北京工业大学线性代数第六章第五节标准形第六节唯一性课件.ppt

1、1第五节第五节 标准形标准形一二次型的标准形一二次型的标准形二化二次型为标准形的方法二化二次型为标准形的方法2一二次型的标准形一二次型的标准形只含平方项的二次型，称为只含平方项的二次型，称为标准标准形形.如如222121122(,).nnnf yyyd yd yd y 标准标准形形的矩阵是一个对角阵，且主对角的矩阵是一个对角阵，且主对角112212(,).nnndydyyyydy 定义：定义：说明说明:元素是其平方项的系数。元素是其平方项的系数。3数域数域P上任意一个二次型都可以经过上任意一个二次型都可以经过可逆线性替换化成标准形可逆线性替换化成标准形.数域数域P上任意一个对称矩阵都合同于一上

2、任意一个对称矩阵都合同于一个对角阵个对角阵定理：定理：推论：推论：问题：问题：由定理可知，将一个二次型化为标准由定理可知，将一个二次型化为标准形，关键是要找到可逆替换，如何找形，关键是要找到可逆替换，如何找?如果对称矩阵如果对称矩阵A A合同于一个对角阵，则合同于一个对角阵，则称这个对角阵是称这个对角阵是A的合同标准形的合同标准形定义：定义：4二化二次型为标准形的方法二化二次型为标准形的方法 二次型二次型 含有变量的平方项含有变量的平方项例例1 用配方法化二次型用配方法化二次型2212312121323(,)2226f x xxxxx xx xx x 为标准形，并求出可逆线性替换为标准形，并求

3、出可逆线性替换(P193-例例6.5.1)1配方法配方法5解：解：2212312121323(,)2226f x xxxxx xx xx x xx xxxxxxxx x 2221123232322232()()()26用配方法把变量用配方法把变量x1,x2,x3 逐个配成完全平方逐个配成完全平方2211232232()26xx xxxx x 2221232323()4xxxxxx x 的形式：的形式：xxxxx xxx222212322333()(44)5222123233()(2)5.xxxxxx 61123223332,yxxxyxxyx 令令则有则有2221235,fyyyxyxyxy

4、1112233111012001所所作的可逆替换是作的可逆替换是xyyyxyyxy 1123223332.即即7例例2 用配方法化二次型用配方法化二次型123122313(,)262f xxxx xx xx x 为标准形，并求出可逆替换为标准形，并求出可逆替换(P194-例例6.5.2)解：解：为了能够配方为了能够配方,首先要变成有平方项首先要变成有平方项.为此令为此令xyyxyyxy 11221233,二次型不含变量的平方项二次型不含变量的平方项则则8fyyyyyyyyyy 12121231232()()6()2()yyy yy y 221213232248(按例按例1的方法的方法)yy y

5、yyyy y 222211333223242228yyyy yy 2221322332()2(4)2yyyy yyyy22222132233332()2(44)28yyyyy 222132332()2(2)6.9zyyzyyzy 113223332,令令yyy123,得得则则222123226fzzz为了写出所作可逆替换为了写出所作可逆替换,先从先从式解出式解出yzzyzzyz 113223332把式带入式得所作可逆替换把式带入式得所作可逆替换:xzzzxzzzxz 1123212333310设设12(,)Tnf xxxX AX 1212ttCP PPEP PP 设存在设存在初等矩阵初等矩阵P

6、1,P2,Pt,使得使得,TC ACD 则则2初等变换法初等变换法经过可逆替换经过可逆替换X=CY 化成标准形化成标准形YTDY,其中其中D是对角阵是对角阵.则则2112,TTTTttC ACPP P AP PPD 初等矩阵有三种类型初等矩阵有三种类型 P(j,i(k),P(i,j),P(i(c),11(,)(,);()().TTP i jP i jP i cP i c 因此因此1111(,()(,()1111TTkP j i kP i j kk 即即它们的转置矩阵分别为它们的转置矩阵分别为(,()(,()(,()(,()TP j i kAP j i kP i j kAP j i k(,()(

7、,()(,()ijijckcrkrAAP j i kP i j kAP j i k 像这种初等行、列变换类型相同，称为像这种初等行、列变换类型相同，称为成对初等行、成对初等行、列变换列变换。12()()()().TP i cAP i cP i c AP i c 对于对于(,)(,)(,)(,)TP i jAP i jP i j AP i j 即即同样地，对于同样地，对于()()()jjcccrAAP i cP i cAP i c 即即(,)(,)(,)ijijccrrAAP i jP i j AP i j 13设设12(,)Tnf xxxX AX AE对对A作成对的初等行列变换作成对的初等行列

8、变换对对E 只作初等列变换只作初等列变换 ,DC其中其中 D 是对角阵，即当是对角阵，即当A 变成对角阵时变成对角阵时E就变就变成了可逆矩阵成了可逆矩阵C.且CT AC=D。由以上讨论，我们得到求二次型标准形的由以上讨论，我们得到求二次型标准形的另一种方法：另一种方法：2112,TTTTttC ACPP P AP PPD 12tEP PPC 14例例3 用初等变换法化二次型用初等变换法化二次型123122313(,)262f xxxx xx xx x (P196-例例6.5.3)为标准形，并求出可逆替换为标准形，并求出可逆替换解：解：123122313(,)262f xxxx xx xx x

9、的矩阵为的矩阵为011103,130A 15 011103130100010001AE 111103230100110001 212103230100110001 12cc 12rr 162112cc 202113222011021102001 2112rr 202102222011021102001 1731cc 200102222211121112001 31rr 200102202211121112001 18200100202611321112001 324cc 324rr 113211120012001002006 19则可逆替换为则可逆替换为得得222123126.2fyyyxyy

