梁的弯曲应力课件.ppt

1、樑的種類12-1凡能承受與其軸方向垂直之橫向負荷的構件，均稱為樑（beam），其主要產生之內力有剪力及彎曲力矩兩種。一般依照其支承方式之不同，可分為下列六種。樑的種類12-11.1.連續樑連續樑（continuous beam）樑上有三個或以上之支承者稱之。如圖所示，樑之一端為銷支承，以符號 表示；而另一端為輥支，以符號 或 表示。樑的種類12-12.2.束限制樑束限制樑（restrained beam）如圖所示，一端為固定支承，而另一端為輥支承。3.3.固定樑固定樑 (fixed beam)如圖所示，樑之兩端均為固定支承。樑的種類12-14.4.簡支樑簡支樑（simply supported

2、 beam）亦稱簡單樑或單樑，如圖（a）所示。銷支承可支持各方向的作用力，其特性在於限制樑不可以作水平或垂直方向的平移，但可自由轉動；是以，其具有水平與垂直方向之反力。輥支承僅限制垂直方向的移動，而水平方向不受限制，故只有垂直方向之反力，如圖（b）所示。樑的種類12-1樑的種類12-15.5.懸臂樑懸臂樑（cantilever beam）亦稱肱樑，如圖（a）所示，樑之端為固定支承，而另一端無支承。在固定支承處，樑不能移動也不能旋轉，故具有垂直、水平方向之反力及固定端之反力矩，如圖（b）所示。如圖所示，樑之處為銷支承，另一處為輥支承，而樑有一端或兩端伸出支承之外，故得其名。6.6.外伸樑外伸樑（

3、overhanging beam）樑的種類12-1樑的種類12-11.1.無負荷無負荷（no load）2.2.集中負荷集中負荷（concentrated load）樑係支承橫向負荷的構件，而其負荷相當複雜，一般可將其歸納成五種基本型態，任一樑可能僅支承一種負荷，亦可同時支承幾種負荷。當負荷集中作用於樑上之一點，稱為集中負荷，如右圖所示之 P。樑本身重量較其所承受之負荷為甚小時，樑重可忽視；而樑上無分布力（=0）作用之部位，即為無負荷。樑的種類12-1 當負荷係均勻地作用於樑上某一段長度或全長時，稱為均布負荷。單位長度上之負荷，以表示之，其單位為 N/m，如圖所示。3.3.均布負荷均布負荷（u

4、niformly distributed load）圖12-8均布負荷樑的種類12-1 凡不是均布負荷，皆可稱為變化負荷。通常係線性變化負荷，即均變負荷，如圖所示。4.4.變化負荷變化負荷（varying load）圖12-9線性變化負荷樑的種類12-1即樑承受外加力偶作用，如圖12-10所示。由於力偶作用在樑上而使樑有彎曲變形的趨勢，故又稱為彎曲負荷；通常此種負荷可視為集中作用於樑上某固定點。5.5.力偶負荷力偶負荷（couple load）圖12-10力偶負荷樑的種類12-1樑承受負荷時，其支承必產生反作用力，以維持樑之平衡。對於靜定樑，其支承之反力可直接由靜力學之平衡方程式求解。一般而言

5、，樑支承之反力求解步驟如下：(1)繪製樑之自由體圖，標出樑所有承受之外加負荷及支承之未知反力。(2)樑上有均布負荷、變化負荷作用時，須先將其以一等效之集中負荷取代之；此等效集中負荷之大小等於該原負荷曲線下之面積，其作用點則設於此面積的形心，如圖12-11所示。樑的種類12-1圖12-11等效集中負荷樑的種類12-1(3)列出樑之自由體圖的平衡方程式：Fx=0、Fy=0 及 M=0，可求得樑支承 之未知反力。(4)解聯立方程式。圖12-11等效集中負荷樑的種類12-1樑的種類12-1剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2 由靜力學之觀念構件平衡時，其上任一部分必平衡，故當一平衡之樑上，其任一剖面，必

6、有一與剖面平行之力，稱為剪力（V）；及一與剖面垂直之彎曲力矩，稱為彎矩（M），如圖12-16 所示。剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2圖12-16樑之剪力及彎矩剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-21.剪力及彎曲力矩的計算2.剪力圖及彎矩圖之繪法3.樑之危險截面1.剪力及彎曲力矩的計算剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2(1)(1)剪力之計算剪力之計算作用於樑剖面任何一側之外力代數和，稱為作用於該剖面之剪力，且規定剖面左側力量向上或右側力量向下之剪力為正，反之為負，如圖12-17所示。以左側而言，V1=RA P1以右側而言，V2=P2 RB且 V1=V2圖12-17剪力剪力及彎曲力矩的計算及圖解12

