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1、湍流的数学模型湍流的数学模型报告人：报告人：指导老师：指导老师：中南大学防灾科学与安全技术研究所中南大学防灾科学与安全技术研究所 2019.04ContentsContents湍流导论湍流导论1湍流的数学模型简介湍流的数学模型简介2湍流模型湍流模型RANS3直接模拟直接模拟DNS4大涡模拟大涡模拟LES5湍流燃烧模型简介湍流燃烧模型简介6第第1 1章章 湍流导论湍流导论v 湍流现象描述湍流现象描述 湍流是一种高度复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动。湍流中流湍流是一种高度复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动。湍流中流体的各个物理参数，如速度、压力、温度等都随体的各个物理参数，如速度、压力、温度

2、等都随时间时间与与空间空间发生随机变化。发生随机变化。v 湍流与层流湍流与层流 自然界中的流体流动状态主要有两种形式，即层流自然界中的流体流动状态主要有两种形式，即层流(laminar)和湍流和湍流(trubulence)。层流是指流体在流动过程中两层之间没有相互混掺，而。层流是指流体在流动过程中两层之间没有相互混掺，而湍流是指流体不是处于分层流动状态。一般说来，湍流是普遍的，而层流湍流是指流体不是处于分层流动状态。一般说来，湍流是普遍的，而层流则属于个别情况。则属于个别情况。判断流动是层流还是湍流，是看其雷诺数是否超过判断流动是层流还是湍流，是看其雷诺数是否超过临界雷诺数临界雷诺数。雷诺。雷

3、诺数的定义如下：数的定义如下：式中：式中：V为截面的平均速度；为截面的平均速度；L为特征长度；为特征长度；为流体的运动粘度。为流体的运动粘度。当当Re2000，管内流动保持稳定的层流状态。，管内流动保持稳定的层流状态。VLRe 1.1、湍流的认识、湍流的认识第第1 1章章 湍流导论湍流导论1.1、湍流的认识、湍流的认识葛饰北斋的浮世绘作品葛饰北斋的浮世绘作品神奈川冲浪里神奈川冲浪里 1.1 1.1 湍流的认识湍流的认识v 湍流物理特征湍流物理特征大尺度的涡旋小尺度的涡旋主要由流动边界条件决定，从主流获得能量，是引起低频脉动的原因。由于流体粘性的作用，不断消失，从而产生能量耗散；是引起高频脉动的

4、原因。“随机随机”和和“脉动脉动”是湍流流场的重要的物理特征。是湍流流场的重要的物理特征。1.1 1.1 湍流的认识湍流的认识v Kolmogorow尺度分布理论尺度分布理论 在描述湍流行为的理论中，在描述湍流行为的理论中，Kolmogorov尺度分布理论尺度分布理论 是相当重要也是非常普适的一种。是相当重要也是非常普适的一种。1 Kolmogorow长度尺度长度尺度 湍流能量的耗散发生在小涡结构中，这一最小的湍流流动结构尺湍流能量的耗散发生在小涡结构中，这一最小的湍流流动结构尺寸可用寸可用Kolmogorow长度尺度长度尺度表示：表示：2 Kolmogorow时间尺度时间尺度134Kl12K

5、 Kolmogorow Kolmogorow时间尺度表示最小湍流结构的动量扩散时间，它的定义为时间尺度表示最小湍流结构的动量扩散时间，它的定义为 第第1 1章章 湍流导论湍流导论1.2 湍流的统计平均法湍流的统计平均法 统计平均方法是湍流研究的开始统计平均方法是湍流研究的开始.他将不规则的流场分解为规则的平均场他将不规则的流场分解为规则的平均场和不规则的脉动场，同时也引出了封闭雷诺方程的世纪难题。和不规则的脉动场，同时也引出了封闭雷诺方程的世纪难题。v 湍流的随机性湍流的随机性 统计平均方法是处理湍流流动的基本手段，这是由湍流的随机性统计平均方法是处理湍流流动的基本手段，这是由湍流的随机性所决

6、定的。所决定的。v 研究湍流的统计平均方法研究湍流的统计平均方法 在湍流理论中，有多种统计平均方法。例如时均法、体均法、按在湍流理论中，有多种统计平均方法。例如时均法、体均法、按概率平均法（或称系综平均法）等。下面将分别予以讨论，然后在概率平均法（或称系综平均法）等。下面将分别予以讨论，然后在进行比较。进行比较。1.2 1.2 湍流的统计平均法湍流的统计平均法1 时均法时均法v 时均法的确切定义是：时均法的确切定义是：001()()tTiitu tu t dtT 上式中的速度瞬时值是任一次试验结果任一次试验结果，积分限中的下线 可以任意取，即一次试验中，从任何时候开始都不能影响平均值的结果。当

