf(x0 0)f(x),)f(x),则则称函数值称函数值f(xf(x0 0)为函数为函数f(x)f(x)在区间在区间I I上的最大值上的最大值,点点x x0 0为函数为函数f(x)f(x)在区间在区间I I上的最大值点上的最大值点;若恒有若恒有f(xf(x0 0)f(x),)f(x),则称函数值则称函数值f(xf(x0 0)为函数为函数f(x)f(x)在区在区间间I I上的最小值上的最

7、小值,点点x x0 0为函数为函数f(x)f(x)在区间在区间I I上的最上的最小值点小值点.第一章 函数与极限1.2 几何与经济方面函数关系式1.几何方面函数关系式(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即S=xu特别地,正方形面积S等于边长x的平方,即S=x2(2)长方体体积V等于底面积(矩形面积)S与高h的积,即V=Sh(3)圆柱体体积V等于底面积(圆面积)r2(r为底半径)与高h的积,即V=r2h侧面积(相当于矩形面积)S等于底周长2r与高h的积,即S=2rh第一章 函数与极限1.2 几何与经济方面函数关系式1.几何方面函数关系式例1欲围一块面积为216 m2的矩形场地,矩形场地东西方向长

8、xm、南北方向宽um,沿矩形场地四周建造高度相同的围墙,并在正中间南北方向建造同样高度的一堵墙,把矩形场地隔成两块,试将墙的总长度Lm表示为矩形场地长xm的函数.解:已设矩形场地长为xm、宽为um,如图11.第一章 函数与极限1.2 几何与经济方面函数关系式1.几何方面函数关系式第一章 函数与极限1.2 几何与经济方面函数关系式1.几何方面函数关系式例3欲做一个容积为V0的圆柱形封闭罐头盒,试将圆柱形封闭罐头盒表面积S表示为底半径r的函数.解:已设圆柱形封闭罐头盒底半径为r,再设高为h,如图13.第一章 函数与极限1.2 几何与经济方面函数关系式2.经济方面函数关系式(1)在生产过程中,产品的

9、总成本C为产量x的单调增加函数,记作C=C(x)C=C(x)=C0+C1(x)(3)产品全部销售后总收益R等于产量x与销售价格p的积.R=R(x)=xp(x)(4)产品全部销售后获得的总利润L等于总收益R减去总成本C,即L=L(x)=R(x)-C(x)(5)需求量Q为销售价格p的函数,这个函数称为需求函数,记作Q=Q(p)第一章 函数与极限1.2 几何与经济方面函数关系式2.经济方面函数关系式第一章 函数与极限1.3 极限的概念与基本运算法则第一章 函数与极限1.3 极限的概念与基本运算法则第一章 函数与极限1.3 极限的概念与基本运算法则第一章 函数与极限1.3 极限的概念与基本运算法则推论

10、1如果有限个变量u1,u2,um的极限都存在,则极限lim(u1+u2+um)=limu1+limu2+limum推论2如果有限个变量u1,u2,um的极限都存在,则极限limu1u2um=limu1limu2limum推论3如果极限limv存在,k为常数,则极限limkv=klimv 若分段函数在分界点左右的数学表达式一样,则直接计算其极限;若分段函数在分界点左右的数学表达式不一样,则应分别计算其左极限与右极限,只有左极限与右极限都存在且相等,极限才存在.第一章 函数与极限1.4 无穷大量与无穷小量定义1.11若变量y的绝对值在变化过程中无限增大,则称变量y为无穷大量,记作limy=或y性质

11、1正无穷大量与正无穷大量的和仍为正无穷大量,负无穷大量与负无穷大量的和仍为负无穷大量;性质2无穷大量与无穷大量的积仍为无穷大量.定义1.12若极限limy=0,则称变量y为无穷小量.性质1无穷小量与无穷小量的和、差、积仍为无穷小量;性质2无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量.第一章 函数与极限1.4 无穷大量与无穷小量定理1.4变量y的极限为A等价于变量y-A为无穷小量.第一章 函数与极限1.5 未定式极限第一章 函数与极限1.5 未定式极限第一章 函数与极限1.5 未定式极限第一章 函数与极限1.5 未定式极限第一章 函数与极限1.6 两个重要极限第一章 函数与极限1.6 两个重要极限第一章

