矩阵分析2课件.ppt

1、矩 阵 分 析东北大学信息科学与工程学院石海彬第二章 内积空间线性空间 或 向量空间向量的加法加法 向量与数域中数的数量乘法乘法向量的长度长度 向量之间的夹角夹角 需要考虑引入新的概念 内积内积（某种乘法）内积空间内积空间目的目的：进一步研究线性空间和线性变换第二章第二章 内积空间内积空间1 1 内积空间的概念内积空间的概念2 2 正交基及子空间的正交关系正交基及子空间的正交关系3 3 内积空间的同构内积空间的同构4 4 正交变换正交变换5 5 点到子空间的距离与最小二乘法点到子空间的距离与最小二乘法6 6 复内积空间（酉空间）复内积空间（酉空间）7 7 正规矩阵正规矩阵8 8 厄米特二次型厄

2、米特二次型9 9 力学系统的小振动力学系统的小振动第二章第二章 内积空间内积空间1.内积空间的概念 )(,),()3()(,2 ;,)1(,VzzyzxzyxRyxyxxyyxyxRV满足：向量的内积内积的定义内积的定义时，等号成立当且仅当 ,0),(4)xxx此时的V就成为（实）内积空间内积空间1.内积空间的概念内积空间的概念为一个内积空间。可正定义内积为中的任二向量维线性空间若对例nniiinnnRyxyxRn,112121 0,3;,)2(;,)1(,yxzxyxzyxyxyxyx的性质：内积第二章第二章 内积空间内积空间1.内积空间的概念内积空间之例例例1 n维线性空间Rnniiinn

3、yxyx12121),(,此称为欧几里德空间欧几里德空间（欧氏空间欧氏空间）为一个内积空间。可正定义内积为中的任二向量维线性空间若对例nniiinnnRyxyxRn,112121 0,3;,)2(;,)1(,yxzxyxzyxyxyxyx的性质：内积第二章第二章 内积空间内积空间1.内积空间的概念内积空间之例例例2 n2维线性空间RnnnjiijijnnnnnnnnnnnnbaBAbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA1,212222111211212222111211),(,为一个内积空间。可正定义内积为中的任二向量维线性空间若对例nniiinnnRyxyxRn,112121 0,3;,)

4、2(;,)1(,yxzxyxzyxyxyxyx的性质：内积第二章第二章 内积空间内积空间1.内积空间的概念内积的性质：),)(,(),()4(0),(),()3(),(),(),()2(),(),()1(2yyxxyxyxzxyxzyxyxyx第条性质称为柯西许瓦兹不等式柯西许瓦兹不等式为一个内积空间。可正定义内积为中的任二向量维线性空间若对例nniiinnnRyxyxRn,112121 0,3;,)2(;,)1(,yxzxyxzyxyxyxyx的性质：内积第二章第二章 内积空间内积空间1.内积空间的概念向量长度的定义向量长度的定义xxxx,的长度向量柯许不等式的另一写法yxyx),(向量之间

5、的夹角向量之间的夹角yxyx),(cos向量垂直向量正交90度角0cos0),(yx222yxyx为一个内积空间。可正定义内积为中的任二向量维线性空间若对例nniiinnnRyxyxRn,112121 0,3;,)2(;,)1(,yxzxyxzyxyxyxyx的性质：内积第二章第二章 内积空间内积空间1.内积空间的概念 0,3 ;,2 ;,1 ,yxzxyxzyxyxyxyx）（）（）（的性质：内积2 ,x yx xy y柯西许瓦兹不等式.;yxyxyxyx重要不等式第二章第二章 内积空间内积空间2.正交基及子空间的正交关系 一组非零向量内积空间中两两正交的正交组 .,0;,1 ,e ,21j

6、ijieeeejin当当满足标准正交基正交组构成的基正交基2.正交基及子空间的正交关系正交基及子空间的正交关系任一n维欧氏空间都存在正交基第二章第二章 内积空间内积空间2.正交基及子空间的正交关系.,.,2111112222111122223111133311112221121niiinnnnnnnnnneeeeeeeeeefeeeefeeeeffeeeeefeeeeffeeeeeffefeVfff 则得到标准正交基单位化取的一组基，为设施密特正交化：第二章第二章 内积空间内积空间2.正交基及子空间的正交关系另一种标准正交基一种标准正交基为正交矩阵则若正交矩阵过渡矩阵 AEAAT.,0,212

7、121VVVVyxVyVx记正交，与则正交的正交补。是正交补122121 ,VVVVVVVn维欧氏空间的任一子空间都有唯一的正交补空间。第二章第二章 内积空间内积空间3.正交基及子空间的正交关系3.内积空间的同构内积空间的同构),()(),()()()()()()(:,yxyxxxyxyxWxVxWVWV所有n维欧氏空间都同构第二章第二章 内积空间内积空间4.正交变换 为正交变换正交变换TyxTyTxTVyx,矩阵是正交矩阵。的任一标准正交基下的在）（的一组标准正交基；也是的一组标准正交基，则是）（）（是正交变换；）（等价命题：VTVTeTeTeVeeexTxTnn4 ,3 ;2 1 2121

