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1、考虑摩擦时力系的平衡考虑摩擦时力系的平衡 在外力作用下，两个相互接触的物体有相对滑动趋势时，彼此总存在阻碍滑动发生的机械作用。称为滑动摩擦力。滑动摩擦力。滑动摩擦力分为两种：静滑动摩擦力静滑动摩擦力和动滑动摩擦力动滑动摩擦力1、静滑动摩擦力静滑动摩擦力 当T很小时，重物不会滑动，表明摩擦力可以和T平衡，当T逐渐增加，至某临界值TK，物体由静止进入运动，考虑和F的平衡关系，有KMAXTF可见可见F的大小有一个确定的范围，在此范围内可以保持物体的平衡的大小有一个确定的范围，在此范围内可以保持物体的平衡MAXFF 0PTFN实验证明实验证明：静滑动摩擦力的最大值静滑动摩擦力的最大值FMAX与接触面间

2、的与接触面间的正压力正压力N成正比成正比NfFMAX库仑静滑动摩擦定律库仑静滑动摩擦定律f 静滑动摩擦因数。静滑动摩擦因数与材料、接触面的粗糙度、温度等因素有关；在一般情况下，与接触面的面积无关。可以认为是常数。静滑动摩擦力F 的方向，总是与滑动的趋势方向相反。即F 总是阻止滑动 发生。使物体保持平衡状态保持平衡状态时的摩擦力F，MAXFF 2、动滑动摩擦力动滑动摩擦力如果两个相互接触的物体发生了相对滑动（有相对速度），在接面上产生的阻碍滑动的力称为动滑动摩擦力。动滑动摩擦力。与静滑动摩擦力类似，动滑动摩擦力与物体间的正压力成正比NfF 动滑动摩擦库仑定律F动滑动摩擦力，与滑动方向相反。N物体

3、间接触正压力。f 动滑动摩擦因数一般地，ff 当滑动速度不大时，f 等于常数。摩擦角与“自锁”PyPxNF作用于物体上的力作用于物体上的力P 分解分解为两个分量为两个分量sincosPPPPxy与约束力 N 平衡与摩擦力 F平衡当当 角逐渐增加时，角逐渐增加时，Px 增加增加,F增加；增加；Py 减小，减小，N 随之减小，直至临界状态随之减小，直至临界状态maxFPx时物体保持平衡。这时，时物体保持平衡。这时，FMAX与与 N 构成全反力构成全反力 R 与与 P 保持平衡。显然保持平衡。显然fNNfNFmaxtan称为摩擦角摩擦角RP由于ftan是常数，可以改变，于是有下列状态：（1）时即MA

4、XxFP临界平衡临界平衡PRPyPxNFMAX（2）时即MAXxFP自锁PRPyPxNFMAX这时，由于实际摩擦力F总小于最大摩擦力FMAX，物体永远保持静止平衡自锁。PPyPxNFR（3）时即MAXxFF不能平衡这时即使P P 值很小，也不能保证物体平衡。PRPyPxNFMAX考虑滑动摩擦的平衡问题考虑滑动摩擦的平衡问题 斜面上放一重物，重量为P。已知斜面的倾斜角为，重物与斜面之间的摩擦系数为f，摩擦角为 。当 时，试求使重物在斜面上保持静止时水平力Q 的大小。PQ解：（1）当Q足够小时，因，重物在P 作用下有向下滑动的趋势，摩擦力方向与X方向相同。NPQX平衡方程0sincosPQF0XF

5、0YF0cossinPQN物理条件NfF于是有cossincossinPQfQP解出sincoscossinffPQF（2）当Q足够大时，使重物出现向上滑动的趋势，摩擦力方向与 X 方向相反。NPQXF0sincosPQF0XF0YF0cossinPQN物理条件NfF平衡方程解出sincoscossinffPQ于是有cossincossinPQfQP综合得重物保持平衡的条件综合得重物保持平衡的条件sincoscossinsincoscossinffPQffP即cossincossinfPQfP考虑到ftan)tan()tan(PQP可以看出，可以看出，Q Q 在一定取值范围内都可使重物保持在一

6、定取值范围内都可使重物保持平衡。平衡。长l 的梯子AB 一端靠垂直墙壁，一端搁在水平地板上。设梯子与墙壁的接触完全光滑，梯子与地板之间存在摩擦，静摩擦系数f，梯子重量不计。有一重量为P 的人沿梯子向上爬，如要保证梯子不滑倒，求梯子与墙壁之间的夹角。alABP解：受力如图，设P至A 端的距离为aNBalABP平衡方程0XF0 FNB0YF0 PNA0Am0cossinlNaPB物理条件ANfFtanPlaNBPfPlatanflatan当a=l 时最危险tantan f梯子不滑的条件NAFMAXF 宽宽a，高高b的矩形柜放置在水平面上，柜重的矩形柜放置在水平面上，柜重G，重心，重心C在其几在其几