12、函数与极限1.6 两个重要极限第一章 函数与极限1.6 两个重要极限第一章 函数与极限1.6 两个重要极限第一章 函数与极限1.7 函数的连续性性质1如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则函数f(x)在闭区间a,b上有界,存在最大值与最小值;性质2如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,且函数值f(a)与f(b)异号,则在开区间(a,b)内至少存在一点,使得f()=0(a0,a1)y=axlna特别地,若a=e,则得到指数函数y=ex的导数y=ex例5(2x)=2xln2第二章 导数与微分2.3 导数的基本公式例6求函数y=xe-ex+ee的导数.解:注意到函数y的表达式中第3项ee为常数项,

13、其导数等于零,所以导数y=exe-1-ex+0=exe-1-ex例7求函数y=x2ex的导数.解:y=(x2)ex+x2(ex)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex第二章 导数与微分2.3 导数的基本公式(2)y=cosxy=-sinx(3)y=tanxy=sec2x(4)y=cotxy=-csc2x第二章 导数与微分2.3 导数的基本公式例13求函数y=exsinx的导数.解:y=(ex)sinx+ex(sinx)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)例15求函数y=tanx+cotx的导数.解:y=sec2x-csc2x第二章 导数与微分2.3 导数的基本公式第二章

14、导数与微分2.4 复合函数导数运算法则复合函数导数运算法则如果函数u=u(x)在点x处可导,函数y=f(u)在对应点u处可导,则复合函数y=f(u(x)在点x处可导,且导数y=f(u(x)u(x)在求复合函数y的导数时,首先如1.1那样引进中间变量u,将复合函数y分解为基本初等函数y=f(u)与函数u=u(x),然后根据复合函数导数运算法则计算导数y,其步骤如下:步骤1计算导数f(u)的表达式,并表示为自变量x的函数,得到f(u(x).在这个过程中,并不急于计算导数u(x)的表达式,仅在导数y的表达式中将因式u(x)乘在因式f(u(x)的后面;步骤2计算导数u(x)的表达式:若函数u(x)为基

15、本初等函数或简单函数,则立即求出导数u(x)的表达式,因而得到导数y的表达式;若函数u(x)仍为复合函数,则继续分解复合函数u=u(x),并重复上述步骤,直至最终得到导数y的表达式.第二章 导数与微分2.4 复合函数导数运算法则例1求函数y=(3x+2)10的导数.解:将复合函数y=(3x+2)10分解为y=u10与u=3x+2根据复合函数导数运算法则,得到复合函数y对自变量x的导数y=(u10)u(3x+2)=10u9(3x+2)=10(3x+2)9(3x+2)=30(3x+2)9y=10(3x+2)9(3x+2)=30(3x+2)9第二章 导数与微分2.4 复合函数导数运算法则第二章 导数

16、与微分2.4 复合函数导数运算法则第二章 导数与微分2.4 复合函数导数运算法则第二章 导数与微分2.5 隐函数的导数第二章 导数与微分2.5 隐函数的导数第二章 导数与微分2.5 隐函数的导数第二章 导数与微分2.6 高阶导数第二章 导数与微分2.6 高阶导数第二章 导数与微分2.6 高阶导数函数在属于定义域的点x0处的二阶导数值为二阶导数的表达式中自变量x用数x0代入所得到的数值.第二章 导数与微分2.6 高阶导数第二章 导数与微分2.7 微分第二章 导数与微分2.7 微分第二章 导数与微分2.7 微分第二章 导数与微分2.7 微分定理2.5如果函数y=f(u)可微,函数u=u(x)也可微