10、yxyyyxy 11232123331321220化成标准形化成标准形则则(1)同一个二次型其标准形不唯一同一个二次型其标准形不唯一.(2)不同标准形中系数不为不同标准形中系数不为0的平方项的个数相同。的平方项的个数相同。设二次型设二次型XTAX经过非退化线性替换经过非退化线性替换X=CY22211220,1,2,rrid yd yd ydir 比较例比较例2和例和例3的结果可看出：的结果可看出：因为同一个二次型因为同一个二次型,用不同的线性替换用不同的线性替换,可可以得到不同的标准形以得到不同的标准形.21系数不为系数不为0的平方项的个数的平方项的个数r 等于它的矩阵等于它的矩阵 A因此因此

11、R(A)=r.这表明二次型这表明二次型XTAX 的标准形中的标准形中120000TrddC ACd 的秩（即二次型的秩），因而是唯一的。的秩（即二次型的秩），因而是唯一的。22问题问题:由例由例2和例和例3的结果可看出，同一个二次型的结果可看出，同一个二次型的标准形中系数不为的标准形中系数不为0的平方项的个数相同，且的平方项的个数相同，且系数为正的平方项的个数也相同系数为正的平方项的个数也相同.前者对于任意前者对于任意数域数域P上的二次型都成立，后者是否也成立？上的二次型都成立，后者是否也成立？我们将证明后者对于实数域上的二次型是我们将证明后者对于实数域上的二次型是成立的。成立的。23第六节第

12、六节 唯一性唯一性一一.实规范形实规范形 n元实二次型元实二次型 XTAX 经过一个经过一个适当的适当的可逆线性可逆线性替换替换X=CY,可以化成下述形式的标准形可以化成下述形式的标准形 d1y12+d2y22+dpyp2 dp+1yp+12-dr yr2（1）其中其中di0(i=1,2,r);且且r是这个二次型的秩，因是这个二次型的秩，因为正实数总可以开平方，所以可以再作一个可逆为正实数总可以开平方，所以可以再作一个可逆线性替换：线性替换：24则二次型（则二次型（1）可以变成）可以变成如下形式的标准形如下形式的标准形 z12+z22+zp2-zp+12-zp+q2称为称为XTAX的的实规范形

13、实规范形.1,1,2,1,iiijjyzirdyzjrn实规范型的特征：实规范型的特征：只含平方项，且平方项的系数为只含平方项，且平方项的系数为1、-1或或0；系数为；系数为1的平方项都写在前面。的平方项都写在前面。25例例1 用初等变换法化二次型用初等变换法化二次型123122313(,)262f xxxx xx xx x (P196-例例6.5.3)为规范形，并求出可逆替换为规范形，并求出可逆替换解：解：用初等变换法经可逆替换用初等变换法经可逆替换xyyyxyyyxy11232123331212 26得标准形得标准形222123126.2fyyy11233212216yzyzyz 2221

14、23.fzzz得规范形得规范形再作线性替换再作线性替换问题：问题：实二次型的规范形是不是唯一呢？实二次型的规范形是不是唯一呢？27二二.唯一性的几个结论唯一性的几个结论惯性定理惯性定理:实二次型的规范形是唯一的实二次型的规范形是唯一的.定义定义:实二次型实二次型 XTAX 的规范形中的规范形中,正平方项的正平方项的个数个数 p 称为称为XTAX的的正惯性指数正惯性指数,负平方项的个负平方项的个数数 r-p 称为称为负惯性指数负惯性指数,正、负惯性指数之差正、负惯性指数之差 2p-r 称为称为 XTAX 的的符号差符号差.任意实规范形中系数不为任意实规范形中系数不为0的平方项的个数的平方项的个数

15、等于二次型的秩，故等于二次型的秩，故实二次型的规范形被它的秩实二次型的规范形被它的秩和正惯性指数决定。和正惯性指数决定。注：注：28 实二次型实二次型 XTAX 的任一标准形中，系数的任一标准形中，系数为正的平方项个数是唯一确定的为正的平方项个数是唯一确定的,且等于且等于XTAX的正惯性指数的正惯性指数.系数为负的平方项个数也唯一确系数为负的平方项个数也唯一确定且等于定且等于 XTAX的负惯性指数的负惯性指数推论推论1 所以，所以，n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵A A 的合同标准形的合同标准形中，主对角元素为正中，主对角元素为正(负负)数的个数等于数的个数等于A A的正的正(负负)惯性指数。惯性

16、指数。29 任意一个实对称矩阵任意一个实对称矩阵 A 都都合同于一个主合同于一个主对角元只有对角元只有1,-1,01,-1,0的对角阵的对角阵.其中其中1,-11,-1的个数共的个数共有有 R(A)个，个，1 1的个数等于的个数等于X XT TAX 的正惯性指数的正惯性指数,-1-1的个数等于的个数等于X XT TAX AX 的负惯性指数的负惯性指数.这个对角阵这个对角阵成为成为A A的的合同规范形合同规范形;1和和-1的个数分别称为的个数分别称为 A 的的正惯性指数正惯性指数和和负惯性指数负惯性指数.推论推论2 两个两个 n 阶实对称矩阵合同的充要条件是阶实对称矩阵合同的充要条件是它们的秩和正惯性指数相同它们的秩和正惯性指数相同.推论推论3 30作作 业业P21312 17(1)(3)