7、时间间隔T很长时，有：这时，速度时均值不再是时间的函数，这就是雷诺平均雷诺平均。l 应用时均法需满足下列要求：应用时均法需满足下列要求：平均值与平均的起始时刻 及时间间隔 T（只要足够长）无关。而且平均值本身不再是时间的函数，因此，时均法只能用于讨论定常的湍流流动定常的湍流流动。001()lim()tTiitTu tu t dtT1.2 1.2 湍流的统计平均法湍流的统计平均法2 体均法体均法 湍流的随机变量不仅表现在时间上，在空间分布上也具有随机性。湍流的随机变量不仅表现在时间上，在空间分布上也具有随机性。体均值要求与积分体积 的大小及 所处的坐标位置无关。因此严格说来，体均法只适用于描述对

8、体均值而言的均匀的湍流流场均匀的湍流流场。3 概率平均法（概率平均法（系综平均法系综平均法）()1()(,)iitVt d d dV 时均法和体均法只适用于两种特殊状态的湍流，前者适用于定常湍流，后者适用于均匀湍流。对于一般的不定常非均匀流不定常非均匀流，可以采用随机变量的一般平均法，即概率平均法概率平均法。在相同条件下重复重复N次试验次试验，再对此N次试验值取平均。若能对某种湍流找到相应的概率密度概率密度，则湍流问题就可认为已经解决。1pk1limNNkiittVNV1.2 1.2 湍流的统计平均法湍流的统计平均法v 三种平均法之间的关系及各态遍历假说三种平均法之间的关系及各态遍历假说 tp

9、iiiVVV 时均法只适用于定常湍流，体均法只适用于均匀不定常湍流。在什么物理条件下，普遍适用的概率平均值和时均值或体均值等价？各态遍历假说各态遍历假说的思想思想：一个随机变量在重复许多次的试验中出现的所有可能状态，能够在一次试验的相当长的时间或相当大的空间范围内以相同的概率相同的概率出现。各态遍历假说各态遍历假说的结论结论：对于一个满足各态遍历的系统，三种平均值相等在各态遍历假说成立的前提下，可以用时均法用时均法研究不定常流动不定常流动。v 脉动值脉动值随机值与平均值之差称为涨落，在湍流中称为脉动脉动 iiiV tV tV t 脉动值是随机变量，平均值是统计的决定性变量，全部湍流理论湍流理论

10、就是研究脉动值脉动值和平均值平均值之间的互相关系。第第1 1章章 湍流导论湍流导论1.3、湍流的基本方程、湍流的基本方程v 湍流瞬时控制方程湍流瞬时控制方程(包括连续方程、动量方程和能量方程包括连续方程、动量方程和能量方程)可用通用微分方程表示。可用通用微分方程表示。一般认为，无论湍流流动多么复杂，非稳态的连续性方一般认为，无论湍流流动多么复杂，非稳态的连续性方程和程和N-S方程方程(动量方程动量方程)仍然适用于湍流的瞬时流动。仍然适用于湍流的瞬时流动。第第1 1章章 湍流导论湍流导论 iiiuuu1.3、湍流的基本方程（不可压）、湍流的基本方程（不可压）v N-S方程方程平均值与脉动值之和为

11、流动变量的瞬时值平均值与脉动值之和为流动变量的瞬时值 将非稳态N-S方程对时间作平均，即把湍流的运动看成是时间平均时间平均流动与瞬间脉动瞬间脉动流动的叠加叠加：dtttttt1iiiuuuiiiPPPiiiTTT1.3 1.3 湍流的基本方程湍流的基本方程iijijiijijjju uu uuupftxxxxx ijiju u 以上为Reynolds时均方程，引入的Reynolds应力 有6个未知分量，由于雷诺平均方程中未知数个数大大多于方程个数而出现了方程不封闭的问题。必须做假设引入雷诺应力雷诺应力的封闭模型即建立湍流模型湍流模型才能求解出平均流场。v Reynolds时均方程时均方程 0i

12、ixu1.3 1.3 湍流的基本方程湍流的基本方程ijcv 雷诺应力输运方程雷诺应力输运方程上式称为不可压缩湍流的雷诺应力输运方程，方程中各项分别用 ，来表示。ijijPijDijEijcijijPijDijEijc雷诺应力在平均运动平均运动轨迹上的增长率。脉动压强和脉动速度变形率张量相关的平均值，称再分配项再分配项。雷诺应力与平均运动速度梯度的乘积，产生湍动能的关键，称生成项生成项。具有扩散性质，称雷诺应力扩散项扩散项。脉动速度梯度乘积的平均值，使湍流能耗散，故称耗散项耗散项。1.3 1.3 湍流的基本方程湍流的基本方程v 其它变量时均方程其它变量时均方程v 时均化的能量方程时均化的能量方程