17、,则函数y的微分表达式同样具有下面的形式dy=f(u)du这个结论称为微分形式不变性,它是不定积分换元积分法则的理论基础.第二章 导数与微分2.7 微分定理2.5如果函数y=f(u)可微,函数u=u(x)也可微,则函数y的微分表达式同样具有下面的形式dy=f(u)du这个结论称为微分形式不变性,它是不定积分换元积分法则的理论基础.第三章 导数的应用3.1 洛必达法则第三章 导数的应用3.1 洛必达法则第三章 导数的应用3.1 洛必达法则第三章 导数的应用3.2 函数曲线的切线求函数曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)处切线方程的步骤如下:步骤1计算一阶导数f(x),再在一阶导数f(x)的表达

18、式中,自变量x用切点横坐标x0代入,得到函数f(x)在切点横坐标x0处的一阶导数值f(x0);步骤2若一阶导数值f(x0)为有限值,则所求切线斜率为f(x0),所求切线方程的点斜式为y-y0=f(x0)(x-x0)当一阶导数值f(x0)=0时,所求切线方程为y=y0;若一阶导数值f(x0)=,则所求切线方程为x=x0.第三章 导数的应用3.2 函数曲线的切线例2求函数曲线y=e2x+x2上点(0,1)处的切线方程.解:计算一阶导数y=e2x(2x)+2x=2e2x+2x于是所求切线斜率为y|x=0=2所以所求切线方程为y-1=2(x-0)即有2x-y+1=0第三章 导数的应用3.2 函数曲线的

19、切线第三章 导数的应用3.3 函数的单调区间与极值定理3.1已知函数f(x)在开区间J内可导,那么:(1)如果在开区间J内一阶导数f(x)恒为正,则开区间J为可导函数f(x)的单调增加区间;(2)如果在开区间J内一阶导数f(x)恒为负,则开区间J为可导函数f(x)的单调减少区间.推论如果在开区间J内一阶导数f(x)恒非负(或恒非正),且使得一阶导数f(x)=0的点x只是一些孤立的点,则开区间J为可导函数f(x)的单调增加区间(或单调减少区间).定义3.1若可导函数f(x)在点x0处的一阶导数值f(x0)=0,则称点x0为可导函数f(x)的驻点.对于可导函数,极值点一定为驻点,但驻点不一定为极值

20、点,驻点是否为极值点与一阶导数在其左右变号不变号有着紧密的联系.第三章 导数的应用3.3 函数的单调区间与极值定理3.2已知点x0为可导函数f(x)的驻点,当点x从驻点x0的左方变化到右方时,那么:(1)如果一阶导数f(x)变号,且从正号(或负号)变化到负号(或正号),则驻点x0为可导函数f(x)的极大值点(或极小值点);(2)如果一阶导数f(x)不变号,则驻点x0不为可导函数f(x)的极值点.求可导函数f(x)的单调区间与极值的步骤如下:步骤1确定可导函数f(x)的定义域D;步骤2计算一阶导数f(x);步骤3在定义域D内,若一阶导数f(x)恒非负(或恒非正),则可导函数f(x)的单调增加区间

21、(或单调减少区间)为定义域D,这时当然无极值.否则令一阶导数f(x)=0,求出可导函数f(x)的全部驻点,并转入步骤4;步骤4可导函数f(x)的全部驻点将定义域D分成几个开区间,列表判断在这几个开区间内一阶导数f(x)的正负号,于是确定可导函数f(x)的单调区间、极值点,计算极值点处的函数值即为极值.单调增加用记号 表示,单调减少用记号 表示.第三章 导数的应用3.3 函数的单调区间与极值第三章 导数的应用3.3 函数的单调区间与极值列表如表32:x(0,e)e(e,+)f(x)+0-f(x)第三章 导数的应用3.3 函数的单调区间与极值例5求函数f(x)=x2e-x的单调区间与极值.解:函数

