数学分类讨论思想课件.ppt

1、v分类讨论思想，就是把要研究的数学对分类讨论思想，就是把要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的类象按照一定的标准划分为若干不同的类别，绕后逐类进行研究、求解的一种数别，绕后逐类进行研究、求解的一种数学解题思想。分类思想的学解题思想。分类思想的实质实质是按照数是按照数学对象的共同性和差异性，将问题划分学对象的共同性和差异性，将问题划分为不同的种类，其为不同的种类，其作用作用是克服思维的片是克服思维的片面性，防止漏解。面性，防止漏解。v引起分类讨论引起分类讨论主要原因主要原因：（：（1）概念本）概念本身是分类定义的。身是分类定义的。如绝对值、点（直线、如绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系

2、和两圆相切等概念圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；（的分类；（2）某些公式、定理、性质、）某些公式、定理、性质、法则的条件和范围是限制的法则的条件和范围是限制的;（3）含有）含有字母系数的问题，需对该字母的不同取字母系数的问题，需对该字母的不同取值范围进行讨论；值范围进行讨论；v（4）题设的数量大小或关系确定，而）题设的数量大小或关系确定，而图形的位置或形状不确定图形的位置或形状不确定(5)题目条件和题目条件和结论的不唯一；结论的不唯一；解答分类讨论型问题的解答分类讨论型问题的关键关键是要有分类讨是要有分类讨论的意识，克服想当然的错误习惯，注意论的意识，克服想当然的错误习惯，注意分类可

3、能导致问题发生质的变化的各种情分类可能导致问题发生质的变化的各种情况。解答分类讨论型问题的况。解答分类讨论型问题的一般步骤一般步骤是：是：（1）确定分类对象；）确定分类对象；（2）进行合理分类（理清分类的界限，）进行合理分类（理清分类的界限，选择分类标准，并做到不重复、补遗漏）选择分类标准，并做到不重复、补遗漏）;（3）逐类进行讨论）逐类进行讨论（4）归纳出结论）归纳出结论分类讨论型问题常与开放探究型问题综分类讨论型问题常与开放探究型问题综合在一起，不论是在分类中探究，还是合在一起，不论是在分类中探究，还是在探究中分类，都需要具备扎实的基础在探究中分类，都需要具备扎实的基础知识和灵活的思维方式

4、，对问题进行全知识和灵活的思维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。分面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。分类讨论是中学数学中常用的一种数学思类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法，它能考查学生的综合的数学知想方法，它能考查学生的综合的数学知识和灵活的应用能力，因此，分类讨论识和灵活的应用能力，因此，分类讨论型问题也是型问题也是中考命题中考命题的的热点热点之一，常出之一，常出现在中考数学的压轴题中。现在中考数学的压轴题中。问题所涉及到的数学概念是分类问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的进行定义的.如如|a|的定义分的定义分a0、a0、a2时分时分a0、a0和和a0三种情况讨论三种情

5、况讨论.这称为含参型这称为含参型.例例4、已知、已知Aa 2，Ba 2a5，Ca 25a19，其中，其中a2求证：求证：BA0，并指出，并指出A与与B的大小关系；的大小关系；指出指出A与与C哪个大？说明理由哪个大？说明理由解解:(1)BA（a1）2+2 0BA（2）CA（a7）(a3)a2，a70当当2a3时，时，AC 当当a3时，时，AC 当当a3时，时，AC某些不确定的数量、不确定的图某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论形的形状或位置、不确定的结论等，都要通过分类讨论，保证其等，都要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性完整性，使之具有确定性.1、已知 O的半径为5

6、cm，AB、CD是 O的弦，且AB=6cm，CD=8cm，ABCD，则AB与CD之间的距离为 。7cm或或1cm2、在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别是 、，则BAC的度数是 。32150或7503、ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，若BC=2 cm,则 A的度数是 。600或1200例例5 5BBACDDCAOO7 7、矩形一个角的平分线分矩形一边为、矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm1cm和和 3 cm3 cm两部分两部分，则这个矩形的面积为，则这个矩形的面积为 。1133314cm2或或12cm25、半径为3cm、5cm的两圆相切，则它们的圆心距为 。8cm或或2cm4若 O

