第13章动力学普遍定理(动量定理)课件.ppt

1、第第13 13章章 动力学普遍定理（动量定理）动力学普遍定理（动量定理）物理中已讲述质点及质点系的动量定理，本章新增重点物理中已讲述质点及质点系的动量定理，本章新增重点质心运动定理。质心运动定理。本章内容：本章内容：13-1 动量动量 13-2 冲量冲量 13-3 动量定理动量定理（质点（质点质点系）质点系）13-4 质心运动定理质心运动定理关于上次课的问题：关于上次课的问题：1.平面运动刚体的动能如何求？平面运动刚体的动能如何求？2.什么是理想约束？什么是理想约束？1提问下述问题。提问下述问题。一、质点的动量二、质点系的动量vmCiivMvmK为什么？为什么？OvO问题问题：某瞬时圆轮轮心速

2、度为：某瞬时圆轮轮心速度为 ，圆轮，圆轮沿直线沿直线平动平动、纯滚动纯滚动和和又滚又滑又滚又滑时的时的动量动量是否相等是否相等？若？若沿曲线运动沿曲线运动呢？呢？动能是否相动能是否相等等？Ov这说明：这说明：动量是表征质点系随质心平动强度动量是表征质点系随质心平动强度的量。（的量。（没有反映质点系全部运动强度没有反映质点系全部运动强度）2一、力的冲量提问。提问。定义：力在时间上的累积效应。定义：力在时间上的累积效应。1.常力：常力：tFS问题：图中重力问题：图中重力 和反力和反力 有冲量吗？有冲量吗？GT2.任意力：任意力：tFSdd21dtttFS21dttitRSS元冲量元冲量：冲量冲量：

3、二、力系的冲量故力系的冲量等于主矢的冲量。故力系的冲量等于主矢的冲量。三、内力的冲量恒为零。恒为零。为力系的主矢量为力系的主矢量R3一、质点的动量定理Fam牛二定律牛二定律Ftvmd)d(动量定理的微分形式动量定理的微分形式Svmvm12动量定理的积分形式动量定理的积分形式（有限形式）（有限形式）二、质点系的动量定理问题问题：动量定理可求什么量？求几个？用何种方程？：动量定理可求什么量？求几个？用何种方程？约束力、主动力、约束力、主动力、速度、加速度等速度、加速度等解题步骤：解题步骤：(一一)取研究对象取研究对象（取分离体）；（取分离体）；(二二)画受力图、运动图画受力图、运动图（只画外力、不

4、画内力）；（只画外力、不画内力）；(三三)列解方程。列解方程。Svmd)d(或或)()(d)(diieiiiFFtvm任意质点：任意质点：外力外力内力内力且且0)(iiF积分形式积分形式：)(12eSKK反映质点系随质心平动部分与所受外力（冲量）主矢之间的关系。反映质点系随质心平动部分与所受外力（冲量）主矢之间的关系。微分形式微分形式：)(ddeFtK求和求和4PQQ COABG例例1（补充，由例（补充，由例12-1改，求反力）改，求反力）图示系统。均质滚子图示系统。均质滚子A、滑轮、滑轮B重量和半重量和半径均为径均为Q和和r，滚子纯滚动，三角块固定，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为不动，倾

5、角为，重量为，重量为G，重物重量，重物重量P。求地面给三角块的反力求地面给三角块的反力。分析：欲求反力，需用动量定理：欲求反力，需用动量定理：)(ddeFtK解：I.求加速度。（求加速度。（前面已求前面已求）上式左端实际包含上式左端实际包含各物体质心加速度各物体质心加速度，而，而用动能定理可求用动能定理可求。II.求反力。研究整体，画受力图如求反力。研究整体，画受力图如图。图。系统动量：系统动量：cosCxxvgQmvKPQQv avCaC COABGYXm sinCyyvgQvgPmvK5由动量定理：由动量定理：PQQv avCaC COABGYXm )(ddexXtKXagQCcos)(d