22、定义域D=(-,+),计算一阶导数f(x)=2xe-x+x2e-x(-x)=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x令一阶导数f(x)=0,注意到指数函数e-x恒大于零,得到驻点x=0与x=2.列表如表33:所以函数f(x)=x2e-x的单调减少区间为(-,0),(2,+),单调增加区间为(0,2);极小值为f(0)=0,极大值为f(2)=4e-2.第三章 导数的应用3.3 函数的单调区间与极值第三章 导数的应用3.4 函数的最值定理3.3已知点x0为可导函数f(x)的驻点,且二阶导数f(x)在驻点x0处及其左右连续,那么:(1)如果二阶导数值f(x0)0,则驻点x0为可导函数f(x)的极

23、小值点.例1求函数f(x)=x2e-x的极值.解:函数定义域D=(-,+),计算一阶导数f(x)=2xe-x+x2e-x(-x)=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x令一阶导数f(x)=0,注意到指数函数e-x恒大于零,得到驻点x=0与x=2.再计算二阶导数f(x)=(2-2x)e-x+(2x-x2)e-x(-x)=(2-2x)e-x-(2x-x2)e-x=(2-4x+x2)e-x得到在驻点x=0处的二阶导数值f(0)=20根据定理3.3,于是驻点x=0为极小值点;又得到在驻点x=2处的二阶导数值f(2)=-2e-20根据定理3.3,于是唯一驻点x=4为唯一极小值点,再根据定理3.4,

24、这个唯一极小值点x=4也为最小值点.所以函数f(x)=x2-8x+7在定义域D=(-,+)内有最小值,最小值为f(4)=-9.第三章 导数的应用3.4 函数的最值求可导函数f(x)在闭区间a,b上的最大值与最小值的步骤如下:步骤1计算一阶导数f(x),并令一阶导数f(x)=0,求出可导函数f(x)在开区间(a,b)内的所有驻点;步骤2计算可导函数f(x)在这些驻点处的函数值,同时计算可导函数f(x)在两个端点处的函数值f(a),f(b);步骤3比较上述计算得到的函数值大小,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值.第三章 导数的应用3.4 函数的最值例4求函数f(x)=x4-8x2+3在闭区

25、间-1,3上的最大值与最小值.解:计算一阶导数f(x)=4x3-16x=4x(x2-4)令一阶导数f(x)=0,得到驻点x=-2,x=0及x=2,容易看出驻点x=0与x=2在开区间(-1,3)内,而驻点x=-2不在开区间(-1,3)内.再计算函数f(x)在驻点x=0,x=2及两个端点x=-1,x=3处的函数值f(0)=3f(2)=-13f(-1)=-4f(3)=12比较这些函数值的大小,得到最大者为f(3)=12,最小者为f(2)=-13.所以函数f(x)=x4-8x2+3在闭区间-1,3上的最大值为f(3)=12,最小值为f(2)=-13.第三章 导数的应用3.5 函数曲线的凹向区间与拐点定

26、义3.2已知函数f(x)在开区间J内可导,若函数曲线y=f(x)在开区间J内位于其上任意一点处切线的上方,则称函数曲线y=f(x)在开区间J内上凹,开区间J为函数曲线y=f(x)的上凹区间;若函数曲线y=f(x)在开区间J内位于其上任意一点处切线的下方,则称函数曲线y=f(x)在开区间J内下凹,开区间J为函数曲线y=f(x)的下凹区间.定理3.5已知函数f(x)在开区间J内二阶可导,那么:(1)如果在开区间J内二阶导数f(x)恒为正,则开区间J为函数曲线y=f(x)的上凹区间;(2)如果在开区间J内二阶导数f(x)恒为负,则开区间J为函数曲线y=f(x)的下凹区间.推论如果在开区间J内二阶导数

27、f(x)恒非负(或恒非正),且使得二阶导数f(x)=0的点x只是一些孤立的点,则开区间J为函数曲线y=f(x)的上凹区间(或下凹区间).第三章 导数的应用3.5 函数曲线的凹向区间与拐点定义3.3在函数曲线y=f(x)上,凹向改变的分界点称为函数曲线y=f(x)的拐点.定理3.6已知函数f(x)二阶可导,点x0为二阶导数f(x)=0的根,那么:(1)如果在点x0左右二阶导数f(x)变号,则点(x0,f(x0)为函数曲线y=f(x)的拐点;(2)如果在点x0左右二阶导数f(x)不变号,则点(x0,f(x0)不为函数曲线y=f(x)的拐点.在函数f(x)二阶可导时,求函数曲线y=f(x)的凹向区间