13、iiiiiijqu TuDTccDtxxx 雷诺热流雷诺热流二阶相关量二阶相关量 3个未知量个未知量()()()jjjjjuuStxxx 第一章第一章 湍流导论湍流导论1.4、湍流封闭问题、湍流封闭问题湍流模式理论的主要任务主要任务就是研究湍流方程的封闭方法封闭方法。核心问题核心问题 求解雷诺应力第第2 2章章 湍流的数值模拟方法简介湍流的数值模拟方法简介2.1 湍流数值模拟方法的分类湍流数值模拟方法的分类 湍流运动的数值模拟方法可以分为直接数值模拟方法和非直接数值模拟方法。所谓直接数值模拟直接数值模拟方法是指求解瞬时湍流控制方程求解瞬时湍流控制方程。非直接数值模拟非直接数值模拟方法就是不直接

14、计算湍流的脉动特性，而是设法对湍流做某种程度的近似和简化近似和简化处理。根据依赖所采用的近似和简化方法不同，非直接数值模拟方法分为大涡模拟大涡模拟、统计平均法统计平均法和Reynolds平均法平均法。第第2 2章章 湍流的数值模拟方法简介湍流的数值模拟方法简介2.2 模型比较模型比较 湍流模型方法(RANS方法)大涡模拟方法(LES方法)直接数值模拟(DNS方法)给出了时间平均的流动信息，易于工程应用抹去了流动的瞬态特性及细观结构，适合高雷诺数，不具普适性介于RANS与DNS之间，非常成功的应用于RANSRANS不能满足要求的高端应用，如燃烧、混合、外部空气动力学。亚格子湍流模型有待进一步完善

15、无需湍流模型，能精确给出湍流瞬态演变过程数值求解方法难度大，适合低雷诺数第第3 3章章 湍流模型（湍流模型（RANSRANS）不可压缩时均运动控制方程组之所以出现方程组不封闭（需求解的未知函数较方程数多），在于方程中出现了湍流脉动值的雷诺应雷诺应力力项。要使方程组封闭，必须对雷诺应力做出某些假定，即建立应力的表达式（或者引入新的湍流方程），通过这此表达式把湍流的脉动值脉动值与时均值时均值等联系起来。基于某些假定所得出的湍流控制方程，称为称为湍流模型湍流模型。所谓湍流模型，是依靠理论与经验的结合，引进一系列模型假所谓湍流模型，是依靠理论与经验的结合，引进一系列模型假设，把设，把脉动值附加项脉动值

16、附加项与与时均值时均值联系起来的一些特定的关系式。联系起来的一些特定的关系式。3.1 3.1 湍流模型的分类湍流模型的分类 湍流涡粘模型 雷诺应力模型 1.湍流涡粘模型（湍流涡粘模型（Eddy-Viscosity Models，EVM）这类模型的处理方法不直接处理雷诺应力项，而是引入这类模型的处理方法不直接处理雷诺应力项，而是引入涡粘系数涡粘系数（Eddy Viscosity），然后把湍流应力表示成为涡粘系数的函数，整个计算），然后把湍流应力表示成为涡粘系数的函数，整个计算关键关键在于在于确定这种湍流粘性系数。确定这种湍流粘性系数。引入引入Boussinesq涡粘性假设涡粘性假设，认为雷诺应力

17、与平均速度梯度成正比，认为雷诺应力与平均速度梯度成正比，即将即将Reynolds应力项表示为应力项表示为湍流粘性系数ijijkkijjijiijkxUxUxUuu3232ttv 基于不同的假设，湍流模型分为基于不同的假设，湍流模型分为湍动能：湍动能：2 2 2 212wvuii3.1 3.1 湍流模型的分类湍流模型的分类 tn 一方程模型常系数模型 二维Prandtl混合长度理论minmaxuuCtyulmt2零方程模型一方程模型两方程模型lkCt2/1/n 零方程模型v 根据确定湍流粘性系数根据确定湍流粘性系数 的微分方程数目，又可分为的微分方程数目，又可分为3.1 3.1 湍流模型的分类湍

18、流模型的分类 由求解湍流特征参数的微分方程来确定湍流粘性。包括k-、k-、k-g 模型等。其中，应用最普遍的是 k-模型。n 两方程模型 以上介绍的模型都是基于Boussinesq假设，认为湍流粘性系湍流粘性系数各向同性数各向同性，难于考虑旋转流动及流动方向表面曲率变化的影响，不适用于复杂流动。针对针对k-模型不足，许多学者对标准的模型进行了修正。模型不足，许多学者对标准的模型进行了修正。重整化群k-模型（renormalization group，RNG model）可实现k-模型（realizable k-model）多尺度k-模型（multiscale model of turbulen

