十五章单自由度系的振动课件.ppt

1、动力学动力学15-1 15-1 有阻尼自由振动有阻尼自由振动3.阻尼力阻尼力,cvFc 4.方程方程mgdtdxc)k(xdtxdms22,mkn 2,mcn 2,xtxntxn0dd2dd222 ,ex:rt 令令,nrrn0222 ,nnrn,2221 trtrececx2121 FFc第十五章第十五章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动,kmgs mgxkcy sx),(xkFsk1.弹簧力弹簧力2.静伸长静伸长,dtdxckx 解解:,nnrn,2212 ,nnnp22 )ecec(extntnntpp 21),tn(shAepnt x0v00v0=0v0 n),mkcc2,nr,2

2、1)tcc(exnt21 2.临界阻尼临界阻尼(n=n),2221dn，inninr变换求解变换求解：)tsinctcosc(exddnt 21 ,ccA2221 令：令：21cctan,)tsin(Aednt3.小阻尼小阻尼(n n),xc01 dvnxc 002 ,)vnx(xAd20020 00d0vnxxtan2122)n(Tnndd ,mkcnn2 21 TTd21 ffd,nd 21 TTd 212 n初始条件：初始条件：t=0,x=x0,v=v0,阻尼比阻尼比,AeAntn ,AeAinti )Tt(ndiniAeAd nniinT)Tt(nntdiieAeAeAAdd nien

3、TAAln 1),tsin(A)tsin(Aexdndnt对数减幅系数对数减幅系数如如:=0.05,10次后振幅仅原次后振幅仅原4.3%,减幅系数减幅系数例例15-1 15-1 在弹簧上悬挂一落板在弹簧上悬挂一落板B，测到其在空气的振动周期测到其在空气的振动周期T1，再放在待求的液体中，测到再放在待求的液体中，测到Tn，现设液体对落板的阻力等于现设液体对落板的阻力等于2Acv,其中其中2A为板的表面面积为板的表面面积,v为板的速度，如板重为板的速度，如板重P。求：粘滞求：粘滞因数因数c解：解：,Tn 2 222nTnd ,Tn2224 ,Tnnn22224 ,mAcn22 ,gPcAn2222

4、2,TgPcATd2222222244 ,TTgATTPcdd2222 ,xtxmActxn0dd2dd222 (1).(1).无阻尼的自由振动无阻尼的自由振动tsinvtcosxxnnn 00 ,kmgs ,kxmg)x(ktxms 22dd,mkn 2,xtxn0dd222 ,xmktx0dd22 Ftsinctcoscx:nn 21 解解初始条件：初始条件：t=0,x=x0,v=v0,tcosctsincxnnnn 21 ,cx10,cxvn 20 ,cvn20 ymgxk sx周期周期,Axsin0 ,Avcosn 0,)v(xAno202 ,vxarctgn00 ,fTn12 ,gp

5、gpmkststn ),Tt(x)t(xxtAtt+T频率频率园频率园频率简谐振动简谐振动tsinvtcosxxnnn 00 ),atsin(An nv0Ax0)tsincostcos(sinAnn 例例15-215-2 一地震仪中的摆振系统，摆长为一地震仪中的摆振系统，摆长为L，弹簧刚性因数为弹簧刚性因数为k，安置在距离安置在距离o为为a的位置，小球连杆的转动惯量为的位置，小球连杆的转动惯量为J0。求：水平求：水平位置的振动微分方程位置的振动微分方程水平位置水平位置a)aa(kmgLJs 02ak ,n02 mgLkaJ 20,JmgLkan02 解：解：02Jka,n02 ,Jkan022

6、 垂直位置垂直位置mgkaL mgFFmgkaL o(2).(2).二种情况弹簧联接二种情况弹簧联接一一.串联串联,kmgs11 21sss kmgkmgkmg 21,kkk21111 ,kkkkk2121 二二.并联并联,kFs111 12FFmg 2211sskk sk ,kmgs22 222skF mg S S1 S221kkk mgF1 S2 S1F2例例15-3 15-3 建立图示建立图示旋转轴的扭振方程。旋转轴的扭振方程。解：解：nktJ 220dd,tn0dd222 ,Jknn0 kn例例15-4 15-4 轮船的质量轮船的质量m=20000t，其在水面附近水平截面积为其在水面附

