中值定理与导数的应用课件-2.ppt

1、oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x一、函数极值的定义一、函数极值的定义o o000000()()()()(),(),()()(.f xxf xf xU xxU xfxxxxfff 设设函函数数在在点点的的邻邻域域内内有有定定义义有有均均成成立立 就就称称是是极极大大值值（或或）（或或极极函函数数一一个个小小值值）的的定义定义 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使使函数取得极值的点称为函数取得极值的点称为极值点极值点.注：函数的极值是一个局部的定义，因注：函数的极值是一个局部的定义，因此又可称为局部最值，相应的有局部最大此又可称为局

2、部最值，相应的有局部最大值和局部最小值。值和局部最小值。二、函数极值的求法二、函数极值的求法定理定理1(1(必要条件必要条件)()0)().fxf x 使使导导数数为为零零的的点点 即即方方程程的的实实叫叫做做函函数数的的驻驻点点根根定义定义注意注意:(),.f x可可导导函函数数的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻点点 但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定是是极极值值点点例如例如,3xy ,00 xy0.x 但但不不是是极极值值点点,是是拐拐点点-1-0.75-0.5-0.250.250.50.751-1-0.75-0.5-0.250.250.50.751 如何求这类极值问题呢？我们

3、知道如如何求这类极值问题呢？我们知道如果果 在点在点 取得极值，则由费马定取得极值，则由费马定理得理得 。这样，我们从导数为。这样，我们从导数为0 0的驻点中去找。那么如何判定驻点是不的驻点中去找。那么如何判定驻点是不是极值点呢？是极值点呢？0 x()f x0()0fx xyoxyo0 x0 x (极值点情形极值点情形)判别法则判别法则(第一充分条件第一充分条件)设函数设函数 满足满足()f x00(1)(2)()0 xfx 在在点点 的的领领域域内内可可导导；那么那么如何判定驻点是不是极值点如何判定驻点是不是极值点xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤:(1)();fx 求求导导

4、数数(2)()0;fx 求求驻驻点点，即即方方程程的的根根(3)(),;fx 检检查查在在驻驻点点左左右右的的正正负负号号 判判断断极极值值点点(4).求求极极值值(不是极值点情形不是极值点情形)解解32()395.f xxxx求求出出函函数数的的极极值值22()3693(23)fxxxxx()0fx 令令，121,3.xx 得得驻驻点点列表讨论列表讨论x)1,(),3()3,1(1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值(3)f极极小小值值.22 (1)f 极极大大值值,10 3(1)(3)xx例例1 1593)(23 xxxxf图形如下图形如下-2-11234-25-20-1

5、5-10-5510Mm2321()3(1)()(1)2(1)3fxxxxx x 练练 习习解解31()(1)().3f xxx求求函函数数的的极极值值()0fx 令令，120,1.xx 得得驻驻点点列表讨论列表讨论x0(,)1(,)0 1(,)01)(xf )(xf 00 极小值极小值不是极值不是极值(0)f极极小小值值1.3 -1-0.50.511.52-0.20.20.40.6n用判别法则用判别法则时，只需求函数的一阶导数，时，只需求函数的一阶导数，但需判断驻点两侧导数的符号，这比较麻烦但需判断驻点两侧导数的符号，这比较麻烦这样就有了这样就有了判别法则判别法则，可以很方便的判断，可以很方便

6、的判断出是不是极值。出是不是极值。定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)注意注意:00()0,(),2.fxf xx 时时在在点点处处不不一一定定取取极极值值仍仍用用定定理理0()0fx 时时，用用第第一一判判别别法法例例2 223()(1)1.f xx求求出出函函数数的的极极值值解解22()3(1)2fxxx()0fx 令令，1231,0,1.xxx 得得驻驻点点226(1)x x222()6(1)62(1)2fxxxxx 226(1)(51)xx x1 0)(xf()fx 1(,1)(1,0)(0,1)(1,)()f x000060 22()6(1),fxx x 22()6(1)(51