6、deyYtKGQPYagQagPC2sincosCagQXsin2CagQagPGQPY反力偶反力偶m呢？呢？可见，动量定理只建立了系统一部分动力学关系，只可见，动量定理只建立了系统一部分动力学关系，只能求反力；能求反力；而反力偶需要由动量矩定理来求而反力偶需要由动量矩定理来求。gQPPQaaC2sin将将代入上面式，得：代入上面式，得：cos2)sin(QPPQQXQPPQGQPY2)sin(226例例2 （流体附加动压力）（流体附加动压力）理想、定常、不可压缩流体在管道内运动。理想、定常、不可压缩流体在管道内运动。已知流体密度已知流体密度，体积流量，体积流量Q，两截面流速，两截面流速v1

7、和和v2。求此段流体给管道的附加动压力求此段流体给管道的附加动压力。（注：附加动压力总压力（注：附加动压力总压力 静压力）静压力）分析：问题：问题1先求总压力。欲求总压力，先求总压力。欲求总压力，可求总反力。考虑动量定理：可求总反力。考虑动量定理：)(ddeFtK问题问题2研究对象如何取？研究对象如何取？问题问题3动量如何写？动量如何写？考虑一段流体。考虑一段流体。直接写直接写K有困难，但可以写有困难，但可以写dK：12dd)(dvtQvtQKKKKKKKKKBAABDCCDCDBABAABDCCDCDBAABCDDCBA从而可解。从而可解。7解：研究一段流体，画受力图如图。：研究一段流体，画

8、受力图如图。由动量定理：由动量定理：baPPWNvvQ)(12)(ddeFtK(1)而系统动量变化：而系统动量变化：tvvQKKKKKKKKKBAABDCCDCDBABAABDCCDCDBAABCDDCBA)d()(d12代入代入(1)式，得式，得管道给流体的总反力：管道给流体的总反力：附加动反力静反力NNN0baPPWN静反力所以，管道给流体的附加动反力：所以，管道给流体的附加动反力：)(12vvQN附加动反力流体给管道的附加动压力：流体给管道的附加动压力：)(21vvQNN附加动反力附加动压力作业：作业：13-4,13-12欧拉定理欧拉定理8三、动量守恒定律动量定理微分形式：动量定理微分形

9、式：)(ddeFtK0)(eF常矢量K0)(eX常量xK质点系动量守恒质点系动量守恒质点系在质点系在x方向上动量守恒方向上动量守恒问题问题：为何不这样说？：为何不这样说？动量定理积分形式：动量定理积分形式：)(12eSKK0)(eS0)(exS常量xKxK12质点系动量守恒质点系动量守恒质点系在质点系在x方向上动量守恒方向上动量守恒反例：光滑水平面上由绳拉住绕定点作匀速圆周运动的小球；反例：光滑水平面上由绳拉住绕定点作匀速圆周运动的小球；圆锥摆圆锥摆常矢量12KK9例例3 （接例（接例1，由例，由例12-1改）改）图示系统。均质滚子图示系统。均质滚子A、滑轮、滑轮B重量重量和半径均为和半径均为

10、Q和和r，滚子纯滚动，三角，滚子纯滚动，三角块放在光滑平面上，倾角为块放在光滑平面上，倾角为，重量，重量为为G，重物重量，重物重量P。系统初始静止。系统初始静止。求重物上升求重物上升s时，三角块的速度时，三角块的速度v1。设设重物相对三角块铅直运动，滚子与斜重物相对三角块铅直运动，滚子与斜面不脱开。面不脱开。分析：显然，系统水平动量守恒。但：显然，系统水平动量守恒。但系统有两个自由度，对应两个变量系统有两个自由度，对应两个变量v和和v1。而动量守恒只有一个代数方程，。而动量守恒只有一个代数方程，还需列一个方程还需列一个方程由动能定理给出由动能定理给出。解：研究整体。系统水平动量守恒：研究整体。

11、系统水平动量守恒：PQQvvC ss COABGv1D PQQvvC ss COABGv1Dv1v1v10)cos(1111vgGvvgQvgQvgPC10由动能定理：由动能定理：FWTT0式中式中00T PQQvvC ss COABGv1Dv1v1v122121vvgPTP222212121sincos21rgQvvvgQTCCA重物：重物：2221212121rgQvgQTB轮子：轮子：滚子：滚子：整体动能：整体动能：212122cos221CCDABPvgQPvvgQvgGQPTTTTT三角块：三角块：2121vgGTD主动力做功：主动力做功：sPQWF)sin(整理，得：整理，得：(1