28、与拐点的步骤如下:步骤1确定二阶可导函数f(x)的定义域D.步骤2计算一阶导数f(x)、二阶导数f(x).步骤3在定义域D内,若二阶导数f(x)恒非负(或恒非正),则函数曲线y=f(x)的上凹区间(或下凹区间)为定义域D,这时当然无拐点.否则令二阶导数f(x)=0,求出全部根,并转入步骤4.步骤4二阶导数f(x)=0的全部根将定义域D分成几个开区间,列表判断在这几个开区间内二阶导数f(x)的正负号,于是确定函数曲线y=f(x)的凹向区间、拐点横坐标,计算拐点横坐标处的函数值即为拐点纵坐标.上凹用记号表示,下凹用记号表示.第三章 导数的应用3.5 函数曲线的凹向区间与拐点所以函数曲线y=6x2-

29、x3的上凹区间为(-,2),下凹区间为(2,+);拐点为(2,16).第三章 导数的应用3.5 函数曲线的凹向区间与拐点例3求函数曲线y=(x2-2)ex的凹向区间与拐点.解:函数定义域D=(-,+),计算一阶导数、二阶导数y=2xex+(x2-2)ex=(x2+2x-2)exy=(2x+2)ex+(x2+2x-2)ex=(x2+4x)ex令二阶导数y=0,得到根x=-4与x=0.列表如表36:所以函数曲线y=(x2-2)ex的上凹区间为(-,-4),(0,+),下凹区间为(-4,0);拐点为(-4,14e-4),(0,-2).第三章 导数的应用3.6 经济方面函数的边际与弹性定义3.4总成本

30、函数C=C(x)对产量x的一阶导数C(x)称为边际成本函数.第三章 导数的应用3.6 经济方面函数的边际与弹性第三章 导数的应用3.7 几何与经济方面函数的优化几何与经济方面函数的优化的类型有两种:类型1求使得消耗为最小的最优解;类型2求使得效益为最大的最优解.几何与经济方面函数优化的求解步骤如下:步骤1根据实际问题的具体情况,确定自变量与因变量,建立它们之间的函数关系即目标函数关系式;步骤2求目标函数的极值点,往往也为最值点,即得最优解.例1一块正方形纸板的边长为a,将其四角各截去一个大小相同的边长为x的小正方形,再将四边折起做成一个无盖方盒,问所截小正方形边长x为多少时,才能使得无盖方盒容

31、积V最大?解:已设所截小正方形边长为x,从而无盖方盒底边长为a-2x,如图38.第三章 导数的应用3.7 几何与经济方面函数的优化第三章 导数的应用3.7 几何与经济方面函数的优化例3欲做一个容积为250m3的圆柱形无盖蓄水池,已知池底材料价格为池周围材料价格的2倍,问圆柱形无盖蓄水池池底半径r与高h各为多少时,才能使得所用材料费T最省?解:已设圆柱形无盖蓄水池池底半径为rm,高为hm,如图310.第三章 导数的应用3.7 几何与经济方面函数的优化第三章 导数的应用3.7 几何与经济方面函数的优化第三章 导数的应用3.7 几何与经济方面函数的优化计算一阶导数L(Q)=-12Q+24令一阶导数L

32、(Q)=0,得到唯一驻点Q=2.再计算二阶导数L(Q)=-120于是唯一驻点Q=2为唯一极大值点,也为最大值点,为最优解.计算此时目标函数值,得到L(2)=14为最优值.所以批量Q为2t时,才能使得每批商品全部销售后获得的总利润L最大,最大利润值为14万元.第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与基本运算法则定义4.1已知函数F(x)在区间I(可以是开区间,也可以是闭区间或半开区间)上可导,若一阶导数F(x)=f(x),则称函数F(x)为f(x)在区间I上的原函数.定理4.1如果函数F(x)为f(x)的一个原函数,则函数族F(x)+c(c为任意常数)也为函数f(x)的原函数,且函数f(x)的任