7、近水平截面积为2300m2。求：船在静水中作铅垂自由振动的周期求：船在静水中作铅垂自由振动的周期。海水密度海水密度:Fmgxm )FF(mg 0gAx ,xmAgx0 ,s.AgmT8752 F=(F0+F)xmg应使船的自振频率远离海应使船的自振频率远离海洋波浪频率。洋波浪频率。解：解：(3).(3).固有频率的能量法固有频率的能量法能量守恒能量守恒)atsin(Axn ),atcos(Axnn )at(cosAmmvTnn 22222121,AmTnmax2221 :)t(x时时00 0 TAx时，时，,kAkxVmaxmax222121 ,VTmaxmax,mkn mgxkT=0,Vma

8、xV=0,Tmax0A例例15-5 15-5 质量为质量为m，回轮半径为回轮半径为 的轮子，在水平面作纯滚动，的轮子，在水平面作纯滚动，受一弹簧拉紧后。求：其固有频率。受一弹簧拉紧后。求：其固有频率。解：解：mmRa 221 kVmax 2221m)Ra(k 2021mmaxJT ,)mRm(m22221 ,)Ra(k)mRm(mm222222121 )atsin(An )atcos(Ann ,mnm ,mkRRan22 微振动微振动,VTmaxmax kaR例例15-6 15-6 图示振动系统中，摆杆图示振动系统中，摆杆AO对对0摆动，在摆动，在A，B处安置各处安置各一个弹簧。求：作微振的固

9、有频率。一个弹簧。求：作微振的固有频率。解解:)sin(atAn,maxnmax ,mlTmaxmax22321 ,)a(k)l(kVmaxmaxmax22212121 222213ml)aklk(n ,VTmaxmax F2F1mgk2al k1例例15-715-7 一车下滑撞向弹簧，求：最大振幅。一车下滑撞向弹簧，求：最大振幅。解：解：,sinmgk 0kxsinmg)x(kxm 0 0 kxxm ,sinkPx 0,mkn 2,kgTn 2 m/khg)sinkP(A22 ,ghv20 k hmgmgxk(0+x)a例例15-8 15-8 图示无重杆，通过弹簧悬挂重量图示无重杆，通过弹簧

10、悬挂重量P的物体，求：的物体，求：摆动方程。摆动方程。解：解：221xmT,)ax(k)b(kV212222 ,xmxTt dd),ax(kxV 1),a)(ax(kbkV 122,bkakaxk22211 02221221 xbkakbkkxm ,Tt0dd mgk1abk2x 例例15-9 15-9 m1的物体从的物体从h h高度落下，撞到高度落下，撞到m后塑性碰撞，求：后塑性碰撞，求：此后一起运动规律此后一起运动规律。碰撞定理：碰撞定理：解：解：,u)mm(hgm0112 ,mmhgmu 1102,kx)mm(x01 ,mmkn 12 tmmksin)mm(kghm 1112)tsin(

11、Axn ,)mm(kghm112 ,vxarctgn000 202)v(xAno x0=0(碰撞时位移、重力不计碰撞时位移、重力不计)m1m例例15-10 15-10 长为长为L的刚杆，一端铰连的刚杆，一端铰连O，另一端连小球。在杆的另一端连小球。在杆的a处处连弹簧，阻尼器各一个。求：临界阻尼因数。连弹簧，阻尼器各一个。求：临界阻尼因数。,nn ,cakaPLmL 222 02222 )mLkaLg(mLca,mLcan222 ,mLkaLgn222 ,nn1 ,mLkaLgmLca22222 ,mkagLmaLc2222 解：解：mgkaL mg微振动微振动15-2 15-2 单自由度受迫振

12、动单自由度受迫振动,tsinHF:干扰力干扰力mHh ,tsinhxxnxn 22 21xxx ),tsin(bx 2),tcos(bx 2),tcos(bx 22,cosh)(bn 22,sinhnb 2,4n)(hb2222n2,ntgn222 )tsin(b)tcos(bn)tsin(b)tcos(sinhcos)tsin(h)tsin(htsinhn 222x1通解通解,x2特解特解,x全解全解.,hbsin 02mgxkcFkFctsinHF瞬态解瞬态解+稳态解稳态解 ,n).(n小阻尼小阻尼 1),bsin()tnsin(Aex22nntt),(n).(n临界阻尼临界阻尼 2),t

13、sin(b)tcc(exnt 21),(n).(n大阻尼大阻尼 3),tsin(b)tn(shAexnnt 22,t)bsin()tsin(Aexdnt2222411)()n()(hnnnn 22202411 )(b,tg212 ,kHkmmHhbn 20,nn ,n ,)(bb22202411 222224 n)(hbn ,ntgn222 频率比频率比.阻尼比阻尼比,静变形静变形,放大系数放大系数 ,n).(n小阻尼小阻尼 1无动力效应无动力效应,n211 ,),().(n1001 0 ),().(n 102,ntg,bn 222 ),().(013 ),tsin(hxn 222,),().