7、的弦 AB所对的圆心角AOB=60，则弦 AB所对的圆周角的度数为 。6、已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是_1或5300或15008、矩形ABCD，AD=3，AB=2，则以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为_ .16或21例例6 6：1 1、如图，线段、如图，线段ODOD的一个端点的一个端点O O在在直线直线a a上，以上，以ODOD为一边画等腰三角形，为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线并且使另一个顶点在直线a a上，这样的上，这样的等腰三角形能画多少个等腰三角形能画多少个?150a2、在直角坐标系中，、在直角坐标系中，O为坐标原点，为

8、坐标原点，已知已知 A（1，1），在），在x轴轴上确定点上确定点P，使得使得AOP为等腰三角形，则符合条为等腰三角形，则符合条件的件的P点共有点共有 个个4yoxA(1,1)P1(2,0)P3(,0)2P2(-,0)2P4(1,0)1-1-111）、对）、对A进行讨论进行讨论2）、对）、对B进行讨论进行讨论3）、对）、对C进行讨论进行讨论CABACB20202020CAB5050CAB808020CAB656550CAB3535110B BA AC C50501101102020例例7、在下图三角形的边上找出一点，使得、在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！该点与

9、三角形的两顶点构成等腰三角形！例例8 8、在、在ABCABC中，中，C=90C=900 0，AC=3AC=3，BC=4BC=4。若以为圆心，为半径的圆与斜边只有一个若以为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，则公共点，则R R的值为多少？的值为多少？ACBBACCBA分析（1）圆C与斜边斜边AB相切时，相切时，R=2.4（2）圆）圆C与斜边与斜边AB相交时，一个交点在线段相交时，一个交点在线段AB上，上，另一个交点在延长线上。另一个交点在延长线上。3R4例例9、半径为、半径为R的两个等圆外切，则半径为的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个？且和这两个圆都相切的圆有几个？例例1

10、010、在劳技课上，老师请同学们在一张、在劳技课上，老师请同学们在一张长为长为17cm17cm，宽为，宽为16cm16cm的长方形纸板上，剪的长方形纸板上，剪下一个腰长为下一个腰长为10cm10cm的等腰三角形（要求等的等腰三角形（要求等腰三角形的腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点一个顶点与长方形的一个顶点重合重合，其余，其余两个顶点在长方形的边上两个顶点在长方形的边上）请请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积积.1716(1(1）若）若顶角顶角顶点与矩形顶点重合顶点与矩形顶点重合如图，当如图，当AE=AF=10时时,SAEF=1010=50(cm2)1

11、2CBDA1716EF(2(2）若）若底角底角顶点与矩形顶点重合顶点与矩形顶点重合CBDAEF如图，当如图，当EA=EF=10时时,BE=6,BF=8,SAEF=108=40(cm2)1222106CBDAEF如图，当如图，当EA=EF=10时时,DE=7,DF=,SAEF=10 =5 (cm2)2210751515112CBDA1716EFCBDAEFCBDAEF三角形面积是三角形面积是50cm2、40 cm2、cm25 51例例11：在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像：在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与与 x 轴相交于点轴相交于点A、B，顶点为，顶点为C，点，点D在这个二次在这个

12、二次函数图像的对称轴上，若四边形函数图像的对称轴上，若四边形ABCD是一个边长是一个边长为为2且有一个内角为且有一个内角为60的菱形，求此二次函数的的菱形，求此二次函数的表达式表达式.分析：本题是数量（分析：本题是数量（60的的角）不确定，所以要分类讨论，角）不确定，所以要分类讨论，同时，本题中还涉及到轴对称，同时，本题中还涉及到轴对称，因此有因此有4种情况产生种情况产生.11Oxy解：解：设二次函数的图像的对称轴与设二次函数的图像的对称轴与 轴相交于点轴相交于点E E，（1 1）如图，当）如图，当 时，时，因为因为ABCD菱形，一边长为菱形，一边长为2 2，所以，所以，所以点所以点B的坐标为

13、（的坐标为（，0），），点点C的坐标为的坐标为（1，-1），），解得解得 ，所以，所以 60CAD3BE,1DE 31 31,1ak 11x31y2 EOCDxyAB图图x（2 2）如图，当）如图，当 时，由菱形性质知点时，由菱形性质知点A A的坐标为的坐标为（0，0），），点点C的坐标为（的坐标为（1，），），解得解得 所以所以 同理可得：同理可得：所以符合条件的二次函数的表达式有：所以符合条件的二次函数的表达式有：60ACB33a,3k 31x3y2 31x3y,11x31y22 11x31y2 31x3y2 31x3y,11x31y22 EOCDxyAB图图在有关动点的几何问题中，由于图

