1、第三章第三章 微分中值定理与导数的微分中值定理与导数的应用应用 高等数学高等数学微分中值定理微分中值定理 习题课习题课f(x)满足条件(2),(3),但不满足条件(1),在(0,1)内,21)(xf例如例如:(i)y=f(x)=121x1 ,x=1,x0,1)图1 x y01123 注意注意:罗尔定理的三个条件是充分的，但不罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的是必要的.1 ,1|)(xxxfyf(x)在-1,1上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当 x 时,f (x)=1.x 时,f (x)=1.x=0时,f (0)不存在.(ii)0 x y111图2y=|x|(iii)y=f
2、(x)=x,x1,2,f(x)在1,2上满足条件(1),(2),但不满足条件(3),在(1,2)内,f (x)=1.02112xy图3y=x 例例1 设函数 f(x)=(x1)(x2)(x3),不求导数,试判 断方程 f x 有几个实根,它们分别在何区间?解解:f(x)在1,2上连续,在(1,2)上可导,且 f(1)=f(2);由罗尔定理:1,使 f (1;同理,2,注意到 f(x)=0为二次方程,使 f (2;它至多有两个实根,故 1,2是 f(x)=0 的全部实根.例例2.设 ab0 n1.证明证明:令 f(x)=x n 显然 f(x)在 b,a上满足拉格朗日定理条件,证明:nbn1(ab
3、)an bn nan1(a b)有 f(a)f(b)=f()(ab)(b a)即 an bn=n n1(a b)又 0b 1所以 bn1 n1 an1 nbn1(a b)n n 1(a b)nan1(a b)即 nbn1(ab)an bn nan1(a b)例3 选择题.选出符合题意的选项.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有().0,2 ,1)(.Axxxf.4,2 ,)4()(.B2xxxf.2,23 ,sin)(.Cxxxf.1,1|,|)(.Dxxxf注意罗尔定理的条件有三个:(1)函数y=f(x)在a,b上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b).分析不
4、难发现 ，在2,0上不满足连续的条件，因此应排除A.xxf1)(对于 ，在2,4上连续，在(2,4)内可导；f(2)=36，f(4)=0，因此应排除B.2)4()(xxf)4()2(ff.C.上2,23sin).2(1)23(应选尔定理满足罗在因此xff,)2,23(,2,23sin)(可导内在上连续，在对于xxf对于f(x)=|x|，在1,1上连续，在(1,1)内不可导，因此应排除.综合之，本例应单选.例4 设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线().A.仅有一条；B.至少有一条；C.不一定存在；D.不存在.
5、由题目中所给的条件可知，函数y=f(x)在a,b上满足罗尔定理条件，可知至少存在一点 使得),(ba.0)(f分析又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本例应选B.)(,(f例5 选择题.函数 在区间1,3上满足拉格朗日中值定理的 =().1 .D ;3 .C ;0 .B ;43 .A 由于 在1,3上连续，在(1,3)内可导，因此f(x)在1,3上满足拉格朗日中值定理条件.12)(2xxxf分析使),3,1(由拉格朗日定理可知，必定存在.)()()(abafbff由于f(b)=f(3)=16,f(a)=f(1)=4,而 因此有.14)(f12)(2x
6、xxf可解得 ，因此本例应选D.1.3)1(341614.|arctanarctan|abab例6 试证对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x.证 设f(x)=arctan x,不妨设a 0,存在存在 使使 由于由于,有有01sinlim20 xxx.0)1cos1sin2(lim)(lim00 xxf.)1cos1sin2(lim)(lim00不存在不存在xxxxfxx 因因,01sin2lim0 xxx所以所以不存在不存在而而,1coslim0 xx 作为应用，下面再举两个简单的例子作为应用，下面再举两个简单的例子.例例11 求证
7、求证.0,1e xxx证证则则设设,1e)(xxFx .1e)(xxF所所以以()0,0,),0,F xxx且且当当时时()0F x()0).F x的的点点不不含含一一个个区区间间故故()0,)F x在在,0,x 上上严严格格递递增增 所所以以对对任任意意恒有恒有,0)0()(FxF即即.0,1e xxx例例12 设设 f(x)=x 3 x.讨论函数讨论函数 f 的单调区间的单调区间.解解 由于由于),13)(13(13)(2 xxxxf因此因此递增，递增，时，时，当当fxfx,0)()31,(递减，递减，时，时，当当fxfx,0)()31,31(.,0)(),31(递增递增时，时，当当fxfx -1.5-1-0.50.511.5-1.5-1-0.5O0.511.5xy3yxx
