函数的最大小值与导数92600课件.ppt

1、函数的最大函数的最大(小小)值与导数值与导数复习引入复习引入 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f/（x）0,右侧右侧f/(x)0,那那么么,f(x0)是极大值是极大值;如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f/(x)0 ,那那么么,f(x0)是极小值是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充而不是充 分条件分条件.极值只能在函数的极值只能在函数的导数为零且在其附近左右导数为零且在其附近左右两侧的导数异号两侧的导数异号时取到时取到.1.当函数当函数f(x)在在x0处连续时处连续时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的值的方法是方法

2、是:函数的最值函数的最值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 观察右边一个定义观察右边一个定义在区间在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象，你能的图象，你能找出函数找出函数y=f（x）在）在区间区间a，b上的最大上的最大值、最小值吗？值、最小值吗？发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值，在区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而

3、是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？在在闭区间闭区间a,ba,b 上的函数上的函数y=f(xy=f(x)的图象是一的图象是一条条连续不断连续不断的曲线的曲线,则它则它必有必有最大值和最小值最大值和最小值.x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(af(a)f(xf(x3 3)f(bf(b)f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)gg由图可见，最大值点与最小值点由图可见，最大值点与最小值点出现在区间端点或者极值点处。出现在区间端点或者极值点处。一般地，求函数一般地，求函数y=f(x)在在a,b上的最大值与最小上的最大值与最小值的值的步骤步骤如下：如下：

4、:求求y=f(x)在在(a，b)内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值);:将函数将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较比较,其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一个为最最小的一个为最小值小值.例例1 1、求函数求函数 在在00，33上的最大值与最小上的最大值与最小值值.4431)(3 xxxf解：解：)2)(2(42 xxxy当当x变化时，变化时，的变化情况如下表：的变化情况如下表：yy,令令 ，解得，解得2,221 xx0 y+04y2(0，2)0 xy(23)，34 极小值极小值31因此函数因此函数 在在00，33

5、上的最大值为上的最大值为4 4，最，最小值为小值为 .4431)(3 xxxf34 因为可导函数的最值点在由导数为零的点和区间的两个端点组成的集合里面因为可导函数的最值点在由导数为零的点和区间的两个端点组成的集合里面.首先首先,求出所有求出所有导数为零的点导数为零的点然后然后,比较区比较区间端点处的间端点处的函数值及所函数值及所有导数为零有导数为零的点的函数的点的函数值值.最后最后,下结论其中最大下结论其中最大的为最大值的为最大值,最小的为最小的为最小值最小值.试概括用导数求最值的方法步骤试概括用导数求最值的方法步骤.1答案答案2答案答案练习练习1 1、求函数、求函数f(x)=)=x2 2-4

6、-4x+6+6在区间在区间11，55内的最大值和最小值内的最大值和最小值.故函数故函数f(x)在区间在区间1,51,5内的最大值为内的最大值为11,11,最小值为最小值为2.2.(比较函数值比较函数值)法一法一:将二次函数将二次函数f(x)=)=x2 2-4-4x+6+6配方配方,利用二次函数单调性处理利用二次函数单调性处理(2)2,(1)3,(5)11fff(),0.f x 1.1.函函数数的的最最大大值值是是最最小小值值是是例例1 1、求函数求函数 在在00，33上的最大值与最小上的最大值与最小值值.4431)(3 xxxf解：解：)2)(2(42 xxxy当当x变化时，变化时，的变化情况

7、如下表：的变化情况如下表：yy,令令 ，解得，解得2,221 xx0 y+04y2(0，2)0 xy(23)，34 极小值极小值31因此函数因此函数 在在00，33上的最大值为上的最大值为4 4，最，最小值为小值为 .4431)(3 xxxf34 练习1、求函数、求函数y=x4-2x2+5在区间在区间-2,2上的最大值上的最大值与最小值与最小值.2、求、求函数函数 y=x+3 x9x在在 4,4 上的最上的最大值与最小值大值与最小值最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.最大值为最大值为 f(4)=76，最小值为，最小值为 f(1)=52312.()ln.2(1)()12(2)1()3f x

8、xxf xexf xx例 已知函数求函数在，上的最大和最小值；求证：当时，2()1,1xf xx e练习：求函数在上的最大和最小值3.()ln(1)0()3(2)().2af xxxaf xf xa例 已知函数当时，求函数的单调区间；若函数在区间1,e上的最小值是，求 的值32231()(11)1326,2af xxaxbxa b 练习：设，函数的最大值是，最小值是，求的值求函数求函数 在在 内的极值；内的极值；)(xf),(ba1.求求 在在 上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤:)(xf,ba求函数求函数 在区间端点在区间端点 的值；的值；)(xf)()(bfaf、将函数将函数 在各极值与在各极值与 比较，其中最大的一比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值个是最大值，最小的一个是最小值)(xf)()(bfaf、小结2.2.求函数最值的一般方法：求函数最值的一般方法：.是利用函数性质是利用函数性质.是利用不等式是利用不等式.是利用导数是利用导数 分析下图一个定义在区间分析下图一个定义在区间 上的函数上的函数 的极值的极值和最值和最值 ba,)(xf如何求如何求 在在 内的最大值与最小值呢？内的最大值与最小值呢？)(xf ba,