1、第一章 矩阵代数v1.1 定义v1.2 矩阵的运算v1.3 行列式v1.4 矩阵的逆v1.5 矩阵的秩v1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹v1.7 正定矩阵和非负定矩阵v1.8 特征值的极值问题11.1 定义111212122212qqpppqaaaaaaaaaApq矩阵：12paaaap维列向量：q维行向量：a=(a1,a2,aq)向量a的长度：22212paaaaa a单位向量：1a2v若A的所有元素全为零，则称A为零矩阵，记作A=0pq或A=0。v若p=q，则称A为p阶方阵，a11,a22,app称为它的对角线元素，其他元素aij(ij)称为非对角线元素。v若方阵A的对角线下方的元素全为
2、零，则称A为上三角矩阵。显然，aij=0,ij。v若方阵A的对角线上方的元素全为零，则称A为下三角矩阵。显然，aij=0,i0,i=1,2,k。i称为A的奇异值。v AA=U2U，AA=V2VAAU=U2，AAV=V2AAui=i2ui，i=1,2,kAAvi=i2vi，i=1,2,k1kiiiiAUVuv30二、矩阵的迹v设A为p阶方阵，则A的迹定义为tr(A)=a11+a22+appv方阵的迹具有下述基本性质：(1)tr(AB)=tr(BA)。特别地，tr(ab)=ba。(2)tr(A)=tr(A)。(3)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)。(4)。11trtrkkiiiiAA31(5
3、)设A=(aij)为pq矩阵，则(6)设1,2,p为方阵A的特征值，则tr(A)=1+2+p 证明|IA|=(1)(2)(p)比较等式两边p1项的系数即得。(7)若A为投影矩阵，则tr(A)=rank(A)211trtrpqijijaA AAA321.7 正定矩阵和非负定矩阵v设A是p阶对称矩阵，x是一p维向量，则xAx称为A的二次型。若对一切x0，有xAx0，则称A为正定矩阵，记作A0；若对一切x，有xAx0，则称A为非负定矩阵，记作A0。对非负定矩阵A和B，AB表示AB0；AB表示AB0。33基本性质v(1)设A=A，则A0(或0)i 0(或0)，i=1,2,p。v(2)设A0，则A的秩等
4、于A的正特征值个数。v(3)若A0，则A10。v(4)设A0，则A0，当且仅当|A|0。v(5)若A0(或0)，则|A|0(或0)。v(6)BB0，对一切矩阵B成立。v(7)若A0(或0)，则存在A1/2 0(或0)，使得A=A1/2A1/2，A1/2称为A的平方根矩阵。v(8)设A0是p阶秩为r的矩阵，则存在一个秩为r(即列满秩)的pr矩阵B，使得A=BB。341.8 特征值的极值问题v(1)柯西-许瓦兹(CauchySchwarz)不等式 设x和y是两个p维向量，则(xy)2(xx)(yy)等号成立当且仅当y=cx（或x=cy），这里c为一常数。v(2)推广的柯西-许瓦兹不等式 设B0，则
5、(xy)2(xBx)(yB1y)等号成立当且仅当x=cB1y（或y=cBx），这里c为一常数。35v(3)设A是p阶对称矩阵，其特征值依次是12 p，相应的一组正交特征向量是t1,t2,tp，则(i)（当x=t1时达到）（当x=tp时达到）(ii)（当x=ti时达到）,i=2,3,p11max(max)xxx Axx Axx x01min(min)pxxx Axx Axx x0001,11,11max(max)kkikikix tx txxx Axx Axx x036v(4)设A是p阶对称矩阵，B是p阶正定矩阵，12 p是B1A的p个特征值，相应的一组特征向量是t1,t2,tp，满足 ，则(i)（当x=t1时达到）（当x=tp时达到）(ii)（当x=ti时达到）,i=2,3,p1maxxx Axx Bx0minpxx Axx Bx001,1maxkikix Btxx Axx Bx00,1ijijp t Bt37
