1、通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短重点应用所学知识解决最短路径问题难点选择合理的方法解决问题一、创设情境多媒体展示：如图，一个圆柱的底面周长为20 cm，高AB为4 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路径这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路径那么怎样求平面图形中的最短路径问题呢？二、自主探究探究一：最短路径问题的概念1多媒体出示图和图，提出问题：(1)图中从点A走到点B哪条路最短？(2)图中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？2教师总结：
2、“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题探究二：河边饮马问题多媒体出示问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？提出问题：如果点A和点B分别位于直线的两侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？思考：如果点A和点B位于直线的同侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？教师引导学生讨论，明确找点的方法让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨探究三：造桥选址问题多媒体出示
3、问题2.(教材第86页)提出问题：(1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？(2)这个问题有什么不同？(3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB最短，就是要保证AMMNNB最小尝试选址作出图形多媒体展示教材图13.47，13.48，13.49，引导学生分析、观察，让学生根据刚才的分析，完成证明过程根据问题1和问题2，你有什么启示？三、知识拓展已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中的路程，再进行比较
4、四、归纳总结1本节课你学到了哪些知识？2怎样解决最短路径问题？本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题学习，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问题知识点：最短路线问题1如图，小明到小丽家有四条路，其中路程最短的是()A B C DB2如图，某村计划挖一条水渠将不远处的河水引到农田(记作点O)，以便对农田进行灌溉，现设计了四条路线，其中最短的是()AOA BOB COC DODB3如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水，现有如下四
5、种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是()D4如图，在四边形ABCD中，A90，AD4，连接BD，BDCD，ADBC，若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为_45如图，AD是等边ABC的BC边上的高，AD6，M是AD上的动点，E是AC边的中点，则EMCM的最小值为_66如图，四边形ABCD中，C50，BD90，E，F分别是BC，DC上的点，当AEF的周长最小时，EAF的度数为()DA50B60C70D807如图，需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置解：作点A关于公路的对称点A，连接AB交公路于点P，点P即为机场的位置8如图
6、，P为马厩，AB为草地边缘(下方为草地)，CD为一河流，牧人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩请你帮他确定一条最佳行走路线解：分别作P关于AB，CD的对称P1，P2，连接P1P2交AB于M，交CD于N，则最佳路线为PMMNNP9(问题2变式)如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？解：过点A作APa，并在AP上向下截取AA，使AA河的宽度；连接AB交b于点D；过点D作DEAA交a于点C；连接AC，则CD即为桥的位置图略方法技能：解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”来求线段和的最小值易错提示：混淆什么情况下用“两点之间，线段最短”，什么情况下用“垂线段最短”而出错