12、)0cos21CQvvGQP11作业：作业：13-11,13-15下次课预习：下次课预习：质心运动定理质心运动定理代入动能定理方程，得代入动能定理方程，得sPQvgQPvvgQvgGQPCC)sin(022cos2212121(2)联立联立(1)、(2)式，得式，得221cos222)sin(2cosQGQPQPGQPsPQgQv12质心运动定理是动量定理的另一种表达形式，重要而实用。质心运动定理是动量定理的另一种表达形式，重要而实用。一、质心运动定理动量定理微分形式：动量定理微分形式：)(ddeFtK)(d)(deCFtvMCvMK)(eCFaM质心运动定理质心运动定理注注：此定理此定理与动

13、量定理完全等价与动量定理完全等价，都反映质系随质心平动部分与所受外，都反映质系随质心平动部分与所受外力主矢之间的关系，但形式和所用物理量不同。质心运动定理已不再使用力主矢之间的关系，但形式和所用物理量不同。质心运动定理已不再使用动量和冲量的概念；动量和冲量的概念；形式与牛二定律（动力学基本方程）相同，但含义不同；形式与牛二定律（动力学基本方程）相同，但含义不同；适于任意质点系；适于任意质点系；对刚体系，由于对刚体系，由于 ，式中，式中 表示每个刚体的质量表示每个刚体的质量和质心的加速度，则质心运动定理又可写为和质心的加速度，则质心运动定理又可写为CiiCamaMCiiam、)(eCiiFam1

14、3例例4（例（例1，用质心运动定理求反力），用质心运动定理求反力）图示系统。均质滚子图示系统。均质滚子A、滑轮、滑轮B重量和半重量和半径均为径均为Q和和r，滚子纯滚动，三角块固定，滚子纯滚动，三角块固定不动，倾角为不动，倾角为，重量为，重量为G，重物重量，重物重量P。求地面给三角块的反力求地面给三角块的反力。分析：应用质心运动定理求反力：应用质心运动定理求反力：解：I.求加速度。（求加速度。（前面已求前面已求）需求出系统质心加速度：需求出系统质心加速度：)(eCFaMPQQ COABGMamaCiiC或直接应用质心运动定理的另外形式：或直接应用质心运动定理的另外形式：)(eCiiFam各物体质

15、心加速度由动能定理求出。各物体质心加速度由动能定理求出。II.求反力。研究整体，画受力图如图。求反力。研究整体，画受力图如图。14aCPQQa COABGYXm 由质心运动定理：由质心运动定理：)(eCixiXamXagQCcos)(eCiyiYamGQPYagQagPC2sin所以，所以，cosCagQXsin2CagQagPGQPYgQPPQaaC2sin将将代入上面式，得：代入上面式，得：cos2)sin(QPPQQXQPPQGQPY2sin222215二、质心运动守恒)(eCFaM质心运动定理：质心运动定理：0)(eF常矢量Cv0)(eX质点系质心运动守恒质点系质心运动守恒质点系质心在

16、质点系质心在x方向上运动守恒方向上运动守恒常量Cxv0Ca0Cxa00Cv若初始常矢量则Cr质点系质心位置守恒质点系质心位置守恒00Cxv若初始常量则Cx质点系质心在质点系质心在x方向上位置守恒方向上位置守恒注注：质心运动守恒多用于求初始静止的系统，满足守恒条件，经：质心运动守恒多用于求初始静止的系统，满足守恒条件，经过一段时间后某个物体的位移；而动量守恒定律多用于求速度。过一段时间后某个物体的位移；而动量守恒定律多用于求速度。例例5（接例（接例3，用质心运动守恒求位移），用质心运动守恒求位移）图示系统。均质滚子图示系统。均质滚子A、滑轮、滑轮B重量和半重量和半径均为径均为Q和和r，滚子纯滚动