7、)fxxx 拐点拐点 极小值极小值拐点拐点(0)f极极小小值值0.2311()()f xx解解32()32420.f xxxx求求出出函函数数的的极极值值2()3624fxxx()0fx 令令，124,2.xx 得得驻驻点点3(4)(2)xx ()66,fxx (4)f 180,(4)f 故故极极大大值值60,(2)f 180,(2)f故故极极小小值值48.练练 习习32()32420f xxxx-6-4-224-40-20204060例例3 3解解23()1(2).f xx求求出出函函数数的的极极值值132()(2)(2)3fxxx 2,().xfx 当当时时不不存存在在().fx但但函函数

8、数在在该该点点连连续续注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.0()fx 不不存存在在时时,用用第第一一判判别别法法.x2)(xf(,2)(2,)()f x 极大值极大值(2)f极极大大值值1.1234-0.75-0.5-0.250.250.50.751M2312()()f xx 用导数解决函数的最值问题：用导数解决函数的最值问题：商品经营者制定价格要使利润最高，工商品经营者制定价格要使利润最高，工厂订购生产资料要考虑订货和贮存等费用厂订购生产资料要考虑订货和贮存等费用最低，体育比赛中运动员要力争创造最佳最低，体育比赛中运动员要力争创造最佳成绩，动物的

9、生理构造也在长期进化过程成绩，动物的生理构造也在长期进化过程中达到了某种意义下的最佳状态。这些问中达到了某种意义下的最佳状态。这些问题都可归结为求解函数的最值问题。题都可归结为求解函数的最值问题。一、最值的求法一、最值的求法oxyoxybaoxyabab(),(),.f xa bf xa b除除个个别别点点外外处处处处可可导导，并并且且至至多多有有 若若有有函函数数在在上上连连续续，则则在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值限限个个导导数数为为零零的的点点点点可可以以找找到到步骤步骤:1.1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.2.求求区间端点区间端点及及驻点和不可导点驻点和不可导点的函数

10、的函数值值,比较大小比较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值那个小那个就是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个则这个极值就是最值极值就是最值.(.(最大值或最小值最大值或最小值)二、应用举例二、应用举例例例4 4解解2()66126(2)(1)fxxxxx 322312143 4,.yxxx 求求函函数数的的在在上上的的最最大大值值与与最最小小值值()0,fx 解解方方程程得得12,.21xx 计算计算3()f ;232()f ;34()1f;7;142()4f(4)142f 最最大大值值，比较得比较得(1)7.f 最最小小值值

11、-3-2-112342040608010012014014123223 xxxy解解322()(23)66fxxxxx()0,fx 解解方方程程得得120,1xx计算计算(0)f 0;(1)f 1;(1)f 5;80;)4(f(4)80f 最最大大值值，比较得比较得(1)5.f 最最小小值值练练 习习-2-11234520406080回顾回顾极值的定义；极值的定义；极值的必要条件；第一充分条件、极值的必要条件；第一充分条件、第二充分条件；第二充分条件；函数的最值函数的最值.复复 习习 000001.()(,)()_.().(,)()().().().f xxf xA xf xBf xf xCx

12、fxDxf x 已已知知函函数数在在内内有有定定义义，且且是是函函数数的的极极大大值值，则则是是的的驻驻点点；在在内内恒恒有有；是是的的极极小小值值点点；是是的的极极小小值值点点2.()()(,)(1)()(),()();(2)()(),()()._.(1)(2).(1)(2).f xg xa bf xg xfxg xfxg xf xg xABCD设设函函数数与与在在开开区区间间内内可可导导，考考虑虑如如下下的的两两个个命命题题：若若则则若若则则则则两两个个命命题题均均不不正正确确；两两个个命命题题均均正正确确；命命题题正正确确，命命题题不不正正确确；命命题题不不正正确确，命命题题正正确确3.

