第5章 等参单元与数值积分课件.ppt

1、第五章第五章 等参单元与数值积分等参单元与数值积分上海工程技术大学机械工程学院上海工程技术大学机械工程学院2023-1-52第五章第五章 等参单元与数值积分等参单元与数值积分第第3节八结点四边形等参数单元节八结点四边形等参数单元第第2节节 四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元第第1节节 概述概述 第第4节节 四九结点等参数单元四九结点等参数单元第第6节节 数值积分数值积分第第5节节 等参单元列式等参单元列式第第7节节 三维数等参元三维数等参元第第8节节 小结小结2023-1-53第第1节节 概概 述述 用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能用直边单元离散曲边的求解域势必要用

2、更多的单元数才能较准确地描述实际边界。本章将要介绍的较准确地描述实际边界。本章将要介绍的等参元等参元(Isoparametric Element)是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的描述不规则的边界。这类单元的出现不仅系统的解决了构造协描述不规则的边界。这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。等参数单元在构造形函数时首先定义一个类型的单元所采用。等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的规则的母体单元母体单元(参考单元

3、参考单元/标准单元标准单元)，在母体单元上构造形函，在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。变换数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。变换涉及两个方面：涉及两个方面：几何图形的变换几何图形的变换(坐标变换坐标变换)和和位移场函数的变位移场函数的变换换(母单元的位移模式母单元的位移模式)，由于两种变换均采用了，由于两种变换均采用了相同的函数关相同的函数关系系(形函数形函数)和和同一组结点参数同一组结点参数，故称其为，故称其为等参变换等参变换。概述概述2023-1-54第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 母体单元、自然坐标和形函数母体单

4、元、自然坐标和形函数 母体单元母体单元：边长为的正：边长为的正方形，自然坐标系方形，自然坐标系，示于示于左图。取四个角点为结点，在左图。取四个角点为结点，在单元内的排序为、单元内的排序为、。仿照矩形单元，可定义出。仿照矩形单元，可定义出四个形函数四个形函数(1,1)(-1,-1)342)41()1(141),(iNiii(5-1-1)显然有如下特点显然有如下特点：),(iN(i)是是，的双线性函数的双线性函数(ii)ijiiNiji当当10),(2023-1-55第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 母体单元、自然坐标和形函数母体单元、自然坐标和形函数(5-1-2)(iii)

5、1)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41),(41iiN2023-1-56第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 实际单元与母体单元之间的坐标变换实际单元与母体单元之间的坐标变换(1)坐标变换坐标变换(5-1-3)设设xy平面上的实际单元平面上的实际单元e由母体单元经过由母体单元经过变换变换F得到，且规定得到，且规定结点结点(i，i)与结点与结点(xi,yi)对应对应(i=14)。这样的变换不只一个，。这样的变换不只一个，利用利用(5-1-1)定义的形函数即可写出这种变换中的一个定义的形函数即可写出这种变换中的一个 eeF：iiiiiiyNyxNx41

6、41),(),(5-1-3)所定义的变换有如下特点：所定义的变换有如下特点：2023-1-57第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 实际单元与母体单元之间的坐标变换实际单元与母体单元之间的坐标变换 x,y是是，的双线性函数。沿的双线性函数。沿母体单元中母体单元中常数的直线常数的直线(坐坐标线标线)，x,y是是的线性函数，对的线性函数，对应于单元应于单元e中的一组直线，特中的一组直线，特别，单元别，单元e的一组对边的一组对边1-2、3-4为直线。类似，为直线。类似，中中常数的常数的另一组坐标线对应于单元另一组坐标线对应于单元e中中的另一组直线。特别的另一组直线。特别，e的另的另

7、一组对边一组对边2-3、4-1也是直线，也是直线，单元单元e为直边四边形。单元为直边四边形。单元的的其他直线其他直线(例如对角线例如对角线1-3)，变，变换到单元换到单元e中将是一条曲线中将是一条曲线(左左图示图示)x,uy,v3241=-1=1=-1/2=0=1/2=1=1/2=0=-1/2=-12023-1-58第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 实际单元与母体单元之间的坐标变换实际单元与母体单元之间的坐标变换()Jacobi矩阵和矩阵和Jacobi行列式行列式 矩阵矩阵 41414141iiiiiiiiiiiiyNxNyNxNyxyxJ(5-1-4)称为变换的称为变换