33、意一个原函数都是这个函数族中的一个函数.第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与基本运算法则第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与基本运算法则法则1如果函数u=u(x),v=v(x)都存在原函数,则不定积分(uv)dx=udxvdx法则2如果函数v=v(x)存在原函数,k为非零常数,则不定积分kvdx=kvdx第四章 不定积分4.2 不定积分基本公式第四章 不定积分4.2 不定积分基本公式4.三角函数sinxdx=-cosx+ccosxdx=sinx+csec2xdx=tanx+ccsc2xdx=-cotx+c例9求不定积分tan2xdx.解:tan2xdx=(sec2x-1)dx=tanx

34、-x+c第四章 不定积分4.2 不定积分基本公式第四章 不定积分4.2 不定积分基本公式第四章 不定积分4.3 凑微分第四章 不定积分4.3 凑微分第四章 不定积分4.4 不定积分第一换元积分法则不定积分第一换元积分法则如果不定积分f(x)dx=F(x)+c函数u=u(x)可导,且一阶导数u(x)连续,则对于中间变量u同样有不定积分f(u)du=F(u)+c这个法则说明:在积分变量为自变量x的不定积分表达式中,若将自变量记号x换成中间变量记号u,则不定积分表达式仍然成立.根据中间变量u与自变量x的函数关系类型,分下列两种基本情况讨论复合函数的不定积分.1.第一种基本情况所求不定积分为f(ax+

35、b)dx(a,b为常数,且a0)其中被积函数的对应关系f为4.2不定积分基本公式中某个被积函数的对应关系.这时应该引进中间变量u=ax+b,它是自变量x的线性函数,在求解过程中须应用4.3线性凑微分.第四章 不定积分4.4 不定积分第一换元积分法则第四章 不定积分4.4 不定积分第一换元积分法则第四章 不定积分4.4 不定积分第一换元积分法则第四章 不定积分4.4 不定积分第一换元积分法则第四章 不定积分4.4 不定积分第一换元积分法则第四章 不定积分4.5 有理分式的不定积分第四章 不定积分4.5 有理分式的不定积分第四章 不定积分4.5 有理分式的不定积分第四章 不定积分4.6 不定积分第

36、二换元积分法则不定积分第二换元积分法则已知函数f(x)连续,对不定积分f(x)dx作变量代换x=(t),函数x=(t)单调可导,且一阶导数(t)连续,如果对于自变量t,有不定积分f(t)(t)dt=F(t)+c则对于自变量x,有不定积分f(x)dx=F(x)+c第四章 不定积分4.6 不定积分第二换元积分法则第四章 不定积分4.7 不定积分分部积分法则第四章 不定积分4.7 不定积分分部积分法则2.第二种基本情况(1)被积函数为乘积xnex(n为正整数),这时必须首先应用4.3非线性凑微分将乘积exdx凑微分,然后应用不定积分分部积分法则求解;(2)被积函数为乘积xnsinx或xncosx(n

37、为正整数),这时必须首先应用4.3非线性凑微分将乘积sinxdx或cosxdx凑微分,然后应用不定积分分部积分法则求解;(3)被积函数为乘积xlnx(-1),这时必须首先应用4.3非线性凑微分将乘积xdx凑微分,然后应用不定积分分部积分法则求解.例3求不定积分xexdx.解:xexdx=xd(ex)=xex-exdx=xex-ex+c第四章 不定积分4.7 不定积分分部积分法则第四章 不定积分4.7 不定积分分部积分法则例9填空题不定积分xd(e-x)=.解:根据不定积分分部积分法则,因而所求不定积分xd(e-x)=xe-x-e-xdx=xe-x+e-xd(-x)=xe-x+e-x+c于是应将

