保险精算第1章利息理论基础课件.ppt

1、Actuarial Actuarial ScienceScience1保险精算保险精算Actuarial ScienceActuarial ScienceActuarial Actuarial ScienceScience2保险精算保险精算3利息 所谓利息（Interest），是指在一定时期内借款人向贷款人支付的使用资金的报酬。利息的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。利息 影响利息大小的要素：本金：业务开始时投资的金额 时期长度：从投资日开始到收回的时间跨度 度量期、期：年 业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻的积累值（Acc

2、umulated value，或终值）。为了在一定时间后得到某个积累值，而在开始时投入的本金金额称为该积累值的现值（Present Value）4利息t期积累函数（因子）总量函数t期折现函数（因子）折现因子 ,记为 第n期利息)(ta)(tA)(1ta0t1-1)(1ta)(ta)(tA()(1)nIA nA nnIk)1(1avActuarial Actuarial ScienceScience6保险精算保险精算7实际利率与实际贴现率 某一度量期的实际利率（Effective annual rate）是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投入的本金金额之比。通常用字母 表示。一个度量期

3、的实际贴现率为该度量期内取得到的利息金额与期末投资可回收金额之比。通常用字母 表示。实际利率与实际贴现率的定义十分类似，都是用来度量利息的。id8实际利率与实际贴现率 某人以1本金开始一项业务，实际利率为，则在一度量期末可收回金额 ，而利息（贴现）金额为 ，若这笔业务的实际贴现率为 ，则ii1idididddi1iid)1(iid1iv11ivd1vd9实际利率与实际贴现率 用 表示从投资日算起的第 个度量期的实际利率，则：用 表示从投资日算起的第 个度量期的实际贴现率，则：nind)1()1()(nAnAnAinn其中，为大于等于1的整数)()1()(nAnAnAdnnnn其中，为大于等于1

4、的整数应用实例 例 某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求、分别等于多少？1i2d2i1d解1000)0(A1020)1(A1050)2(A1(1)(0)20IAA2(2)(1)50IAA则%2100020)0(11AIi%941.2102030)1(22AIi%961.1102020)1(11AId%857.2105030)2(22AId10Actuarial Actuarial ScienceScience11保险精算保险精算12单利与复利 考虑投资一单位本金。如果其在 时的积累值为 则该笔投资以每期单利计算，并将这样产生的利息称为单利（Si

5、mple interest）。如果其在 时的积累值为 则该笔投资以每期复利计算，并将这样产生的利息称为复利（Compound interest）。ttita1)(ttita)1()(13单利与复利 单利计息时，第 期的实际利率为：)1(11ni)1()1()(nananainn)1(1)1(1)1(niniinnin 结论：关于 单调递减，即常数的单利意味着递减的实际利率。14单利与复利 复利计息时，第 期的实际利率为：iiiinn11)1()1()1()1()(nananainn11)1()1()1(nnniiinin 结论：关于 为常数，即常数的复利意味着恒定的实际利率。单利与复利 对单利

6、来讲，利息并不作为投资资金而再赚取利息；对复利来讲，在任何时候，本金和到该时为止得到的利息，总是用来投资以赚取更多的利息。时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值，即 。所以短期业务一般单利计息。时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值，即 。所以长期业务一般复利计息。1t1ttiti)1(1titi)1(115应用实例 例 某银行以单利计息，年息为2%，某人存入5000元，问5(0.5)年后的积累值是多少？若以复利计算，其他条件不变，问5(0.5)年后的积累值是多少？解55001.15000%)251(5000)5(5000)5(aA4.5520%)21(5000

7、)5(5000)5(5aA元元单利复利16(0.5)5000(0.5)5000(10.5 2%)5000 1.015050Aa0.5(0.5)5000(0.5)5000(12%)5024.9Aa元元Actuarial Actuarial ScienceScience17保险精算保险精算18名义利率与名义贴现率 “实际”一词的主要含义在于，利息为每个度量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况而定。然而，实际上有很多在一个度量期中利息支付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形。这时，我们称相应的一个度量期的利率和贴现率为“名义”的。19名义利率与名义贴现率 用 符号记每一度量期支付 次利息