8、的Jacobi矩阵矩阵。detJ称为变换的称为变换的Jacobi行列式。一般行列式。一般情况下，情况下，J的元素和的元素和detJ都是都是，的函数。若的函数。若detJ恒不为零恒不为零(一一般使它恒正般使它恒正)，则，则J-1存在，变换存在，变换F存在逆变换存在逆变换F-1,即：即：eeF：1使单元使单元e内的任一点内的任一点(x,y)对应于单元对应于单元内内的一确定点的一确定点(，)。此时称变换。此时称变换F为非奇为非奇异的。异的。detJ称为变换特征量。称为变换特征量。2023-1-59第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 实际单元与母体单元之间的坐标变换实际单元与母体单

9、元之间的坐标变换 detJ还具有明显的几何意义，还具有明显的几何意义，如下图如下图所示。设在所示。设在(，)处处detJ0在在(，)附近取一边长为附近取一边长为d，d的长方形。设此长方形的长方形。设此长方形与单元与单元e内的一个小子区域内的一个小子区域d对应，可以证明，此小子域的面对应，可以证明，此小子域的面积积d在略去高阶微量后有在略去高阶微量后有 ddJddeted(,)dd(x,y)2023-1-510第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 实际单元与母体单元之间的坐标变换实际单元与母体单元之间的坐标变换 例如左图所示的实际单元例如左图所示的实际单元e为边长分为边长分别为

10、别为2a、2b的矩形。结点坐标为：的矩形。结点坐标为：2a 2b 1(c,d)4 2 3 xy sin2cos22211adyacxdycxcos2sin2cos2sin2sin2cos24433bdybcxbadybacx则由则由(5-1-3)，可得出坐标变换为可得出坐标变换为 sincossincos121sin2121cos2sin2cos243324321babacbacNNbNNaNNNNcx2023-1-511第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 实际单元与母体单元之间的坐标变换实际单元与母体单元之间的坐标变换 同样得到同样得到：cossincossinbabad

11、y表明：表明：当实际单元当实际单元e为矩形时，经坐标变换得到的为矩形时，经坐标变换得到的x,y是是，的线性函数。的线性函数。Jacobi 矩阵为矩阵为 cossinsincosbbaayxyxJJacobi行列式行列式 abbbaaJcossinsincosdet在单元内是常数。在单元内是常数。2023-1-512第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 单元内假设的位移场单元内假设的位移场 对于平面问题，设沿总体坐标系的位移为对于平面问题，设沿总体坐标系的位移为u、v，结点，结点(xi,yi)的位的位移为移为ui，vi实际单元实际单元e内的假设位移场内的假设位移场(Trial

12、function)取为取为 iiiiiivNvuNu4141),(),(5-1-5)注意，这里注意，这里u、v虽然是虽然是用点的自然坐标用点的自然坐标，表表述的，但位移述的，但位移u、v(以以及后面的单元刚度矩阵及后面的单元刚度矩阵)却是却是对总体坐标系对总体坐标系的。的。这与在单元局部坐标系这与在单元局部坐标系下定义位移场的作法下定义位移场的作法有有区别区别。在坐标变换在坐标变换(5-1-3)和假定的位移场和假定的位移场(5-1-5)中使用的是同一套变换关系中使用的是同一套变换关系(形函形函数数)，同一套变换参数，同一套变换参数(与与(xi,yi)对应的对应的结点位移结点位移(ui,vi)满

13、足这一特征的单元满足这一特征的单元称为等参数单元。这样定义单元有不称为等参数单元。这样定义单元有不少优点，但也对我们提出了一些新问少优点，但也对我们提出了一些新问题。假定的位移场是题。假定的位移场是，的双线性函的双线性函数，当实际单元为矩形时，数，当实际单元为矩形时，可表可表示成示成x,y的线性函数，假定的位移场的线性函数，假定的位移场u、v是是x，y的多项式。但位移场的多项式。但位移场u、v不不再是再是x，y的多项式。的多项式。2023-1-513第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 收敛性分析收敛性分析(1)(1)单元内位移场连续单元内位移场连续 x、y、u、v都是都是，

14、的双线性函数的双线性函数(连续函数连续函数)。只要。只要Jacobi行列式行列式detJ0，u、v就是就是x，y的连续函数。即在实际单元的连续函数。即在实际单元内内u、v连续。连续。(2)(2)刚体位移和常应变条件刚体位移和常应变条件 对于二阶问题，这个条件归结为对于二阶问题，这个条件归结为假定的位移场中包括假定的位移场中包括总体坐标的完全一次多项式总体坐标的完全一次多项式。或者换一个提法：。或者换一个提法：假定的位假定的位移场可以精确地表述任何一种线性变化的真实位移场移场可以精确地表述任何一种线性变化的真实位移场。当。当试探函数直接用总体坐标的多项式描述时试探函数直接用总体坐标的多项式描述时