19、ce）3.1 3.1 湍流模型的分类湍流模型的分类l 雷诺应力方程模型（雷诺应力方程模型（Reynolds Stress Model，RSM）由各项异性的前提出发，完全抛弃了Boussinesq表达式及 的概念，直接建立以雷诺应力雷诺应力为因变量的微分方程，然后作适当假设使之封闭。这种模型也称为二阶封闭模型二阶封闭模型。t 主要思想是设法将应力的微分方程简化为代数表达式，以减少RSM模型过分复杂的弱点，同时保留保留湍流各项异性的基本特点。l 代数应力方程模型（代数应力方程模型（Algebraic Stress Model，ASM）2 雷诺应力方程模型雷诺应力方程模型3.2 3.2 湍流模型具体

20、介绍湍流模型具体介绍双方程模型 标准 模型 k 可实现 模型 kRNG 模型 kReynolds应力模型（RSM）代数应力模型（ASM）零方程模型 单方程模型 3.2 3.2 湍流模型具体介绍湍流模型具体介绍1 零方程模型零方程模型 代数涡粘模型代数涡粘模型 这一假设并无物理基础，且采用各向同性各向同性的湍流动力粘度湍流动力粘度来计算湍流应力，难于考虑旋转流动和表面曲率变化的影响，但以此为基础的湍流模型目前在工程计算却应用最为广泛。所谓零方程模型就是不使用微分方程，而是基于Boussinesq1877年的假设，用代数关系式，把湍流粘度湍流粘度与时均值时均值联系起来的模型，它只用湍流的时均连续方

21、程和Reynolds方程组成方程组，把方程组中的Reynolds应力应力用平均速度场的局部速度梯度局部速度梯度来表示。ijijkkijjijiijkxUxUxUuu3232tt1 1 零方程模型零方程模型v 零方程零方程 Prandtal混合长度理论混合长度理论零方程中最著名的最著名的是Prandtl提出的混合长度模型混合长度模型（mixing length model）。l 混合长度定义：混合长度定义：脉动微团在经历这段距离内保持有不变的脉动速度值。表示：微流微团的脉动微团在经历这段距离内保持有不变的脉动速度值。表示：微流微团的作用范围。作用范围。l混合长度模型的特点：混合长度模型的特点：直

22、接用平均量梯度代数表达式代数表达式来模拟Reynolds时均方程组中未知的应力或热流、物质流关联项。lm由实验或直观判断加以确定。)()(xyxlm42)1(06.0)1(08.014.0RyRyRlm对于自由剪切流 充分发展的湍流管流 yulmt21 1 零方程模型零方程模型v 普朗特混合长度模型的评价普朗特混合长度模型的评价优点：直观、简单，无须附加湍流特性的微分方程适用于简单流动，如射流、边界层、管流、喷管流动等。另外，研究历史较长，积累了很多经验。缺点1：在 处必然是湍流粘性T为零，或剪力、热流、扩散流均为零与实际不符。0uy混合长度模型相当于湍流能量达到局部平衡，即湍流的产生等于湍流

23、的耗散，亦即认为湍流的对流对流（上游影响）和扩散扩散（断面上的混合）均为零。不符合湍流本身特性不符合湍流本身特性。缺点2：只有简单流动中才能给出lm的表达式。对复杂流动如拐弯或台阶后方有回流的流动，就很难给出lm的规律。1 1 零方程模型零方程模型v 零方程模型的适用性零方程模型的适用性l 二维带有中等程度的压力梯度的可压缩流合适;l 带有轻微横向流的三维边界层也合适;l 有曲率、旋转或分离时不适用;l 因压力或湍流而形成二次流时以及有突然的变形或剪切率变化时也不适用;l 有激波诱导的分离流不准.事实上零方程模式零方程模式仅适用于处于局部平衡状态局部平衡状态的湍流。忽略了对流对流和扩散扩散的影

24、响。对处理有分离、回流等现象的复杂流动并不适用。Kolmogorov和 prantl 放弃了寻找湍流粘性系数和时均速度梯度之间的直接关系的方法,而是通过求解微分方程求解微分方程确定湍流粘性系数湍流粘性系数,以此来弥补混合长度假设的局限性，这样产生了单方程的湍流模型单方程的湍流模型。2 2 单方程模型单方程模型 为了弥补混合长度假定的局限性，在使用湍流时均连续方程和Reynolds方程的基础上，再建立一个湍流动能湍流动能k的输运方程，而 表示成k的函数，从而可使方程封闭。这里，湍流动能k的输运方程可写为：tlCxuxuxuxxxutDjiijjitjktjii2/3瞬时项瞬时项对流项对流项扩散项

25、扩散项产生项产生项耗散项耗散项 lCt由由Kolmogorov-Prandtl表达式表达式 1k09.0C38.008.0DC2 2 单方程模型单方程模型v 单方程模型的评价单方程模型的评价l 单方程模型克服了混合长度模型的不足，考虑了湍能对流及扩散对流及扩散，比零方程模型更合理。l 但是要用单方程模型封闭，必须预先给定长度比尺长度比尺l的代数表达式，因此很难得到推广应用。实际上湍流实际上湍流长度标尺长度标尺本身也是与具体问题有关的，本身也是与具体问题有关的，需要有一个偏微分方程来确定，于是需要有一个偏微分方程来确定，于是两方程模型两方程模型应运应运而生。而生。3 3 两方程模型两方程模型v