14、(nn 14,.共振区共振区251750 ,n ,tcostcx 2,tcostbx 202 一一.无阻尼无阻尼),().(n 11,n ,b,).(减少减少增加增加 2.).(13 处，处，是是,0ddn ,2021 ,max2121 减弱共振：减弱共振：一一.清除振源清除振源,二二.n远离远离,三三.增大阻尼增大阻尼二二.有阻尼有阻尼,)(bb22202411 例例15-11 15-11 质量为质量为250250kgkg马达，放在水平梁上，因安装不善产生偏心，马达，放在水平梁上，因安装不善产生偏心，相当于在轴相当于在轴e e=250cm=250cm 处加有处加有3030g g的质量块，已知

15、梁由于马达重量引的质量块，已知梁由于马达重量引起的静位移为起的静位移为0.550.55cmcm。求：求：1 1）发生共振的马达转速。）发生共振的马达转速。2 2）转速为）转速为800800r/minr/min时，受迫振动的振幅。时，受迫振动的振幅。解：解：,stmgk tsinemkxxm 21 ,s/.mkn1242 ,n ,/nk分分转转40330 ,memh21 ,cm.hbn32210024 ,s/.138330800 ktsinemH21例例15-1215-12 客车在水平路面行驶，现将整个车体简化为轮客车在水平路面行驶，现将整个车体简化为轮A上装上装置重为置重为W的物块的物块B，于

16、某瞬时由水平路面进入按于某瞬时由水平路面进入按y1=dsin/lx1规规律的路面匀速行驶。求：律的路面匀速行驶。求：1）物块）物块B的强振稳态方程的强振稳态方程,2）轮）轮A的临界速度。的临界速度。解：解：vtx 1,kyygW ,tlvsinWkdgyWkgy ,Wkgn ,Wgkdh tsinhyn 22 ,tlvsinLvWkgW/kdg lv ,n ,mklvcr ,yyy1 xlsindy 1,tlvsind y强振稳态方程强振稳态方程临界临界速度速度例例15-1215-12A A 增加阻尼器后。求：增加阻尼器后。求：1）物块）物块B的强振稳态方程的强振稳态方程,2）轮轮A的临界速度

17、。的临界速度。解：解：附加阻尼器附加阻尼器:,)yy(k)yy(cym011 ,kyyckyycym11 ,vtlcosvly d1,tsinmkdtcosmlvcdymkymcy )tsintcosn(dn 22 )tsin(A 1,ndAn22414 ,ntgn22 y dn2A1d n2,n)(Abn2222214 ,ntgn222 ),tsin(by ,mknnn 221212220 ,mcklvcr22 临界临界速度速度kWkABaab例例15-1315-13 重物重物W可绕固定支座摆动，每根弹簧刚度因数为可绕固定支座摆动，每根弹簧刚度因数为k，当当重物在铅直位置平衡，每根弹簧受到压

18、力重物在铅直位置平衡，每根弹簧受到压力Fs,W可看成集中一点可看成集中一点的质点。求：的质点。求：1).重物重物W的微振动频率的微振动频率f,2).增加阻尼器和振动力增加阻尼器和振动力偶偶M后的振动方程后的振动方程。解：解：,FakFsB ,FakFsA ,gWb)Wbka(0222 ,)Wbka(bgf12212 tsinHcakaWbbgW 222,tsinWbHggWb)bWka(Wbcga 22222 ),tsin(b ,n)(hbn222224 cM=Hsin t,Wbcgan222 ,gWb)bWka(n22 ,WbHgh2 例例15-14 15-14 推导图示振动系统做微振动时的微分方程与解。推导图示振动系统做微振动时的微分方程与解。解：解：,tsinlmecakaJA 1222 ,tsinmlmemlkamlca 122222 ,)mlca(mlkad222222 ,Td 2 tsinb ,n)(hbn222224 2222222221224 )mlca()mlka(mlme ,mlcan222 ,mlkan22 ,mlmeh12 cF=e 2 2m1kBalA t,mlJA2