38、“xe-x+e-x+c”直接填在空内.例10填空题已知函数f(x)的二阶导数f(x)连续,则不定积分xf(x)dx=.解:应用4.3一般凑微分,有关系式f(x)dx=df(x),根据不定积分分部积分法则,并注意到函数f(x)为其一阶导数f(x)的一个原函数,因而所求不定积分xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)-f(x)dx=xf(x)-f(x)+c于是应将“xf(x)-f(x)+c”直接填在空内.第五章 定积分5.1 定积分的概念与基本运算法则例1曲边梯形的面积已知函数曲线y=f(x)(f(x)0),直线x=a,x=b,它们与x轴围成的图形称为曲边梯形,考虑其面积S,如图51.用n-1个分

39、点a=x0 x1x2xn-1xn=b将x轴上的闭区间a,b任意分成n个首尾相连的小闭区间x0,x1,x1,x2,xn-1,xn这些小闭区间的长度分别为x1=x1-x0,x2=x2-x1,xn=xn-xn-1在各分点处作平行于y轴的直线,将曲边梯形分成n个小曲边梯形.显然,所求曲边梯形的面积S等于这n个小曲边梯形面积之和.第五章 定积分5.1 定积分的概念与基本运算法则第五章 定积分5.1 定积分的概念与基本运算法则第五章 定积分5.1 定积分的概念与基本运算法则第五章 定积分5.2 变上限定积分第五章 定积分5.2 变上限定积分第五章 定积分5.2 变上限定积分第五章 定积分5.3 牛顿莱不尼

40、兹公式()bF xa322(32)1xx第五章 定积分5.3 牛顿莱不尼兹公式411ln|12 x|(ln 9ln 1)ln 322022422()221xeeeee21ln21ex第五章 定积分5.3 牛顿莱不尼兹公式10第五章 定积分5.3 牛顿莱不尼兹公式第五章 定积分5.3 牛顿莱不尼兹公式31201xex第五章 定积分5.4 定积分换元积分法则第五章 定积分5.4 定积分换元积分法则202(|1|)2(23)0423tlntlnln2213(|1|)3(30)3320ttlntlnln第五章 定积分5.4 定积分换元积分法则第五章 定积分5.4 定积分换元积分法则第五章 定积分5.4

41、 定积分换元积分法则第五章 定积分5.5 定积分分部积分法则定积分分部积分法则如果函数u=u(x),v=v(x)在闭区间a,b上都可导,且一阶导数u(x),v(x)在闭区间a,b上都连续,则定积分bbaabudvuvvdua22112121ln(ln)(2ln 20)122ln 22ln 22ln 2(21)2ln 211xxxdxxdxxdxx第五章 定积分5.5 定积分分部积分法则2.第二种基本情况(1)被积函数为乘积xnex(n为正整数),这时必须首先应用4.3非线性凑微分将乘积exdx凑微分,然后应用定积分分部积分法则求解;(2)被积函数为乘积xnsinx或xncosx(n为正整数),

42、这时必须首先应用4.3非线性凑微分将乘积sinxdx或cosxdx凑微分,然后应用定积分分部积分法则求解;(3)被积函数为乘积xlnx(-1),这时必须首先应用4.3非线性凑微分将乘积xdx凑微分,然后应用定积分分部积分法则求解.第五章 定积分5.5 定积分分部积分法则第五章 定积分5.5 定积分分部积分法则第五章 定积分5.6 广义积分第五章 定积分5.6 广义积分1.第一种基本情况2.第二种基本情况3.第三种基本情况()()bbf x dxF x()()af x dxF xa()()f x dxF x第五章 定积分5.6 广义积分第五章 定积分5.6 广义积分第五章 定积分5.6 广义积分

