1、三角形的中位线本课内容本节内容2.4 连结三角形两边中点的线段叫做连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形的中位线.如图如图2-37，D，E，F分别为分别为ABC 三边中点，三边中点，所以，所以，DF，DE，EF分别是三角形的三条中位线分别是三角形的三条中位线.图图2-37探究探究 如图如图2-38，EF是是ABC的一条中位线的一条中位线.EFBC 吗？吗？量一量量一量EF 与与BC 的长各是多少？的长各是多少？你能猜测出你能猜测出EF和和BC具有怎样的位置关系和数量关具有怎样的位置关系和数量关系吗？为什么？系吗？为什么？图图2-38我猜测我猜测EFBC.我量得我量得EF=1cm，BC
2、=2cm，猜测猜测12EFBC.这些猜测正确吗？我们来进行证明这些猜测正确吗？我们来进行证明.如图，如图，将将AEF绕点绕点F旋转旋转180，设点设点E的像为点的像为点G，易知点易知点A的像是点的像是点C，点，点F的像还是点的像还是点F，且，且E，F，G在一在一条直线上条直线上.因为旋转不改变图形的形状和大小，所以有因为旋转不改变图形的形状和大小，所以有 CG=AE=BE，GF=EF，G=AEF.则则 AECG.(内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行)即即 BECG.又又 BE=CG，所以四边形所以四边形BCGE是平行四边形是平行四边形.(一组对边平行且相一组对边平行且相等的四边形是平
3、行四边形等的四边形是平行四边形)图图2-39所以所以EG=BC，EGBC.(平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对边平行且相等)又因为又因为EF=GF，EFEGBCEFEF1122EF EG BC.所以所以 .图图2-39从而从而EF12BC.结论结论 三角形的中位线平行于第三边，并且三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半等于第三边的一半.由此得到三角形的中位线定理：由此得到三角形的中位线定理：如图如图2-40，顺次连结四边形，顺次连结四边形ABCD各边中点各边中点E，F，G，H，得到的四边形，得到的四边形EFGH是平行是平行四边形吗？为什么？四边形吗？为什么？举举例例例例图图2-
4、40解解 连结连结AC.由于由于EF是是ABC的一条中位线的一条中位线，又因又因HG是是 DAC的一条中位线的一条中位线，于是于是EF HG，且，且EF=HG.所以四边形所以四边形EFGH是平行四边形是平行四边形.所以所以EFAC，且，且 1=.2EFAC因此因此HG AC，且，且1=.2HGAC图图2-401.已知已知ABC的各边长度分别为的各边长度分别为3 cm，3.4cm，4cm，求连结各边中点所构成，求连结各边中点所构成 的的DEF的周长的周长.答：答：5.2 cm.练习练习（1）四边形）四边形ADEF是平行四边形吗？为什么？是平行四边形吗？为什么？答答：四边形四边形ADEF是平行四边形是平行四边形.因为因为 所以所以四边形四边形ADEF是平行四是平行四 边形边形.(两组对边分别相等两组对边分别相等的四边的四边 形是平行四边形形是平行四边形)1=21=2DEACAF EFABAD,2.如图，如图，ABC的边的边AB，BC，CA的中点分别是的中点分别是D，E，F.（2）四边形）四边形ADEF的周长等于的周长等于AB+AC吗？吗？为什么？为什么？+1111+2222+.答答：等等于于 AD DEEFAF =ABACABAC =AB AC.课堂作业：课堂作业：57页页2、3课外作业做书上：课外作业做书上：57页页 1、6