17、，三角块放在，滚子纯滚动，三角块放在光滑平面上，倾角为光滑平面上，倾角为，重量为，重量为G，重物，重物重量重量P。系统初始静止。系统初始静止。求重物上升求重物上升s时，时，三角块的位移三角块的位移s1。设重物相对三角块铅设重物相对三角块铅直运动，滚子与斜面不脱开。直运动，滚子与斜面不脱开。PQQss COABGs1D16分析：水平质水平质心运动守恒心运动守恒021CiiCiiCiiCxmxmxmMxPQQss COABGs1Ds1s1s1解：质点系水平质心位置守恒：质点系水平质心位置守恒：0Ciixm式中式中 xCi为各物体质心水平位移。为各物体质心水平位移。各物体质心水平位移如图（三较块各物

18、体质心水平位移如图（三较块为动系）。则为动系）。则0)cos(1111GsssQQsPsGQPQss2cos117例例6（例（例13-6 较难，需综合运动质心运动守恒、动能定理、较难，需综合运动质心运动守恒、动能定理、质心运动定理及较多的运动学分析）质心运动定理及较多的运动学分析）均质细杆均质细杆AB长长l，质量为，质量为m，B端放在光滑水平面上。端放在光滑水平面上。初始时杆静止，立于铅直位置，受扰后在铅直面内倒初始时杆静止，立于铅直位置，受扰后在铅直面内倒下。下。求杆运动到与铅直线成求杆运动到与铅直线成 角时，杆的角速度、角角时，杆的角速度、角加速度和地面的反力。加速度和地面的反力。分析：(

19、1)杆水平质心运动守恒，故质心杆水平质心运动守恒，故质心C铅直运动；铅直运动；BACvCvB(2)考虑动能定理求角速度：考虑动能定理求角速度：FWTT0其中包含其中包含 和和vC，直接不能求；，直接不能求；(3)但由运动分析可建立但由运动分析可建立 和和vC的关系：的关系：P为瞬心。为瞬心。P(4)对对 求导，可得求导，可得 。(5)欲求地面反力欲求地面反力N，可用质心运动定理：，可用质心运动定理：)(eCFam(6)但需求质心加速度但需求质心加速度aC，可对，可对vC求导得到。求导得到。BAC18解：I.杆水平质心运动守恒，故质心杆水平质心运动守恒，故质心C铅直运动；铅直运动；II.动能定理

20、求角速度：动能定理求角速度：FWTT0则则III.P为瞬心，则：为瞬心，则：vB BACvCPmgN00T2221212121mlmvTC)cos1(2lmgWF)cos1(201212121222lmgmlmvC整理：整理：)cos1(121222gllvC(1)sin2lvC(2)代入代入(1)式，得式，得)cos1()1sin3(1222gl(a)1sin3cos1322lg(b)19IV.对式对式(a)求导，并注意求导，并注意VI.求地面反力求地面反力N，用质心运动定理：，用质心运动定理：)(eCFamV.求质心加速度求质心加速度aC，对，对(2)式求导：式求导：vB BACvCPmg

21、N,)(sin2)1sin3(12)cossin23(1222gll)1sin3()cos2(sin322llg(c)1sin3()cos3cos64(sin622lg或或(c1)cossin(2cos2sin22lllaC(3)或或1sin3)cos1(cos2sin1sin33222gaC(3a)mgNmaC1sin3)cos1(cos2sin1sin33222mgmgmamgNC20注注1：书上应用基点法求：书上应用基点法求aC，但不如上面方法简单。，但不如上面方法简单。aB BACaCPCBanCBaaB选选B为基点，为基点，C为动点，画加速度图如图。为动点，画加速度图如图。nCBCBBCaaaa在铅直方向投影，得在铅直方向投影，得cossin0nCBCBCaaa而而22,2lalanCBCB所以所以cos2sin22llaC(3)注注2：本题分析较复杂，如果一开始不能完全分析出来，可以分析一步求：本题分析较复杂，如果一开始不能完全分析出来，可以分析一步求一步。一步。下次课预习：下次课预习：动量矩定理动量矩定理作业：作业：13-14，13-16，13-19(选做选做)21