7、-2剖面左、右側之剪力大小相等，方向相反，如圖12-16（b）所示。圖12-16樑之剪力及彎矩剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2(2)(2)彎矩之計算彎矩之計算作用於樑任何一側之所有外力對剖面所生力矩之代數和，稱為作用於該剖面之彎矩，且規定對該剖面左側產生逆時針方向或右側產生順時針方向之彎矩為正，反之為負，或說樑凹面向上變曲為正，凹面向下變曲為負，如圖12-18所示。以左側而言，M1=RA x P1(x a)以右側而言，M2=RB(x)P2(x b)且 M1=M2ll圖12-18彎矩剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2 剖面左、右側之彎矩大小相等，方向相反，如圖12-16（b）所示。圖12-16

8、樑之剪力及彎矩剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2綜合以上所述，剪力（V）及彎矩（M）之符號可以圖12-19所示之情形熟記。圖12-19剪力及彎矩之符號剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-22.剪力圖及彎矩圖之繪法0 x1 a 時為 V1 及 M1；a x2 b 時為 V2 及 M2；b x3 c 時為 V3 及 M3；c x4 d 時為 V4 及 M4。圖12-23樑承受不連續負荷剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-21.一般繪製剪力圖及彎矩圖之步驟如下。(1)先由靜

9、力平衡方程式求出樑支承之反力。(2)寫出各段之剪力及彎曲力矩方程式。(3)求出各特殊點之剪力及彎矩值。（剪力圖面積=彎矩值之大小）(4)依方程式之特性及特殊點之值，繪出剪力圖 及彎矩圖。1.剪力圖：一律由左端開始畫；正值在橫軸線上方，負值在橫軸線下方。(1)彎矩圖：簡支樑由左端開始畫，懸臂樑由自由端開始畫。2.各種負荷狀態及其剪力圖與彎矩圖之關係，如下表。剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-23.剪力圖及彎矩圖的觀察法，其步驟如下。(1)求樑上各支承的反作用力。(2)決定不連續變化點的剪力值。(3)繪出各不連續變化點的剪力值間之剪力曲線，即可得剪力圖。由前述各例歸

10、納可知在某兩集中負荷間承受零負荷，則其剪力圖為水平直線。樑上承受垂直向下之均布負荷時，則剪力圖為一負斜率之斜直線，而此斜率大小等於均布負荷之強度。樑上承受垂直向下之均變負荷時，則剪力圖為開口向下的拋物線。剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2(4)由剪力圖面積及樑上力偶矩值，決定變化點之彎曲力矩值。先計算各剪力曲線下之面積。樑在力偶作用處產生一彎曲力矩跳躍現象。由左向右繪製彎矩圖。(5)繪出各變化點之彎曲力矩值間之彎矩曲線，即可得彎矩圖。由前述各例歸納可知 樑上無分布力時，彎矩為斜直線，彎矩將依距離之不同做直線變化，此段斜率等於該段剪力值。剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2 樑上承受集中負荷時，彎

11、矩圖在該點出現轉折點。樑上承受垂直向下均布負荷時，彎矩圖為開口向下之拋物線，其斜率等於該點之剪力值。樑上承受垂直向下均變負荷時，彎矩圖為開口向下之三次曲線，其斜率等於該點之剪力值。(6)畫圖技巧：水平直線 傾斜直線 二次拋物線三次拋物線。剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-23.樑之危險截面茲就梁之危險截面求得方法，略述如下：(1)繪出樑之剪力圖及彎矩圖，並判斷剪力等於零之各截面，其中彎矩之絕對值最大的部位即為危險截面。(2)亦可列出樑之剪力方程式，而令此式為零，求得剪力等於零之截面，其中彎矩之絕對值最大者，即為危險截面。然樑上若有力偶作用，則此法不適用。剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎

12、曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2懸臂樑承受各種基本負荷之剪力圖

13、及彎矩圖剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2懸臂樑承受各種基本負荷之剪力圖及彎矩圖剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2懸臂樑承受各種基本負荷之剪力圖及彎矩圖懸臂樑承受各種基本負荷之剪力圖及彎矩圖剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2剪力及彎曲力矩的計算及圖解12-2樑的彎曲應力12-3圖12-35承受純彎曲之樑樑的彎曲應力12-3圖12-36純彎曲之樑樑的彎曲應力12-3圖12-37中立面與中立軸 在

14、比例限度內，樑承受純彎曲後，因應力與應變成正比，故作用於截面的彎曲應力與至中立面的距離 y 成正比，如圖12-38所示，即樑的彎曲應力12-3圖12-38彎曲應力之分布樑的彎曲應力12-3圖12-39彎曲應力樑的彎曲應力12-3樑的彎曲應力12-3樑的彎曲應力12-3樑的彎曲應力12-3樑的彎曲應力12-3樑的彎曲應力12-3樑的彎曲應力12-3樑的彎曲應力12-3樑的剪應力12-4圖12-45樑內之剪應力樑的剪應力12-4圖12-46樑內水平剪應力樑的剪應力12-4圖12-47樑內剪應力樑的剪應力12-4 如 i、j 分別為圖12-47（d）中的分離體圖在距中立面 yi 處左、右兩側的彎曲應