43、第五章 定积分5.7 平面图形的面积考虑一类特殊的曲线四边形或曲线三边形或曲线两边形,如图55、图56、图57及图58,自下向上观察其图形,上下两条曲线边分别为曲线y=(x)与y=(x)(x)(x)0),左右平行(重合)于y轴的直线边分别为直线x=a与x=b或上下两条曲线边交点的横坐标分别为x=a与x=b(ab).图55图56图57图58第五章 定积分5.7 平面图形的面积第五章 定积分5.7 平面图形的面积例1求由曲线y=ex与直线y=x-1,x=0,x=1围成平面图形的面积S.解:画出曲线y=ex与直线y=x-1,x=0,x=1,得到它们围成的平面图形,如图59.第五章 定积分5.7 平面

44、图形的面积第五章 定积分5.7 平面图形的面积例3求由抛物线y=x2与直线x+y=2围成平面图形的面积S.解:画出抛物线y=x2与直线x+y=2,得到它们围成的平面图形,如图511.附录 二元微分学1 二元函数的一阶偏导数附录 二元微分学1 二元函数的一阶偏导数附录 二元微分学1 二元函数的一阶偏导数附录 二元微分学1 二元函数的一阶偏导数附录 二元微分学2 二元函数的二阶偏导数附录 二元微分学2 二元函数的二阶偏导数例1求二元函数z=x3y2-5xy4的二阶偏导数.解:计算一阶偏导数zx=3x2y2-5y4zy=2x3y-20 xy3所以二阶偏导数zxx=(3x2y2-5y4)x=6xy2z

45、xy=(3x2y2-5y4)y=6x2y-20y3zyx=(2x3y-20 xy3)x=6x2y-20y3zyy=(2x3y-20 xy3)y=2x3-60 xy2在例1中有关系式:zxy=zyx,这反映出在某种条件下计算二阶偏导数的一种规律.经过深入讨论可以得到结论:如果二阶偏导数zxy与zyx都连续,则有关系式zxy=zyx下面所讨论的二元函数都满足这个结论的条件,因此只需计算三个二阶偏导数.附录 二元微分学2 二元函数的二阶偏导数附录 二元微分学3 二元函数的全微分定理6.1如果二元函数z=f(x,y)的两个一阶偏导数fx(x,y),fy(x,y)皆在点(x0,y0)处连续,则二元函数z

46、=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.二元可微函数z=f(x,y)在区域E上任意点(x,y)处的全微分值称为二元可微函数z=f(x,y)的全微分,记作dz=fx(x,y)x+fy(x,y)y二元可微函数z=f(x,y)的全微分表达式为dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy附录 二元微分学3 二元函数的全微分附录 二元微分学3 二元函数的全微分附录 二元微分学4 二元函数的极值定义6.4若二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的两个一阶偏导数值皆为零,即fx(x0,y0)=0,且fy(x0,y0)=0,则称点(x0,y0)为二元函数f(x,y)的驻点.定理6.2已知点(x0,y0)为二

47、元可微函数f(x,y)的驻点,且二阶偏导数fxx(x,y),fxy(x,y),fyy(x,y)皆在驻点(x0,y0)处及其附近连续,引进记号A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),那么:(1)如果关系式B2-AC0且有A0,则驻点(x0,y0)为二元可微函数f(x,y)的极大值点;(2)如果关系式B2-AC0,则驻点(x0,y0)为二元可微函数f(x,y)的极小值点;(3)如果关系式B2-AC0,则驻点(x0,y0)不是二元可微函数f(x,y)的极值点.附录 二元微分学4 二元函数的极值求二元可微函数f(x,y)的极值的步骤如下:步骤1确定二元函数f(x,y)的定义域D.步骤2计算一阶偏导数fx(x,y),fy(x,y).步骤3令一阶偏导数fx(x,y)=0,且fy(x,y)=0,若此方程组无解,则二元函数f(x,y)无驻点,当然无极值.否则求出二元函数f(x,y)的全部驻点,并转入步骤4.步骤4计算二阶偏导数fxx(x,y),fxy(x,y),fyy(x,y),得到在驻点处的二阶偏导数值A,B,C,根据定理6.2判断驻点是否为极值点,计算极值点处的二元函数值即为极值.附录 二元微分学4 二元函数的极值附录 二元微分学4 二元函数的极值