26、湍流尺度湍流尺度l的输运方程的输运方程v 推广言之，对湍流粘性推广言之，对湍流粘性 T=c k1/2lv Spalding和和Launder曾总结出一个广义的第二参量曾总结出一个广义的第二参量z=kmln，一般形式的一般形式的z方程：方程：()()()eklkklklllStxxx()()()eTTkTkkkStxxx()()()ekzkkzkzzzStxxx3 3 两方程模型两方程模型不同学者推荐的不同的不同学者推荐的不同的z符号符号z=kmln提出者提出者双方程双方程fk1/2/l俄国学者俄国学者k-f k3/2/l周培源周培源Harlow-Nukayamak-llRodi,Spaldin

27、gk-lklklNg,Spaldingk-klwk/l2Spaldingk-w 其中其中k-双方程模型的应用及经受的检验最为普遍双方程模型的应用及经受的检验最为普遍.标准标准k-模型模型v 标准标准k-方程的定义方程的定义 在关于湍动能湍动能k的方程的基础上，再引入一个关于湍湍动耗散率动耗散率的方程，便形成了k-两方程模型，称为标准k-模型。在模型中，表示湍动耗散率（turbulent dissipation rate）的被定义为：kikixuxut2kCt湍动粘度 可表示成k和的函数，即：其中，C为经验常数。标准标准k-模型模型在标准k-模型中，k和是两个基本未知量，与之相对应的输运方程为：

28、kMbkjktjiiSYGGxkxxkutkSkCGCGkCxxxutbkjtjii2231)(其中，Gk是由于平均速度梯度引起的湍动能k的产生项，Gb是由于浮力引起的湍动能k的产生项，YM代表可压湍流中脉动扩张的贡献，C1、C2和C3为经验常数，k和分别是与湍动能k和耗散率对应的Prandtl数，Sk和S是用户定义的源项。Gk是由于平均速度梯度引起的湍动能k的产生项，由下式计算：jiijjitkxuxuxuGGb是由于浮力引起的湍动能k的产生项，对于不可压流体，Gb=0。对于可压流体，有：ittibxTgGPr标准标准k-模型中的有关公式模型中的有关公式标准标准k-模型模型Prt是湍动Pra

29、ndtl数，在该模型中可取Prt=0.85，gi是重力加速度在第i方向的分量，是热膨胀系数，可由可压流体的状态方程求出，其定义为：T1YM代表可压湍流中脉动扩张的贡献，对于不可压流体，YM=0。对于可压流体，有：22tMMY其中，Mt是湍流Mach数，RTaaakMt是声速，;/2标准标准k-模型中的有关公式模型中的有关公式标准标准k-模型模型 在标准的k-模型中，根据Launder等的推荐值及后来的实验验证，模型常数 的取值为：、kCCC213.10.109.092.144.121，kCCC 对于可压缩流体的流动计算中与浮力相关的系数C3，当主流方向与重力方向平行时，有C3=1，当主流方向与

30、重力方向垂直时，有C3=0。标准标准k-模型中的系数模型中的系数标准标准k-模型模型标准标准k-模型模型v 标准标准k-模型的控制方程组模型的控制方程组方程方程扩散系数扩散系数源项源项S连续连续100 x-动量动量uy-动量动量vz-动量动量w湍动能湍动能k耗散率耗散率能量能量TS按实际问题而定按实际问题而定teffteffteffkttTtPrueffeffeffSxwzxvyxuxxp)()()(veffeffeffSywzyvyyuxyp)()()(weffeffeffSzwzzvyzuxzp)()()(kG)(21CGCkk标准标准k-模型模型v 标准标准k-模型的适用性模型的适用性1

31、）模型中的有关系数系数，主要根据一些特殊条件特殊条件下的试验结果而确定的，在不同的文献讨论不同的问题时，这些值可能有出入。2）标准k-模型比零方程模型和一方程模型有了很大改进，但是对于强漩涡、浮力流、重力分层流、曲壁边界层、低Re数流动以及圆射流时，会产生一定失真失真。原因是在标准k-模型中，对于Reynolds应力的各个分量，假定粘度系数t是相同的，即假定t是各向同性各向同性的标量。而在弯曲流线的情况下，湍流是明显各向异性的，t应该是各向异性的张量。标准k-模型适用范围广、经济、合理的精度，包括边界层流动、管内流动、剪切流动，浮力、燃烧等子模型。但它是个半经验的公式，是从实验现象中总结出来的

