311 312空间向量及其加减与数乘运算运算课件.pptx

1、3.1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算运算向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。重要概念：（1）零向量：长度为0的向量，记作0.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量.（3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.注意：1）零向量是一个特殊的向量；2）零向量与非零向量的区别。1.平面向量的基本知识复 习 回 顾几何表示 :有向线段向量的表示字母表示 坐标表示 :(x，y)若 A(x1,y1),B(x2,y2)则 AB=(x2 x1,y2 y1)1.平面向量的基本知识复 习 回 顾2、平面向

2、量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba ba ba (k0)ka (k0)ka (k0)k空间向量的数乘空间向量的加减法ababOABb结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。思考：它们确定的平面是否唯一？思考：它们确定的平面是否唯一？思考：空间任意两个向量是否可能异面？思考：空间任

3、意两个向量是否可能异面？平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak)()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律abba加法交换律bkakbak)(数乘分配律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则数乘:ka,k为正数,负数,零加法结合律成立吗？abcOBCab+abcOBCbc+(平面向量平面向量)向量加法结合律在空间中仍成立吗向量加法结合律在空间中仍成立吗?ab+c+()ab+c+()AA(a+b)+)+c=a

4、+(+(b+c)abcOABCab+abcOABCbc+(空间向量空间向量)ab+c+()ab+c+()(a+b)+)+c=a+(+(b+c)向量加法结合律：向量加法结合律：空间中空间中推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。01433221AAAAAAAAn平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak)()()(cba

5、cbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律小结abba加法交换律bkakbak)(数乘分配律)()(cbacba加法结合律类比思想 数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零数乘空间向量的运算法则数乘空间向量的运算法则例如例如:a3a3a定义定义:我们知道平面向量还有数乘运算我们知道平面向量还有数乘运算.类似地类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢其运算律是否也与平面向量完全相同呢?显然显然,空间向量的数乘运算满足分配律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律及结合律()()()a babaaaaa 即：（）其中、是实数。2特殊向

6、量例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D111121)4()(31)3()2()1(CCADABAAADABAAADABBCABABCDABCDA1B1C1D1ABCDa平行六面体：平行四边形ABCDABCD平移向量 到A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的轨迹所形成的几何体.a记做ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式，并标出化

7、简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1G11121)4()(31)3()2()1(CCADABAAADABAAADABBCAB;)1(ACBCAB解：1111)2(ACCCACAAACAAADABM 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量lAPa lAPa BO中点公式：若P为AB中点,则12 OPOAOBOABP结论：A、B、P三点共线的充要条件A、B、P三点共线APt AB A(1)OP xOyOB x y 二.共面向量:1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.OA注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个

8、向量就不一定共面的了。AabBCPp 平面向量基本定理：如果是 同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使12ee ，a12，1 122aee abBPCA思考1：空间任意向量 与两个不共线的向量 共面时，它们之间存在怎样的关系呢？p a b，ababBCp PAO思考2：有平面ABC，若P点在此面内，须满足什么条件？结论:空间一点P位于平面ABC内 存在有序实数对x,y使 或对空间任一点O,有 APxAByAC OPOAxAByAC作用：可证明或判断四点共面=+OPOAxAByAC 由=+-+()(OPOAx OBOAy OC OA -)得=-+(1)

9、OPxy OAxOByOC 例2.如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使求证：四点E、F、G、H共面；平面EG/平面AC.,OEOFOGOHkOAOBOCODOBAHGFECD例2(课本例)已知 ABCD，从平面AC外一点O引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：四点E、F、G、H共面；平面AC/平面EG.BCDOEFGH证明：四边形ABCD为 ACABAD （）EGOGOE kOCkOA ()k OCOA kAC（）代入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以

10、 E、F、G、H共面。EFEH 例2 已知 ABCD，从平面AC外一点O引向量 ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：四点E、F、G、H共面；平面AC/平面EG。证明：由面面平行判定定理的推论得：EFOFOE kOBkOA()k OBOA kAB 由知EGkAC/EGAC/EFAB/EGAC面面面面ABCDOEFGH1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：(A)若 ，则P、A、B共线(B)若 ，则P是AB的中点(C)若 ，则P、A、B不共线(D)若 ，则P、A、B共线OPOAt AB 3OPOAAB OPOAt AB OPOAAB 2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为()1()1()0()3()3ABCDOMxOAOBOC11113333 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.定理定理推论推论运用运用判断三点共线，或两判断三点共线，或两直线平行直线平行判断四点共面，或直线判断四点共面，或直线平行于平面平行于平面)0(/ababapabbyxpABtOAOPACyABxOAOP小结共面)1(APyxOByOxO)1(0zyxOCzOByOAxOP