14、形在有关动点的几何问题中，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解换句话说，都分别进行研究和求解换句话说，分类思想在动态问题中运用最为广分类思想在动态问题中运用最为广泛泛CADB例例1212、如图、如图,在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB=20,AB=20厘米厘米,BC=4,BC=4厘米厘米,点点P P从点从点A A开始沿折线开始沿折线ABCDABCD以以4 4厘米厘米/秒的速秒的速度移动度移动,点点Q Q从点从点C C开始沿开始沿CDCD以以1 1厘米厘米/秒的速度移秒的速

15、度移动动,如果点如果点P P和和Q Q分别从点分别从点A A、C C同时出发同时出发,当其中一当其中一个点到达个点到达D D点时点时,另一点也随之停止运动另一点也随之停止运动.设运动设运动时间为时间为t t（秒）（秒）.（1 1）当）当t t为何值时，四边形为何值时，四边形APQDAPQD为矩形；为矩形；PQAP=4t,CQ=AP=4t,CQ=t,DQt,DQ=20-t,t=4(=20-t,t=4(秒秒)当当t=4t=4秒时，秒时，四边形APQD为矩形PCQPQPQ（2 2）若）若P P和和Q Q半径都是半径都是2 2厘米厘米,那么当那么当t t为何值时为何值时,P,P和和Q Q相外切相外切?

16、ADBPQPCDBQPQPQPQ当当t=4t=4秒、秒、秒、秒、秒时，秒时，P P和和Q Q相外切相外切203283A例例1313、在矩形、在矩形ABCDABCD中，中，AB=12cmAB=12cm，BC=6cmBC=6cm，点，点P P沿沿ABAB边从点边从点A A出发向出发向B B以以2cm2cm秒的速度移动秒的速度移动;点点Q Q沿沿DADA边边从点从点D D开始向开始向A A以以1cm/1cm/秒的速度移动时，如果秒的速度移动时，如果P P、Q Q同时出发，用同时出发，用t t秒表示移动的时间（秒表示移动的时间（0 0t t6 6）那那么：么：（1 1）当当t t为何值时，为何值时，Q

17、APQAP为等腰直角三角形？为等腰直角三角形？QPADCB解解:(1)(1)AP=2t,DQ=AP=2t,DQ=t,QAt,QA=6=6，当当=AP=AP时，时，QAPQAP为等腰直为等腰直角三角形，角三角形，即即6 6t=2t,t=2t,解得解得t=2t=2（秒）秒）当当t=2秒时，秒时，QAPQAP为等腰直为等腰直角三角形。角三角形。（2 2）在）在QACQAC中，中，S=QADC=S=QADC=（6 6t)12=36t)12=36 在在APCAPC中，中，S=APBC=S=APBC=S S QAPCQAPC的面积的面积=（6t)+6t=36(cm6t)+6t=36(cm2 2)由计算结果

18、发现：在由计算结果发现：在P P、Q Q两点移动的过程中，四边形两点移动的过程中，四边形QAPCQAPC的面积始终的面积始终保持不变保持不变。21212121QPADCB在矩形在矩形ABCDABCD中，中，AB=12cmAB=12cm，BC=6cmBC=6cm，点，点P P沿沿ABAB边从点边从点A A出发出发向向B B以以2cm2cm秒的速度移动秒的速度移动;点点Q Q沿沿DADA边从点边从点D D开始向开始向A A以以1cm/1cm/秒秒的速度移动时，如果的速度移动时，如果P P、Q Q同时出发，用同时出发，用t t秒表示移动的时秒表示移动的时间（间（0 0t t6 6）那么：那么：（2