8、的名义利率。所谓名义利率（Nominal interest）是指每 个度量期支付利息一次，而在每个度量的实际利率为 。即每一个度量期 的名义利率等价于每 度量期 的实际利率。)(mimmim/)(m/1)(mim/1mim/)(mmmii)1(1)(20名义利率与名义贴现率时间点时间点01/m2/m(m-1)/mm/m=1利息利息余额余额11)(mim2)()()1(mmmmimimim)(11)()1(mmmi)1()()(mimimm2)()1(mimimimm1)1()(1)()()1(mmmmimiimimm1)1()(1)1(1)(mmimi1)1()(mmmii21名义利率与名义贴

9、现率 用 符号记每一度量期支付 次利息的名义贴现率。所谓名义贴现率是指每 个度量期支付利息一次，而在每个度量的实际利率为 。即每一个度量期 的名义利率等价于每 度量期 的实际利率。)(mdmmdm/)(m/1)(mdm/1mdm/)(mmmdd)1(1)(22名义利率与名义贴现率时间点时间点01/m(m-2)/m(m-1)/mm/m=1贴现贴现余额余额11)(mdmmdm)(11)()1(mmmd()(1)1mmddm()(1)1mmddm)1()1(1 11)(mmmvmdmdmmmdd)1(1)()1()()(mdmdmm2)()1(mdm2)()()1(mmmmdmd1)()()1(mm

10、mmdmd23名义利率与名义贴现率()(1)1mmddm()(1)1mmiim 11 i()()1(1)(1)mmmmidimm()()1(1)(1)mmidmm应用实例 例 (1)求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。（2）已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。解(2)2(1)11 8%2ii (4)4(1)11 8%4di （1）24(2)1/2(1 8%)1 27.85%i(4)1/44 1(1 8%)7.623%d（2）(12)12128%1(1)(1)44di 1.08368.36%i 应用实例 例 求1万元按每年计息4次的

11、年名义利率6%投资3年的积累值。解3(3)10000(3)10000(1)Aai11956.225(4)3 410000(1)4i3 46%10000(1)41210000(1.015)元26利息力 在很多情况下，需要度量在每一个时间点上的利息，也就是在无穷小时间区间上的利息。这种对利息在各个时间点上的度量称为利息力（或利息强度）。假设在 时刻的资金总量由总量函数 给出，这笔资金完全由于利息而变化，即本金既不增加也不撤回。定义 式中，为该投资额在 时的利息强度。tt()()()()tA ta tA ta tt()At27利息力 复利计息时 (1)(1)ttii1lnlnvv()()()()tA

12、 ta tA ta t(1)ln(1)(1)ttiiiln(1)iveActuarial Actuarial ScienceScience28保险精算保险精算29年金（Annuity）是指按照相等时间间隔支付的一系列款项。Actuarial Actuarial ScienceScience30保险精算保险精算31期末付年金 在每个付款期间末付款的年金为期末付年金。假设一笔年金，付款期限为 期，每期期末付款额为1，每期利率为 ，各期付款如下ni0 1 2 3 2n1nn 1 1 1 1 1 1 时时 间间付付 款款 额额期末付年金0 1 2 3 2n1nn 1 1 1 1 1 1 时时 间间付付

13、 款款 额额1nvviv 11nvvv 1nvi21.nnvvvv0 1 2 3 2n1nn1时时 间间每年所得每年所得iiiiii32na1nniav期末付年金0 1 2 3 2n1nn 1 1 1 1 1 1 时时 间间付付 款款 额额1(1)11(1)nii 211(1).(1)(1)nniii(1)1nii(1)1nniis 12(1)(1).(1)1nniii33ns0 1 2 3 2n1nn1时时 间间每年所得每年所得iiiiii期末付年金na21.nnvvvvns12(1)(1).(1)1nniii121(1)(1).(1)(1)nniiii(1)ni等式两侧同时乘以等式两侧同时