32、。有一定的局限性：标准标准k-模型模型v 标准标准k-模型的适用性模型的适用性3）上述k-模型，是针对湍流发展非常充分的湍流流动来建立的，假设分子粘性分子粘性的影响可以忽略，是一种针对高针对高Re数数的湍流计算模型，而当Re数较低时，例如，在近壁区近壁区内的流动，湍流发展并不充分，湍流的脉脉动影响动影响可能不如分子粘性不如分子粘性的影响大，在更贴近壁面的底层内，流动可能处于层流状态。因此，对Re数较低的流动使用上面建立的k-模型进行计算，就会出现问题。这时，必须采用特殊的处理方式，以解决近壁区内的流动计算及低Re数时的流动问题。使用上面的k-模型可能就会出现问题。常用解决方法有壁面函数法壁面函

33、数法和低低Re数的数的k-模型模型。虽然k-模型的计算量大于代数涡粘模式，但随着计算机的发展这一点已不是障碍。如果能克服标准化k-模型的这些缺点，它将有更好的预测结果。RNG k-模型模型重整化群重整化群k-模型和标准模型和标准k-模型很相似，但是有以下改进：模型很相似，但是有以下改进：v 在方程中增加了一项，从而反映了主流的时均应变率Eij，这样，RNG k-模型中产生项不仅与流动情况有关，而且在同一问题中也还是空间坐标的函数。v 考虑到了湍流漩涡，提高了在这方面的精度。v RNG理论为湍流Prandtl数数提供了一个解析公式解析公式，然而标准k-模型使用的是用户提供的常数。v RNG k-

34、模型仍针对充分发展的湍流是有效的，是高高Re数数的湍流计算模型，而对近壁区内的流动及Re数较低的流动，必须使用下面将要介绍的壁面函数法壁面函数法或低Re数的k-模型来模拟。RNG k-模型模型 RNG k-模型比标准k-模型在更广泛的流动中有更高的可信度可信度和精度和精度。对更复杂的剪切流如高应变率、漩涡和分离的流动有较好的效果。重整化群k-模型是一种理性的模式，原则上，它不需要经验常数；但实践结果发现重整化群理论得到的系数 会在湍动能耗散方程中产生奇异性奇异性。具体来说，在均匀剪切湍流中会导致湍动能增长率过大，会导致负的正应力。因此，RAG k-模型还需要进一步研究。11.063C Real

35、izble k-模型模型v Realizble k-模型与标准模型与标准k-模型模型l 湍流粘度计算公式发生了变化，引入了与旋转旋转和曲率曲率有关的内容。l方程发生了很大变化，方程中的产生项不再包含有k方程中的产生项Gk，这样，现在的形式更好地表示了光谱的能量转换。l方程中的倒数第二项不具有不具有任何奇异性，奇异性，即使k值很小或为零，分母也不会为零。这与标准k-模型和RNG k-有很大区别。Realizble k-模型模型v Realizble k-模型适用性模型适用性 Realizable k-模型已被有效地用于各种不同类型的流动模拟，它能更加准确的预测平板绕流、圆柱射流的发散率,对旋转流

36、动、逆压梯度的边界层流动、流动分离以及复杂复杂的二次流都可以 取得较好的计算效果。对以上流动结果都比标准模型比标准模型的结果好，特别是可实现模型对圆口射流和平板过程模拟射流模拟中，能给出较好的射流扩张角。不足之处在不足之处在于,计算旋转和静态流动区域时不能提供自然的湍流粘度,同时受限于各向同性各向同性涡粘度假设。3 3 两方程模型两方程模型 双方程模型中，无论是标准模型、重整化群模型还是双方程模型中，无论是标准模型、重整化群模型还是可实现模型，三个模型有类似的形式，即都有可实现模型，三个模型有类似的形式，即都有k和和 的输的输运方程，它们的区别在于：运方程，它们的区别在于：计算湍流粘性的方法不

37、同；计算湍流粘性的方法不同；控制湍流扩散的湍流普朗特数不同；控制湍流扩散的湍流普朗特数不同；方程中的产生项和方程中的产生项和Gk关系不同。关系不同。但都包含了相同的表示由于平均速度梯度引起的湍动但都包含了相同的表示由于平均速度梯度引起的湍动能产生能产生Gk，表示由于浮力影响引起的湍动能产生，表示由于浮力影响引起的湍动能产生Gb；表示可压缩湍流脉动膨胀对总的耗散率的影响表示可压缩湍流脉动膨胀对总的耗散率的影响YM。3.3 3.3 在近壁区使用在近壁区使用k-模型的问题模型的问题 k-模型都是高Re数的湍流模型，但在近壁区内的流动，Re数较低，湍流发展并不充分，湍流的脉动影响不如分子粘性的影响大，