8、 4.正交变换正交变换保持内积不变保持内积不变向量长度不变第二章第二章 内积空间内积空间4.正交变换 xTxxxTxTxRxTRTRT ,212322132132332133211323213由此得到设证明是正交变换。成立，试证明对任一的线性变换，是欧式空间设举例第二章第二章 内积空间内积空间5.点到子空间的距离与最小二乘法时等号成立当且仅当yxyxdzydyxdzxdxydyxd0),()3(),(),(),()2(),(),()1(三个基本性质：。的距离，记为与称为向量长度的向量是欧氏空间，又定义：设),(,yxdyxyxyxVyxV5.点到子空间的距离与最小二乘法点到子空间的距离与最小二

9、乘法向量之间的距离向量之间的距离第二章第二章 内积空间内积空间5.点到子空间的距离与最小二乘法5.点到子空间的距离与最小二乘法点到子空间的距离与最小二乘法向量到子空间的距离向量到子空间的距离 欧氏空间中的一个向量和一个子空间中的各个向量都有一个距离，最短的那个就定义为xWV从而，向量到子空间的距离为垂直向量的距离222)()(),()(),(,zxyzzxyzzxyzzxyxyxwzxwzzxyxwyvxwx证明：其中对准则：第二章第二章 内积空间内积空间5.点到子空间的距离与最小二乘法bAAxAbxaxaxaxxxbAxisisiniisTT22211100201 )(,下方程最小二乘解需要

10、满足如最小二乘法。叫做最小二乘解，这一方法这组数称为此方程组的最小，使平方差找出一组数组定义：对于无解的方程用来解决最小二乘法问题用来解决最小二乘法问题书52页之例第二章第二章 内积空间内积空间6.复内积空间（酉空间）是复内积空间。就称，）且满足有复数与之对应，记（量上的线性空间。如果向是定义：设 0),(,0),()4(),(),(),()3(),(),()2(),(),()1(,VxxxxxzyzxzyxCyxyxxyyxyxVyxCV6.复内积空间（酉空间）复内积空间（酉空间）书中53页之注第二章第二章 内积空间内积空间6.复内积空间（酉空间）是酉空间。容易验证规定的基，是维线性空间，上

11、是例：,),(,11121ViyxeyexVyxVeeenCVinIiiniiinIin 第二章第二章 内积空间内积空间6.复内积空间（酉空间）也成立。不等式在酉空间内仍然成立。）不等式（正交，与称的长度。定义为复向量）（性质：yxyxyxyxSCyxyxyxxxxxyxzxyxzyxyxyx),(,0),(),(0),(),)(3(),(),(),)(2(),(),(1的转置矩阵。为其中为酉矩阵，则称且若的酉变换。称为（都有上的线性变换，是酉空间定义：若AAAEAAAACAVTyxTyTxvyxVTHHHnn,),(),第二章第二章 内积空间内积空间6.复内积空间（酉空间）矩阵是酉矩阵。在任

12、一标准正交基下的）（的标准正交基；也是则的标准正交基，是若；时，）当（是酉变换）（命题互相等价：的线性变换，则下列各维酉空间是定理：设TVTeTeTeVeeexTxVxTVnTnn4,)3(2121,21 酉变换酉变换 保持内积不变 第二章第二章 内积空间内积空间6.复内积空间（酉空间）量是酉正交的。不同的两个列（行）向单位向量；的每个列（行）向量是）（阵的乘积也是酉矩阵；也是酉矩阵，两个酉矩）（；）（），（）（；的行列式的模等于）（的基本性质：酉矩阵AAAAAAAAAHHH432111111第二章第二章 内积空间内积空间7.正规矩阵为对角阵。是正规阵，则定理：成为上三角矩阵。，使，则必存在酉

13、阵定理：为正规阵。，且定义：若AUUACAAUUUCAScharAAAAACAHnnHnnHHnn7.正规矩阵正规矩阵对角矩阵 实对称矩阵 实反对称矩阵 厄米特矩阵 反厄米特矩阵 正交矩阵 酉矩阵第二章第二章 内积空间内积空间7.正规矩阵交的。量是正，则其所对应的特征向，且、的任二个特征值，厄米特矩阵。，的每个特征值）（或是纯虚数；的特征值是）（的特征值全为实数；）（是正规矩阵，则有：推论nnHiiHHHCAAAAEAAAAAAAAA)(:2130211书57-58页之例第二章第二章 内积空间内积空间8.厄米特二次型二次型，且秩不变。），仍为且经满秩线性变换定理：厄米特二次型的秩称为二次型的秩

14、。厄米特二次型。，复二次型；）（或定义：HCCCCyxAXXfAAXXfAAAXXxxaCAnnHHHHjiniijnn0 ,(,18.厄米特二次型厄米特二次型第二章第二章 内积空间内积空间8.厄米特二次型为标准型。例：化厄米特二次型的特征值。为化成标准形，即一个酉变换都可用次型定理：每一个厄米特二323123211312122211122 ,xxixxxxixxixxxxixxfAyyyyyyfQyxAXXfinnnH （书66页之例）第二章第二章 内积空间内积空间8.厄米特二次型。的所有顺序主子式。，有可逆矩阵。的所有特征值正定定理：叫正定阵。是正定的，对应称，有如对正定性的讨论：0 0 0 ,0 ,AEACCCAAXXAffxAXXfHHH