15、(像第四章所做像第四章所做的那样的那样)采用前面一种提法是方便的。现在试探函数是用采用前面一种提法是方便的。现在试探函数是用自然坐标表述的，则用后一种提法更合适一些。自然坐标表述的，则用后一种提法更合适一些。2023-1-514第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 收敛性分析收敛性分析 我们定义的形函数满足：我们定义的形函数满足：1),(10),(41iiijiiiNijijN当当(5-1-6)yxvyxu654321设真实位移场为设真实位移场为x，y的线性函数的线性函数 将将x，y按按(5-1-3)代入，代入，1),(41iiN由由 iiiijiiiiiiiyxNyNxNN

16、u321414134124112023-1-515第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 收敛性分析收敛性分析 注意到注意到结点位移的真实值结点位移的真实值 则有则有 iiiuyx321iiiuNu41iiivNv41上述论证表明：上述论证表明：只要所定义的形函数满足只要所定义的形函数满足(5-1-6)(不管形函数不管形函数的具体表达式如何的具体表达式如何)，且坐标变换和假定的位移场使用同一，且坐标变换和假定的位移场使用同一组形函数组形函数(等参数单元总是如此等参数单元总是如此)，那么这样假设的位移场一，那么这样假设的位移场一定能够精确地表述任何一种线性位移场，即定能够精确地表

17、述任何一种线性位移场，即刚体位移和常应刚体位移和常应变条件总可以得到满足。变条件总可以得到满足。2023-1-516第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 收敛性分析收敛性分析 对于二阶问题要求穿过单元边界时位移连续。如下图所示，考虑一个实对于二阶问题要求穿过单元边界时位移连续。如下图所示，考虑一个实际单元际单元e，它的母体单元为，它的母体单元为。以。以1-2边为例。沿边为例。沿1-2边边常数，常数，x、y、u、v都都是是的线性函数。设的线性函数。设e边界上的边界上的M点与点与边界上的点对应，则边界上的点对应，则M到结点的距离到结点的距离S将是将是的线性函数。反过来的线性函数。

18、反过来也是也是S的线性函数，因而的线性函数，因而u，v也是也是的线性函数的线性函数，完全由这个边界上两个结点，完全由这个边界上两个结点1、2的位移值的位移值u1、u2、v1、v2所决定。从另一相所决定。从另一相邻单元邻单元 e 看来，沿边看来，沿边1-2,u、v也是也是S的线性函数。完全被结点、处的位的线性函数。完全被结点、处的位移值所决定。从单元移值所决定。从单元e和和e 看来沿共同边界看来沿共同边界1-2上的位移处处相同，即在边界上的位移处处相同，即在边界上位移是连续的。对其他边界可用类似的方法加以证明。上位移是连续的。对其他边界可用类似的方法加以证明。y,vx,ueeMs4M(3)协调性

19、协调性2023-1-517第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 收敛性分析收敛性分析 四结点四边形等参元的形状有较大灵活性，四结点四边形等参元的形状有较大灵活性，巧妙地解决了单元形状的巧妙地解决了单元形状的灵活性和收敛条件灵活性和收敛条件(主要是协调条件主要是协调条件)之间的矛盾。之间的矛盾。但是一般的四边形单元只但是一般的四边形单元只能精确地再现线性变化的位移场，有限元空间能精确地再现线性变化的位移场，有限元空间Vh的次数的次数k1=1。虽然能保证。虽然能保证有限元解的收敛性，但精度不够满意。当实际单元是矩形时，有限元解的收敛性，但精度不够满意。当实际单元是矩形时，是是x、

20、y的的线性函数，假定的位移场将是线性函数，假定的位移场将是x、y的二次多项式，但只完全到一次多项式，的二次多项式，但只完全到一次多项式，二次项不完全。这不完全的二次项有时可能改善精度，有时则不能。例如，二次项不完全。这不完全的二次项有时可能改善精度，有时则不能。例如，在分析在分析下图下图的的“纯弯曲纯弯曲”应力场时，应力场时，图图(a)中的单元将比中的单元将比图图(b)中的单元效果中的单元效果好，尽管还不能说满意。好，尽管还不能说满意。提高单元精度的一个途径是增加结点个数，提高插提高单元精度的一个途径是增加结点个数，提高插值函数阶次。值函数阶次。(b)(a)2023-1-518第第2节节四结点