7、何中心，柜与地面间的静摩擦因数是何中心，柜与地面间的静摩擦因数是 fs，在柜的侧面施加水平向在柜的侧面施加水平向右的力右的力F，求能使柜不翻倒而滑动所需推力，求能使柜不翻倒而滑动所需推力F 的值。的值。hCabFGyABCxFGFBFAFNBFNA1.假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。解:取矩形柜为研究对象取矩形柜为研究对象,受力分析如图。受力分析如图。联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力s1minGfFFBBAAFfFFfFNsNs,补充方程补充方程列平衡方程列平衡方程代入（a），（a）-（b）0BAFFF,0 xF)(a0NNGFFBA,0yF)(b2

8、.假设矩形柜不滑动但将绕假设矩形柜不滑动但将绕 B B 翻倒。翻倒。柜不绕柜不绕 B 翻倒条件翻倒条件：FNA0bGaFF2 min2当当h=bh=b时时,使柜翻倒的最小推力为使柜翻倒的最小推力为,0BM02NaFhFaGA列平衡方程列平衡方程ABCxFGFBFAFNBFNA解得解得hGaF2 hCabFG柜体保持滑动而不翻到时柜体保持滑动而不翻到时,应满足应满足hCabFG1min2minFFFsGfFbGa2即在坑道施工中，广泛采用各种利用摩擦锁紧装置在坑道施工中，广泛采用各种利用摩擦锁紧装置楔联结。楔联结。坑道支柱中的联结结构装置如图所示。它包括顶梁坑道支柱中的联结结构装置如图所示。它包

9、括顶梁I，楔块楔块II，用用于调节高度的螺旋于调节高度的螺旋III及底座及底座IV。螺旋杆给楔块以向上的推力。螺旋杆给楔块以向上的推力FN1。已知楔块与上下支柱间的静摩擦已知楔块与上下支柱间的静摩擦因因数均为数均为fs（或摩擦角（或摩擦角f）。求楔求楔块不致滑出所需顶角的大小。块不致滑出所需顶角的大小。yOxF1F2FN1FN21.取楔块为研究对象，受力分析如图。取楔块为研究对象，受力分析如图。解：,0 xF0 sin cos2N21FFF,0yF0 cos sin2N21NFFF列平衡方程11NsFfF 22NsFfF 补充方程补充方程解方程可得解方程可得0 sin)cos(2N2N1NsF

10、FFf0 cos sin2N2Ns1NFFfF cos sins2N1N fFFss2N1NcossinffFF由此得由此得将将 fs=tanf 代入上式得代入上式得)tan(1 tan tan tan tan cos sin tan cos tan sin tanfffffff2即即 cos sin cos sinsssfff所以所以OxF1F2FN1FN2所以楔块不致滑出的条件为f2 重为重为G=100 N的匀质滚轮夹在无重杆的匀质滚轮夹在无重杆AB和水平面之间，在和水平面之间，在杆端杆端B作用一垂直于作用一垂直于AB的力的力FB，其大小为，其大小为FB=50 N。A为光滑铰为光滑铰链，轮

11、与杆间的摩擦链，轮与杆间的摩擦因因数为数为fs1=0.4。轮半径为轮半径为r，杆长为杆长为l，当当=60 时，时，AC=CB=0.5l，如图所示。如要维持系统平衡，如图所示。如要维持系统平衡，问：（问：（1）若若D处静摩擦处静摩擦因因数数fs2=0.3，求此时作用于轮心，求此时作用于轮心O处水处水平推力平推力F的最小值的最小值;（2）若）若fs2=0.15,此时此时F的最小值又为多少？的最小值又为多少？ABCDOrGFFB解：此题在此题在C，D两处都有摩擦，两个摩擦力之两处都有摩擦，两个摩擦力之中只要有一个达到最大值，系统即处于临中只要有一个达到最大值，系统即处于临界状态。界状态。先假设先假设

12、C处的摩擦处的摩擦达到最大值，当力达到最大值，当力F为为最小时，轮有沿水平最小时，轮有沿水平向右滚动的趋势。向右滚动的趋势。ABCDOrGFFBABCFAxFAyFCFNCFB受力分析如图，其中受力分析如图，其中D 处摩擦力未达到处摩擦力未达到最大值，假设其方向向左。最大值，假设其方向向左。DOCFNDFDGFCFCFN1.以杆以杆AB为研究对象，受力分析如图。为研究对象，受力分析如图。N 40,N 100NCCFF解得(a)02,0NlFlFMBCAF列平衡方程(b)N1smaxCCCFfFF补充方程 (临界状态，取等号）临界状态，取等号）ABCFAxFAyFCFNCFB2.以轮为研究对象，

13、列平衡方程。以轮为研究对象，列平衡方程。(e)0,0(d)060 sin60 cos,0(c)060 cos60 sin,0NNNrFrFMFFGFFFFFFFDCODCCyDCCxF 由式由式(e)可得可得CDFF代入式代入式(d)得得 FND=184.6 NN 39.55N2smaxDDFfF当当 fs2=0.3时，时，D处最大摩擦力为处最大摩擦力为 代入式代入式(c)得最小水平推力得最小水平推力 F=26.6 NN 40 ,N 100NNCCDCCFFFFF将将maxN 40DDFF由于，D处无滑动处无滑动,所以维持系统平衡的最小水所以维持系统平衡的最小水平推力为平推力为F=26.6 N