19、2）求四边形求四边形QAPCQAPC的面积的面积,并提出并提出一个与计算结果有关的结论；一个与计算结果有关的结论；QPADCB（3）根据题意，可分为两种情况来研究）根据题意，可分为两种情况来研究当当 =时，时，QAPABC，则则 =，解得，解得t=1.2（秒）。（秒）。当当t=1.2秒时，秒时，QAPABC。当当 =时，时，PAQABC，则则 =，解得，解得t=3（秒）。秒）。当当t=3秒时，秒时，PAQABC。ABQABCAPBCQAABAP126 t62t5666 t122t当当t=1.2t=1.2秒或秒或t=3t=3秒时，以点秒时，以点Q Q、A A、P P为顶点的三角形与为顶点的三角形

20、与ABCABC相似。相似。在矩形在矩形ABCDABCD中，中，AB=12cmAB=12cm，BC=6cmBC=6cm，点，点P P沿沿ABAB边从点边从点A A出发出发向向B B以以2cm2cm秒的速度移动秒的速度移动;点点Q Q沿沿DADA边从点边从点D D开始向开始向A A以以1cm/1cm/秒秒的速度移动时，如果的速度移动时，如果P P、Q Q同时出发，用同时出发，用t t秒表示移动的时秒表示移动的时间（间（0 0t t6 6）那么：那么：（3 3）当当t为何值时，以点为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABC相似？相似？CBCDC901612，BQP例例14.如图所

21、示，在直角梯形如图所示，在直角梯形ABCD中，中，AD/BC，AD=21。动点。动点P从点从点D出发，沿射线出发，沿射线DA的方向以每秒的方向以每秒2个单位长个单位长的速度运动，动点的速度运动，动点Q从点从点C出发，在线段出发，在线段CB上以每秒上以每秒1个单位长个单位长的速度向点的速度向点B运动，点运动，点P，Q分别从点分别从点D，C同时出发，当点同时出发，当点Q运运动到点动到点B时，点时，点P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。（随之停止运动。设运动的时间为（秒）。（1）设设BPQ的面积为的面积为S，求，求S与与t之间的函数关系式；之间的函数关系式；（2）当线段）当线段PQ与线段与线段AB

22、相交于点相交于点O，且，且BO=2AO时，求时，求（3）当）当t为何值时，以为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等三点为顶点的三角形是等腰三角形？腰三角形？的正切值；的正切值；(4)是否存在时刻是否存在时刻t，使得，使得PQBD？若存？若存在，求出在，求出 t的值；若不存在，请说明理由。的值；若不存在，请说明理由。PM BCPMDCQBtStt12161121216966()解：（解：（1）如图）如图1所示，过点所示，过点P作，作，垂足为垂足为M，则四边形，则四边形PDCM为矩形。为矩形。558,16)212(216212ttttBQtAP，OAPOBQAPBQAOOB12（2）如图）如

23、图2所示，由所示，由 得：得：2930tan,293012tan,2BQPQPEBQPtPEQEQPEPEQRttPEtQCEDtPDEADQEQ中，在，垂足为作过点图图图图三三角角形形是是等等腰腰三三角角形形。三三点点为为顶顶点点的的、秒秒时时，以以秒秒或或当当综综合合上上面面的的讨讨论论可可知知：不不符符合合题题意意，舍舍去去）解解得得，整整理理得得：得得：，由由若若。无无实实数数根根，即即得得：（由由）（中中，。在在若若解解得得得得：由由中中，。在在若若可可分分为为三三种种情情况况；等等腰腰三三角角形形，三三点点为为顶顶点点的的三三角角形形是是、若若可可知知：）由由图图（QPBttttt

24、tttPQPBPQPBBQPBttttttBQBPtBPPMBRtBQBPtttBQPQtPQPMQRtBQPQQPBtCQtPDCM31627(16,316,0256643,12)216(120144323,0704,0144323,)16(12)21612216.27,)16(12.12,213212222222222222222222222222 图图1小小 结结 分类讨论的思想方法分类讨论的思想方法 实质：实质：是根据数学对象的共同性和差异是根据数学对象的共同性和差异性，将其分为性，将其分为 不同种类的思想方法；不同种类的思想方法；作用：作用：能把较复杂的、陌生的问题转化成能把较复杂的、陌生的问题转化成几个较简单的问题，可考察学生思维的周密几个较简单的问题，可考察学生思维的周密性，克服思维的片面性；性，克服思维的片面性；原则：原则：(1)(1)分类按同一个标准；分类按同一个标准；(2)(2)各部分之间相互独立；各部分之间相互独立；(3)(3)分类讨论应逐级进行分类讨论应逐级进行