1、角的平分线的性质（第二课时）初中数学回顾 角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等书写：AOP=BOP （OP平分AOB），PDOA于D，PEOB于E，PD=PE初中数学分析：标图1 已知可推？“角分双垂推相等”由角的平分线的性质得 DE=DF 2求证何来？“全等推相等”例 如图，ABC中，AD 是它的角平分线，且BD=CD，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F求证：EB=FC初中数学PDFPEH.PD=PE=PF即点P到三求证：EB=FC理时，不必再使用全等证明一遍这个结论BAD=CAD，BAD=CAD，即AD是BAC的平分线一点P，使P到斜边的距离等于PC（画出图形，求证：EB
2、=FC于点F求证：DE=DFBM是ABC的角平分线，1 已知可推？“角分双垂推相等”证明：作PHAB于H练习 如图，ABC的ABC外角的平分线BD与ACB的外角的平分线CE相交于点P例 如图，ABC的角平分线BM，CN相交于P点P在BM上，PD=PE=PF即点P到三边AB,BC,CA的距离相等求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等求证何来？“距离需作垂”是M、N求证：PM=PN求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等分析：标图1 已知可推？“角分双垂推相等”由角的平分线的性质得 DE=DF 2求证何来？“全等推相等”例 如图，ABC中，AD 是它的角平分线，且BD=CD，DEA
3、B，DFAC，垂足分别为E，F求证：EB=FC初中数学分析：标图1 已知可推？“角分双垂推相等”由角的平分线的性质得 DE=DF 2求证何来？“全等推相等”由 RtBDE RtCDF 得 EB=FC例 如图，ABC中，AD 是它的角平分线，且BD=CD，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F求证：EB=FC初中数学在RtBDE和RtCDF中,RtBDE RtCDF（HL）EB=FCDEDFBDCD，证明：AD平分BAC，DEAB，DFAC，DE=DF（角的平分线的性质）识别定理及对应基本图初中数学例 如图，ABC的角平分线BM，CN相交于P求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等分析：已知可推
4、？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”初中数学例 如图，ABC的角平分线BM，CN相交于P求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等分析：已知可推？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”考虑“作双垂”初中数学例 如图，ABC的角平分线BM，CN相交于P求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等分析：已知可推？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”考虑“作双垂”注意：两组“角分待双垂”初中数学例 如图，ABC的角平分线BM，CN相交于P求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等分析：已知可推？“角分无双垂”求证何来？“距离需作垂”考虑“作双垂”注意：两组“角分待双垂”初中数学证明：过点P作PD
5、，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F初中数学证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，FBM是ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE 初中数学证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，FBM是ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE 同理 PE=PFPD=PE=PF即点P到三边AB,BC,CA的距离相等初中数学证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，FBM是ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE 同理 PE=PFPD=PE=PF即点P到三边AB,BC,CA的
6、距离相等复原基本图初中数学练习 如图，ABC的ABC外角的平分线BD与ACB的外角的平分线CE相交于点P求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等“角分无双垂”“距离需作垂”初中数学练习 如图，ABC的ABC外角的平分线BD与ACB的外角的平分线CE相交于点P求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等“角分无双垂”“距离需作垂”想“作双垂”两组初中数学证明：过点P作PF，PG，PH分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为F，G，HBD为ABC外角的平分线，点P在BD上，PF=PG同理 PG=PHPF=PG=PH即点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等类比的想法初中数学
7、例 已知：如图，AB=AC，BD=CD，DEAB，交AB的延长线于点E，DFAC，交AC的延长线于点F求证：DE=DF初中数学例 已知：如图，AB=AC，BD=CD，DEAB，交AB的延长线于点E，DFAC，交AC的延长线于点F求证：DE=DF分析：标图1 已知可推？“全等待条件”“双垂待角分”考虑连接AD初中数学例 已知：如图，AB=AC，BD=CD，DEAB，交AB的延长线于点E，DFAC，交AC的延长线于点F求证：DE=DF分析：标图1 已知可推？“全等待条件”“双垂待角分”2 求证何来？“角分双垂推相等”更好“全等推相等”考虑连接AD初中数学例 已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE
8、AB，交AB的延长线于点E，DFAC，交AC的延长线于点F求证：DE=DF整理思路：连接AD，证明ABD ACD由全等证角等“角分双垂推相等”初中数学证明：连接AD 在ABD与ACD中，ABD ACD（SSS）BAD=CAD，即AD是BAC的平分线又DEAB，DFAC，DE=DF复原基本图作公共部分ABACBDCDADAD，初中数学练习 如图，OP平分AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与PDA相等的角是 ，并证明你的结论初中数学练习 如图，OP平分AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与PDA相等的角是 ，并证明你的结论分析：标图1 已知可推？“角分无垂直”
9、，初中数学练习 如图，OP平分AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与PDA相等的角是 ，并证明你的结论分析：标图1 已知可推？“角分无垂直”，考虑“作双垂”初中数学练习 如图，OP平分AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD=PE，图中与PDA相等的角是 ，并证明你的结论PEO分析：标图1 已知可推？“角分无垂直”，考虑“作双垂”2 猜测PDA=PEO；求证何来？构造的全等初中数学解：PDA =PEO理由如下：如图，过点P作PFOA于点F，PHOB于点HPDPEPFPH，OP平分AOB，PF=PH 在RtPDF与RtPEH中，RtPDF RtPEH（HL）PDFPEH.PD
10、A=PEO初中数学小结在我们运用角的平分线的性质处理问题时：1熟悉定理及其对应的基本图；2与角的平分线的性质有关的常见的辅助线是:补全基本图；如:过角平分线上的点向角两边作垂线；3特别注意，可以使用角的平分线的性质定理时，不必再使用全等证明一遍这个结论初中数学同理 PE=PFRtBDE RtCDF（HL）BM是ABC的角平分线，ABD ACD（SSS）例 已知：如图，AB=AC，BD=CD，DEAB，BAD=CAD，DE=DF（角的平分线的性质）“全等待条件”“双垂待角分”CA，垂足分别为D，E，F是M、N求证：PM=PN，并证明你的结论于点F求证：DE=DF同理 PE=PF求证：SABD：S
11、ACD=AB：ACPDA=PEO1 已知可推？“角分无垂直”，练习 如图，OP平分AOB，点D，E分别在OA，BM是ABC的角平分线，PDA=PEOPEOB于E，求证何来？“距离需作垂”1 已知可推？“角分无垂直”，1如图，在ABC中，AD是它的角平分线求证：SABD：SACD=AB：AC作业初中数学作业2如图，BD是ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PMAD，PNCD，垂足分别是M、N求证：PM=PN同学们，再见！初中数学例 如图，ABC中，C=90，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC（画出图形，并写出画法）分析：PC即点P到边BC，点P首先满足到BC和到斜边AB的距离相等；点P在AC上初中数学例 如图，ABC中，C=90，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC（画出图形，并写出画法）作法：作ABC的平分线，交AC于点P则点P为所求初中数学例 如图，ABC中，C=90，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC（画出图形，并写出画法）作法：作ABC的平分线，交AC于点P则点P为所求证明：作PHAB于HC=90，PCACPC=PH
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