21、四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 四结点单元的应用实例及相关限制条件四结点单元的应用实例及相关限制条件 某求解域如某求解域如图图(a)所示，若所示，若将该区域用个四结点等将该区域用个四结点等参元进行离散，母体单元参元进行离散，母体单元如如图图(b)所示。所示。101e 12342e(b)(d)xy0.01124342332.03.05.05.03.02.00.01422e1e3ey1432x1e(a)(c)2023-1-519第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 四结点单元的应用实例及相关限制条件四结点单元的应用实例及相关限制条件 从图中可以看出：、从图中可以看出：、2

22、号单元与母体单元的结点编号顺号单元与母体单元的结点编号顺序一致，均为逆钟向，而号单元的编号顺序为顺钟向；序一致，均为逆钟向，而号单元的编号顺序为顺钟向；、号单元为凸形单元，即连接任意两点结点的线段均在单、号单元为凸形单元，即连接任意两点结点的线段均在单元内部，而单元是非凸形单元，如连接结点、的线段元内部，而单元是非凸形单元，如连接结点、的线段不在单元内。下面讨论这些差别在母体单元与实际单元进行不在单元内。下面讨论这些差别在母体单元与实际单元进行映射时的影响。映射时的影响。在母体单元中形在母体单元中形函数如函数如式式(5-1-1),坐标变换关坐标变换关系如式系如式(5-1-3)。首先，计算出首先

23、，计算出Jacobi矩阵中的矩阵中的各元素如右：各元素如右：111141111141111141111141432141432141432141432141yyyyNyyyyyyNyyxxxxNxxxxxxNxxiiiiiiiiiiii2023-1-520第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 四结点单元的应用实例及相关限制条件四结点单元的应用实例及相关限制条件 下面计算出各单元具体的变换关系及下面计算出各单元具体的变换关系及Jacobi行列式的值行列式的值 单元：单元：各结点的坐标为各结点的坐标为 5,3,0,2,043213241yyyyxxxx212153),(122),

24、(43413241NNyNyNNxNxiiiiii 042121202111detJJJacobi行列式是行列式是的线性函数，对所有的的线性函数，对所有的值值(11)Jacobi行行列式的值恒为正，因此，母体单元与列式的值恒为正，因此，母体单元与单元的变换是可逆的单元的变换是可逆的。2023-1-521第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 四结点单元的应用实例及相关限制条件四结点单元的应用实例及相关限制条件 单元单元2：各结点的坐标为各结点的坐标为 Jacobi行列式的值沿着直线行列式的值沿着直线=+1为零，母体单元中的阴影部分为零，母体单元中的阴影部分将映射到实际单元的阴影

25、部分，这部分显然在实际单元之外。例将映射到实际单元的阴影部分，这部分显然在实际单元之外。例如，母体单元中的点如，母体单元中的点=3/4,=-3/4落在阴影部分，该点映射到了落在阴影部分，该点映射到了实际单元的实际单元的x=3.09375，y=1.90625。因此，母体单元与单元的。因此，母体单元与单元的变换不是可逆的。所以内角大于变换不是可逆的。所以内角大于180o网格在任何单元中都是不允网格在任何单元中都是不允许的。许的。一般来说，有限元网格中内角过大或过小都是不合适的。一般来说，有限元网格中内角过大或过小都是不合适的。3,2,0,5,3,243213241yyyyxxxx222),(223

26、),(4141iiiiiiyNyxNx 143211212121det JJ2023-1-522第第2节节四结点四边形等参数单元四结点四边形等参数单元 四结点单元的应用实例及相关限制条件四结点单元的应用实例及相关限制条件 单元单元3：各结点的坐标为各结点的坐标为 Jacobi行列式的值小于零表示：右手坐标系映射到左手坐标系行列式的值小于零表示：右手坐标系映射到左手坐标系，这种变换关系在有限元方法中也是不允许的。，这种变换关系在有限元方法中也是不允许的。5,3,5,0,232414321yyyyxxxx4),(2223),(4141iiiiiiyNyxNx 0220221121det JJ若将单

27、元若将单元3 3的结点编号顺序改为逆钟向，即：的结点编号顺序改为逆钟向，即：5,3,0,5,243214321yyyyxxxx4),(2223),(4141iiiiiiyNyxNx 022112022det JJ则等参则等参变换成变换成为可逆为可逆变换。变换。2023-1-5233结点三角形等参数单元结点三角形等参数单元6结点三角形等参数单元结点三角形等参数单元 形函数推导形函数推导过程？过程？2023-1-524第第3节节八结点四边形等参数单元八结点四边形等参数单元 母体单元形函数母体单元形函数 母体单元母体单元仍为边长为的仍为边长为的正方形正方形(左图左图所示所示)。自然坐。自然坐标系标系