14、乘以12(1)(1).(1)1nniii(1)nnia34期末付年金(1)nnnsia 经济含义：各期期末投资本金为1的年金积累制有两种算法。一种是各期期末投资本金为1，直接积累到期期末，求和即为 （公式左边）；一种是先求出各期期末投资本金为1的年金现值，即 ，作为时刻0的一次性投资，以复利 计算，求出 期期末的积累值，即 。两种计算结果相同。nsnna(1)nnaiin35应用实例 例 计算年利率为6%的条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值及积累值。解1010 0.0611()16%100010001000 7.360097360.096%a1010 0.06(16%)11000

15、10001000 13.1808013180.806%s元元年金现值年金积累值36应用实例 例 某银行客户想通过零存整取方式在1年后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下，问每月末需存入多少钱才能达到其目的。解12 0.00510000D s 1212 0.005(10.5%)110000/10000/()0.5%Ds元设每月需存入D元，有则：3710000/12.3356810.66Actuarial Actuarial ScienceScience38保险精算保险精算39期初付年金 在每个付款期间开始时付款的年金为期初付年金。假设一笔年金，付款期限为 期，每期期初付款额为1，每期利率

16、为 ，各期付款如下ni0 1 2 3 2n1nn 1 1 1 1 1 1 时时 间间付付 款款 额额期初付年金na 1nviv11nvv1nvd1nndav211.nvvv 0 1 2 3 2n1nn1时时 间间每年所得每年所得dddddd400 1 2 3 2n1nn 1 1 1 1 1 1 时时 间间付付 款款 额额期初付年金0 1 2 3 2n1nn1 1 1 1 1 1时时 间间付付 款款 额额1(1)(1)1(1)niii21(1)(1).(1)(1)nniiii(1)1nid(1)1nnids 12(1)(1).(1)(1)nniiii410 1 2 3 2n1nn1时时 间间每年

17、所得每年所得ddddddns 期初付年金na 211.nvvv ns 12(1)(1).(1)(1)nniiii1211(1)(1).(1)niii(1)ni等式两侧同时乘以等式两侧同时乘以12(1)(1).(1)(1)nniiii(1)nnia42期初付年金43na 211.nvvv na21.nnvvvvnnava(1)nnaaina 211.nvvv 11na 期初付年金44ns 12(1)(1).(1)(1)nniiiins12(1)(1).(1)1nniiinnsvs(1)nnssins 12(1)(1).(1)(1)nniiii12(1)(1).(1)(1)1 1nniiii 11

18、ns应用实例 例 某银行客户想通过零存整取方式在1年后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下，问每月初需存入多少钱才能达到其目的。解12 0.00510000D s 1212 0.005(10.5%)110000/10000/0.5%/(10.5%)Ds元元设每月需存入D元，有则：4510000/12.3972806.63Actuarial Actuarial ScienceScience46保险精算保险精算47连续年金 付款频率无限大（即连续付款）的年金称为连续年金。连续付款 个计息期，每个计息期的付款额之和为1。n0 1 2 3 2n1nn1 1 1 1 1 时时 间间付付 款款 额

19、额连续年金480 1 2 3 2n1nn1 1 1 1 1 时时 间间付付 款款 额额na0lntnvv1lnnvv1nv年金现值1ne0ntv dt 式中，为时刻 到时刻0的折现因子；为时刻 的付款额；为时刻 的付款额在时刻0的现值。tvtdttv dttt连续年金490 1 2 3 2n1nn1 1 1 1 1 时时 间间付付 款款 额额0(1)nn tidt0(1)()snidssnt0(1)ln(1)snii(1)1ni0(1)nsi ds1nens年金积累值应用实例 例 有两个连续还款模型A，B。A每期还款额为2，还款期限为20年，B每期还款额为3，还款期限为10年。求使A，B模型等效的 。解20101123ee或结论：结合题意，当 时，A、B模型等效5010201 320ee1010(1)(21)0ee1010e 10210e 或06.93%6.93%51谢谢谢谢！