14、。DOCFNDFDGFCFCFNDDDFfFFN2smax受力图不变，补充方程受力图不变，补充方程(b)改为改为说明前面求得说明前面求得 不合理，不合理，D处应先达到处应先达到临界状态。临界状态。maxDDFF3.当当 fs2=0.15时时,N 7.27Ns2maxDDFfFABCFAxFAyFCFNCFB(a)02,0NlFlFMBCAF列平衡方程NFNC100解方程得DDCFfFFN2sN 86.2560 sin160 cos2sN2sfGFfFFCCDDOCFNDFDGFCFCFN(e)0,0(d)060 sin60 cos,0(c)060 cos60 sin,0NNNrFrFMFFGF

15、FFFFFFDCODCCyDCCxFDDDFfFFN2smax补充方程(思考：此时，NCsCFfF1是否成立？)N 81.47F当当 fs2=0.15时，维持系统平衡的最小水平时，维持系统平衡的最小水平推力为推力为，所以所以C处无滑动，因此处无滑动，因此maxCCFF 由于由于N 40N1smaxCCFfF此时此时C处最大摩擦力为处最大摩擦力为最小水平推力为N 81.4760 cos160 sinNDCFFF 图示物块A重QA=20N，物块B重QB=9N，直杆AC 和 CB的重量忽略不计，用光滑铰链相互连接并处于同一水平面内。已知A、B与接触面的摩擦系数同为f=0.25，在图示位置平衡。求此时

16、铅垂主动力P的取值。AB3m6m9m3mCPQAQB解：受力分析AQAFANACNABFBNBCNBQBNCANCBPCAC、BC杆是二力杆，分析B受力，BC杆对B的受力如图所示，显示B有两种滑动趋势；AC杆对A的受力如图所示，显示A仅有一种滑动趋势。对各分离体列平衡方程1、对销钉C00YXFF0sinsin0coscosPNNNNCBCACBCANCANCBPC529366cos,519363sin,1019813cos,1039819sin代入上式，得PNCA5102PNCB552、对物块B00YXFF0sin0cosBBCBBCBQNFNNPNB5259PFBBFBNBCNBQB物理条件

17、BBNfF5241595241PPP即9030 P解得B块平衡条件块平衡条件3、对A块00YXFF0sin0cosAACAAACQNNFNAQAFANACNA52PFA5620PNA解得物理条件AANfF)5620(4152PP即50P解得A块平衡条件块平衡条件综合得5030 PAB,CD两匀质杆,各自重量为P,长度为l.两杆接触点D处的静滑动摩擦因数为43f施加在CD杆上的主动力偶 M 使两杆在图示位置保持平衡.试求,M 的值.30DABCM30DABCM解:1.设CD杆有顺时针转动趋势,受力分析AB杆受力分析杆受力分析ABPNF 0BM030cos2lNlP3PN DCMNFPCD杆受力分

18、析杆受力分析DCMNFPCD杆受力分析杆受力分析 0CM030sin30cos30cos2 lFlNlPMFFNN4343PPNfF3PN;解得)233(4PlM2.设CD杆有逆时针转动趋势,受力分析DCMNFPCD杆受力分析杆受力分析FFNN4343PPNfF3PN 030sin30cos30cos2 lFlNlPM 0CM解得)253(4PlM综上综上,使系统保持平衡状态的使系统保持平衡状态的 M 取值为取值为)253(4)233(4PlMPl30DABCM滚动摩擦与滚动磨阻滚动摩擦与滚动磨阻在工程中，以滚动运动代替滑动运动，阻力会小很多。以圆盘纯滚动分析为例理想情况，A为点接触。T 与

19、F 不能平衡，不管力多小，圆盘都要滚动。滚动力矩滚动力矩rTmNFTPrATPrA实际情况，A点为线接触分布力系简化为B点的合力N时，圆盘不能滚动。NFddNrTm当满足滚动摩擦受力等效滚动摩擦受力等效TPrANFMrMr 滚阻力偶。实验表明NMr滚动摩阻系数N法向约束力滚动摩阻系数：滚动摩阻系数：有长度的量纲，与材料的硬度、温度等因素有关。上式称为滚动摩阻定律一般地，滚阻力偶在数值上远小于滑动摩擦力滚动摩擦物体的受力平衡TPrANFMr1、轮心受集中力T作用时000AYXmFF000rTMPNFTr滑动摩擦条件保证轮子不滑NfFNrT滚动平衡条件圆盘受力偶作用时的滑动摩擦力圆盘受力偶作用时的滑动摩擦力TPrANMrPrANMrm0FF轮心受集中力T作用时从动轮从动轮圆轮受力偶矩作用时主动轮主动轮