38、湍流应力几乎不起作用，这样在这个区域内就不能使用前面的k-模型就行计算，必须采用特殊的处理方式。3.3 3.3 在近壁区使用在近壁区使用k-模型的问题模型的问题 解决这个问题有两个途径解决这个问题有两个途径v 一是不对粘性影响比较明显的区域（粘性底层和过渡层）进行求解，而是用一组半经验公式（即壁面函数）将壁面上的物理量与湍流核心区内的相应物理量联系起来，不需要对壁面区的流动求解，这就是壁面函数法。壁面函数法。v 另一种途径是采用低低Re数数k-模型模型来求解粘性影响比较明显的区域（粘性底层和过渡层），这时要求在壁面划分比较细密的网格。越靠近壁面，网格越细。壁面函数法壁面函数法 壁面函数法的基本

39、思想基本思想是：对于湍流核心区的流动使用k-模型求解，而在壁面区不进行求解，直接使用半经验公式将壁面上的物理量与湍流核心区内的求解变量联系起来。这样，不需要对壁面区内的流动进行求解，就可直接得到与壁面相邻控制体积的节点变量值。上述壁面函数法是FLUENT选用的默认方法，它对各种壁面流动都非常有效。相对于相对于低Re数k-模型，壁面函数法壁面函数法计算效率高，工程实用性强。而采用低Re数k-模型时，因壁面区（粘性底层和过渡层）内的物理量变化非常大，因此，必须使用细密的网格细密的网格，从而造成计算成本的提高。当然，壁面函数法无法象低Re数k-模型那样得到粘性底层和过渡层内的“真实”速度分布。壁在函

40、数法在流动分离过大或壁面流动处于高压之下时，该方法不理想。壁在函数法在流动分离过大或壁面流动处于高压之下时，该方法不理想。低低ReRe数数k-k-模型模型 1）为体现分子粘性的影响，控制方程的扩散系数项必须同时包括湍流扩散系数与分子扩散系数两部分。2）控制方程的有关系数必须考虑不同流态的影响，即在系数计算公式中引入湍流雷诺数雷诺数Ret，这里 3）在k方程中应考虑壁面附近湍动能的耗散不是各向同性不是各向同性这一因素。)/(Re2kt 低Re数的流动主要体现在粘性底层粘性底层，流体的分子粘性起着绝对支配地位，因此必须对高Re数k-模型进行三方面修改，才能使其用于计算各种Re数的流动：充分发展的湍

41、流核心区及粘性底层均用同一套公式计算，且充分发展的湍流核心区及粘性底层均用同一套公式计算，且由于粘性底层的速度梯度大，因而粘性底层的网格密。由于粘性底层的速度梯度大，因而粘性底层的网格密。低低Re的的 模型使用范围模型使用范围 150Re t4 4 Reynolds 应力模型（二阶模型）应力模型（二阶模型）v 上述方程湍流模型都假定湍流粘性系数是上述方程湍流模型都假定湍流粘性系数是各向同性各向同性的的;采用了湍流粘采用了湍流粘性的假设性的假设,用有效用有效粘性系数粘性系数和平均速度梯度的乘积来模拟和平均速度梯度的乘积来模拟雷诺应力雷诺应力。这些模型难于反映这些模型难于反映旋转流动旋转流动及流动

42、方向表面及流动方向表面曲率变化曲率变化的影响，有必的影响，有必要对湍流脉动应力（雷诺应力）要对湍流脉动应力（雷诺应力）直接直接建立微分方程求解。建立微分方程求解。v 在应力方程模型中，对两个脉动值乘积的时均值方程直接求解，而在应力方程模型中，对两个脉动值乘积的时均值方程直接求解，而对三个脉动值乘积的时均值，采用模拟方式计算，这就是对三个脉动值乘积的时均值，采用模拟方式计算，这就是ReynoldsReynolds应力方程模型应力方程模型(RSM)。v 为了减轻为了减轻RSMRSM的计算工作量，将的计算工作量，将ReynoldsReynolds应力用代数方程式而不是用应力用代数方程式而不是用微分方

43、程来求解，用代数方程去近似的模拟微分方程，这就是代数微分方程来求解，用代数方程去近似的模拟微分方程，这就是代数应力方程模型应力方程模型(ASM)。Reynolds 应力方程模型（RSM）v Reynolds应力输运方程应力输运方程)(22)()()()()(lkmmiikmmjkkjkiijjiijjikikjkjjijikkikjkjkjikjkieuueuuxuxuxuxupugugxuuuxuuuuuxxupupuuuxuuuuux)(tijCijTD,ijLD,ijPijGijijijF方程中第一项为瞬态项，Cij：对流项DT,ij：湍动扩散项DL,ij：分子粘性扩散项Pij：剪应力产

44、生项Gij：浮力产生项ij：压力应变项ij：粘性耗散项Fij：系统旋转产生项Reynolds 应力方程模型（RSM）上式各项中，Cij、DL,ij、Pij和Fij均只包含二阶关联项，不必进行处理。可是，DT,ij、Gij、ij和ij包含有未知的关联项，必须象前面构造k方程和方程的过程一样，构造其合理的表达式，即给出各项的模型，才能使Reynolds应力方程封闭。1）湍动扩散项）湍动扩散项DT,ij的计算的计算可通过Daly和Harlow所给出的广义梯度扩散模型来计算)(,ljilkksijTxuuuukxCD但是有的文献认为该式可能导致数值上不稳定，推荐下式)(,kjiktkijTxuuxD式