13、2sin,_.2yxx 函函数数在在区区间间上上的的最最大大值值为为答答 案案 000001.()(,)()_.().(,)()().().().f xxf xA xf xBf xf xCxfxDxf x 已已知知函函数数在在内内有有定定义义，且且是是函函数数的的极极大大值值，则则是是的的驻驻点点；在在内内恒恒有有；是是的的极极小小值值点点；是是的的极极小小值值点点C2.()()(,)(1)()(),()();(2)()(),()()._.(1)(2).(1)(2).f xg xa bf xg xfxg xfxg xf xg xABCD设设函函数数与与在在开开区区间间内内可可导导，考考虑虑如如

14、下下的的两两个个命命题题：若若则则若若则则则则两两个个命命题题均均不不正正确确；两两个个命命题题均均正正确确；命命题题正正确确，命命题题不不正正确确；命命题题不不正正确确，命命题题正正确确3.2sin,_.2yxx 函函数数在在区区间间上上的的最最大大值值为为A233 实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)(1)建立目标函数建立目标函数;(2)(2)求最值求最值;若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻点点,则则该该点点的的函函数数值值即即为为所所求求的的最最(或或最最小小)值值运输模型是管理运筹学中重要的组成部分。运输模型是管理运筹学中重要的组成部分。例例5 5是运输模型中的最简单

15、的一个产地一个是运输模型中的最简单的一个产地一个 销地问题。销地问题。例例5 5 铁路线上铁路线上ABAB段的距离为段的距离为100km100km。工厂。工厂C C距距A A处处 为为20km20km，ACAC垂直于垂直于ABAB。为了运输需要，要。为了运输需要，要 在在ABAB线上选定一点线上选定一点D D向工厂修筑一条公路。向工厂修筑一条公路。已知铁路上每已知铁路上每kmkm货运的运费与公路上每货运的运费与公路上每kmkm 货运的运费之比为货运的运费之比为3 3：5 5，为了使货物从供，为了使货物从供 应战应战B B运到工厂运到工厂C C的运费最省，问的运费最省，问D D应选在应选在 何处

16、？何处？AB100kmC20kmDx供应站供应站工厂工厂5k3kAB100kmC20kmDx供应站供应站工厂工厂5k3k解解(),ADx km 设设100(),DBx km 那那么么2400()CDxkm y设设运运费费函函数数为为254003(100)kxkx 253400k xykx 0,y 令令15x 求求得得唯唯一一驻驻点点，15ADkm 当当时时，总总运运费费最最省省。某某房地产公司有房地产公司有5050套公寓要出租，当租金套公寓要出租，当租金定为每月定为每月180180元时，公寓会全部租出去当租元时，公寓会全部租出去当租金每月增加金每月增加1010元时，就有一套公寓租不出去，元时，

17、就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费2020元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套，1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20(x 1018050 x练练 习习 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)(xR350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350350元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR)(108

18、90 元元 作业作业习题习题3-5 143-5 14、1515、1616(1)0()(),()();xf xg xfxg x判判断断下下列列命命题题是是否否正正确确。时时，若若则则(2)0()(),()();xfxg xf xg x时时，若若则则(3)()f x函函数数的的极极值值点点一一定定不不是是曲曲线线的的拐拐点点，曲曲线线的的拐拐点点也也一一定定不不是是极极值值点点；(4)单单调调函函数数的的导导函函数数一一定定是是单单调调函函数数。(1)0()(),()();xf xg xfxg x判判断断下下列列命命题题是是否否正正确确。时时，若若则则(2)0()(),()();xfxg xf x

19、g x时时，若若则则,(0,)()cos,()sin,4()()()sin()cos.f xx g xxf xg xfxxg xx 错错。例例如如在在区区间间内内，显显然然但但,.,.(0,)()sin,()cos,2()cos()sin()()f xx g xxfxxg xxf xg x 错错。例例如如在在区区间间内内，但但sin(0),0cos1(0)(0,0)xxyxxx 错错。例例如如为为极极大大值值点点，且且为为拐拐点点。(3)()f x函函数数的的极极值值点点一一定定不不是是曲曲线线的的拐拐点点，曲曲线线的的拐拐点点也也一一定定不不是是极极值值点点；-4-224-2-1.5-1-0.50.5(4)单单调调函函数数的的导导函函数数一一定定是是单单调调函函数数。sin(,)yxx 错错。例例如如在在内内单单调调增增加加，但但y=1+cosxy=1+cosx