15、力，則由應力之基本定義可得其次，由彎矩應力之分布，可知又因 ，即IMy 樑的剪應力12-4由是以，樑的剪應力12-4樑的剪應力12-4如圖12-48 所示，為一矩形截面樑 b h，離中立軸為 y1 之斜面積 A 所生的剪應力，由圖可知。圖12-48樑剪應力的分布樑的剪應力12-4 由可知為一拋物線函數，即剪應力呈拋物線函數變化，如圖12-48（b）所示，在中立軸為最大，上下兩緣為最小，且皆為零。樑的剪應力12-4由上述可知，矩形截面樑在中立軸上之最大剪應力為如 A=bh，則故矩形截面樑的最大剪應力為其平均剪應力的矩形截面樑的最大剪應力為其平均剪應力的 1.5 倍。倍。樑的剪應力12-4又如圖1

16、2-48（a）（b）所示，圓形截面樑在中立軸上的最大剪應力為圖12-49樑剪應力的分布樑的剪應力12-4樑的剪應力12-4另外 I 形截面樑及 T 形截面樑剪應力的分布情形，如圖12-50（a）（b）（c）（d）所示。圖12-50樑剪應力的分布樑的剪應力12-4樑的剪應力12-4樑的剪應力12-4樑的剪應力12-4樑的剪應力12-4樑的剪應力12-4採用複雜斷面的理由12-5採用複雜斷面的理由12-5茲先列舉正方形截面與圓形截面，在相同截面積下，比較其截面係數，則式中，b 為正方形截面的邊長，d 為圓形截面的直徑。是以，正方形截面的截面係數為採用複雜斷面的理由12-5而圓形截面的截面係數為 （

17、a）、（b）兩式相比較可知，正方形截面與圓形截面的截面積相同時，正方形截面的截面係數較大；又（a）、（b）兩式相比較可知，若截面係數相同時，正方形截面的截面積較小。故選擇正方形截面樑較為經濟。採用複雜斷面的理由12-5 另探討長方形（矩形）截面的截面係數，設其寬度為b，高度為h，如圖12-55（a）所示，則圖12-55理想截面之設計由（c）式可知，相同截面積的各種矩形截面，高度 h 較大者，其截面係數愈大。因此，選擇h b 的矩形截面比相同截面積的正方形截面較為經濟。其次，由彎曲應力的分布情形，如圖12-38所示可知，樑的最大彎曲應力均產生在距中立軸最遠的範圍內，且與中立軸的距離成正比。採用複

18、雜斷面的理由12-5圖12-38彎曲應力之分布採用複雜斷面的理由12-5圖12-55理想截面之設計但此種理想截面無法存在，必須在中間加一腹板方能成形，如圖12-55（c）、（d）所示，為寬翼形截面及 I 形截面，此種截面的截面係數約為Z0.35Ah (e)採用複雜斷面的理由12-5圖12-55理想截面之設計採用複雜斷面的理由12-5顯然地，寬翼形截面與 I 形截面又比矩形截面更為經濟。是以，工程上為配合各種不同的需求，而有各種標準型鋼可供選用，如圖12-56所示。圖12-56標準型鋼截面採用複雜斷面的理由12-5最後，對於抗張與抗壓強度相同的材料，在承受彎曲時，為使最大張應力與最大壓應力同時達

19、到容許應力，宜選用上下成對稱的截面，如圖12-57（a）、（b）、（c）所示截面。圖12-57各種截面樑之選用採用複雜斷面的理由12-5但對於抗壓強度大於抗張強度的材料，如鑄鐵及混凝土等，則宜選用上下不成對稱的截面，如圖12-57（d）、（e）、（f）所示截面，以使最大壓應力與最大張應力同時達到容許應力，中立軸至上下兩緣距離之比等於其對應容許應力之比，即圖12-57各種截面樑之選用採用複雜斷面的理由12-5由以上之原因，設計鋼樑之截面時，很少選擇長方形、圓形或方形截面，而多使用 I 字形、T 字形、L 字形、槽形、箱形等複雜截面，可獲得較大的 Z 值，而使 較小。採用複雜斷面的理由12-5採用複雜斷面的理由12-5採用複雜斷面的理由12-5採用複雜斷面的理由12-5截面之方向與強度的關係12-6若將樑截面上離中立軸較遠的一邊，置於水平位置時，則樑截面的高大於寬，其截面係數與高度的平方成正比，故抵抗彎曲力矩必較大，即樑的強度較強。如矩形截面樑，安置短邊與中立軸平行者，較安置長邊與中立軸平行者之強度為強。若為橢圓形截面樑，也是以安置短軸與中立軸平行者之強度為強。截面之方向與強度的關係12-6截面之方向與強度的關係12-6