45、中，t是湍动粘度，按标准k-模型中 来计算，系数k=0.82，注意该值在Realizable k-模型中为1.0。2kCt2）浮力产生项）浮力产生项Gij的计算式的计算式)(PrijjittijxTgxTgG其中，T是温度，Prt是能量的湍动Prandtl数，在该模型中可取Prt=0.85，gi是重力加速度在第i方向的分量，是热膨胀系数。对于理想气体，有：)(PrijjittijxgxgG如果流体是不可压的，则Gij=0。3）压力应变项）压力应变项ij的计算的计算 压力应变项ij的存在是Reynolds应力模型与k-模型的最大区别之处最大区别之处，ij仅在湍流各分量间存在，当 时，它表示减小剪

46、切应力，使湍流趋向于各向同性；当 时，它表示使湍动能在各应力分量间重新分配，对总量无影响。可见，此项并不产生脉动能量，仅起到再分配作用。因此，有的文献称此项为再分配项。压力应变项可以分解为三项，即ji ji wijijijij,2,1,其中，ij,1是慢的压力应变项，ij,2是快的压力应变项，ij,w是壁面反射项。耗散项表示分子粘性对Reynolds应力产生的耗散。在建立耗散项的计算公式时，认为大尺度涡承担动能输运，小尺度涡承担粘性耗散，因此小尺度涡团可以看成是各向同性的。即认为局部各向同性。依照该假设，耗散项可最终写成：ijij32 最后，综合上面各计算方程，得到的Reynolds应力输运方

47、程中，包含湍动能k和耗散率，为此，在使用RSM时，需要补充补充k和和 的方程的方程以得到封闭的Reynolds应力输运方程。4）粘性耗散项）粘性耗散项 ij的计算的计算Reynolds 应力方程模型（RSM）v 对对RSM适用性的讨论适用性的讨论 由于RSM比单方程和双方程模型更加严格的考虑了流线型弯曲、漩涡、旋转和张力快速变化，它对于复杂流动有更高的精度预测的潜力。但是这种预测仅仅限于与雷诺压力有关的方程。要考虑雷诺压力的各向异性时，必须用RSM模型。例如飓风流动、燃烧室高速旋转流、管道中二次流。尽管RSM比k-模型应用范围更广，包含更多的物理机理应用范围更广，包含更多的物理机理，但它仍有很

48、多缺陷。l 与标准k-模型一样，RSM也属于高高Re数数的湍流计算模型，在固体壁面附近，由于分子粘性的作用，湍流脉动受到阻尼，Re数很小，上述方程不再适用。因此，必须采用壁面函数法壁面函数法，或低Re数的RSM来处理近壁面区的流动计算问题。Reynolds 应力方程模型（RSM）v 对对RSM适用性的讨论适用性的讨论l 计算实践表明，RSM虽能考虑一些各向异性效应，但并不一定比其他模型效果更好，在计算突扩流动分离区突扩流动分离区和计算湍流输运各湍流输运各向异性较强向异性较强的流动时，RSM优于双方程模型，但对于一般的回流回流流动，RSM的结果不一定比k-模型要好。l RSM模型摒弃了湍流各向同

49、性假设，因此其计算结果比基于“有效粘度”的两方程模型更为准确。但由于该模型相对复杂、方程多、需确定的常数多，故计算量大计算量大。对于三维问题，有16个变量（5个时均变量，6个应力，3个热流密度，K和 ）。共16个方程组。代数应力方程模型（代数应力方程模型（ASM）由于RSM过于复杂，计算量大，有许多学者从RSM出发，建立Reynolds应力及热流密度的代数方程模型，就形成了代数应力方程模型（Algebraic Stress equation Model，简称ASM）。在对RSM中的Reynolds应力方程进行简化时，重点集中在对流项和扩散项的处理上。一种简化方案是采用局部平衡假定，即Reyno

50、lds应力的对流项和扩散项之差为零；另一种简化方案是假定Reynolds应力的对流项和扩散项之差正比与湍动能k的对流项和扩散项之差。现以第一种简化方案为例，给出ASM的代数应力方程。ijijijkkijkikjkjkijikPPCxuuuxuuuCkuu32323121代数应力方程模型（ASM）v ASM模型的评价模型的评价 ASM是将各向异性的影响合并到Reynolds应力中进行计算的一种经济算法，当然，因其要解9个代数方程组，其计算量还是远大于k-模型。ASM虽然不象k-模型应用广泛，但可用于k-模型不能满足要求不能满足要求的场合以及不同的传输假定对计算精度影响不是十分明显的场合。例如，对