28、，如图所示。在单元如图所示。在单元中配置八个结点，其中中配置八个结点，其中仍位于角点上，仍位于角点上，则则位于各边中点。构造出八个位于各边中点。构造出八个形函数形函数N1N8。如下：。如下：834276586)1)(1(2175)1)(1(2141)1()1)(1(4122、iiiNiiiiiii(5-2-1)2023-1-525第第3节节八结点四边形等参数单元八结点四边形等参数单元 母体单元形函数母体单元形函数 母体单元母体单元仍为边长为的仍为边长为的正方形正方形(左图左图所示所示)。自然坐。自然坐标系标系，如图所示。在单元如图所示。在单元中配置八个结点，其中中配置八个结点，其中仍位于角点上

29、，仍位于角点上，则则位于各边中点。构造出八个位于各边中点。构造出八个形函数形函数N1N8。如下：。如下：834276586)1)(1(2175)1)(1(2141)1()1)(1(4122、iiiNiiiiiii(5-2-1)2023-1-526第第3节节八结点四边形等参数单元八结点四边形等参数单元 母体单元形函数母体单元形函数 验证可知形函数具备以下性质：验证可知形函数具备以下性质：(5-2-2)ijjjiiiNN),(1),(812023-1-527第第3节节八结点四边形等参数单元八结点四边形等参数单元 实际单元和坐标变换实际单元和坐标变换 如如左图左图所示，实际单元所示，实际单元e的八个

30、结的八个结点坐标为点坐标为(xi,yi)，则母体单元，则母体单元到到实际单元实际单元e的坐标变换取为的坐标变换取为(5-2-3)y76543218x08181),(),(iiiiiiyNyxNxJacobi矩阵为矩阵为 81818181iiiiiiiiiiiiyNxNyNxNyxyxJ2023-1-528第第3节节八结点四边形等参数单元八结点四边形等参数单元 实际单元和坐标变换实际单元和坐标变换 当当Jacobi行列式行列式 detJ0时，时，(5-2-3)规定的变换是非奇规定的变换是非奇异的。异的。(5-2-1)所定义的形函数对于变量所定义的形函数对于变量或变量或变量来说次数都不来说次数都不

31、超过。沿母体单元超过。沿母体单元中中常数的直线常数的直线(坐标线坐标线)，根据，根据(5-2-3)，x、y将是将是的二次函数，因而对应于的二次函数，因而对应于图中所示图中所示实际单元实际单元e中的一族曲线。母体单元中的一族曲线。母体单元中中常数的直线将对应于实际常数的直线将对应于实际单元单元e中的另一族曲线。在一般情况下单元中的另一族曲线。在一般情况下单元e将是曲边四边形将是曲边四边形。当实际单元。当实际单元e为矩形，且结点为矩形，且结点位于各边中点时，变换位于各边中点时，变换(5-2-3)的右端退化为的右端退化为、的一次多项式，反过来的一次多项式，反过来、也可表也可表示为示为x、y的线性函数

32、。的线性函数。2023-1-529第第3节节八结点四边形等参数单元八结点四边形等参数单元 单元内假设的位移场单元内假设的位移场(5-2-5)单元内的位移场单元内的位移场(即试探函即试探函数数)采用与坐标变换相同的采用与坐标变换相同的一套形函数一套形函数(5-2-1)(5-2-1)，对平，对平面问题则认为单元面问题则认为单元e内有内有 8181),(),(iiiiiivNvuNu(5-2-4)在在(5-2-4)中，中，u、v是是、的多项的多项式，共有项。如果注意到式，共有项。如果注意到(5-2-1)定义的形函数中定义的形函数中、的三次项的三次项只有只有2和和2(没有没有3和和3)，展开，展开后必

33、归为以下形式的位移场。后必归为以下形式的位移场。2162152141321211109282726524321vu完全到完全到、的二次多项式，三次项不完全。一般情况下的二次多项式，三次项不完全。一般情况下u、v不不是是x、y的多项式，但当的多项式，但当、可以表示成可以表示成x、y的线性函数的线性函数(单元单元e为矩形，且结点为矩形，且结点位于各边中点位于各边中点)时时u、v将是将是x、y的多项式的多项式，且完全到，且完全到x、y的二次多项式。的二次多项式。2023-1-530第第3节节八结点四边形等参数单元八结点四边形等参数单元 收敛性分析收敛性分析 当当detJ0时可保证单元内位移场连续，时

34、可保证单元内位移场连续，(5-2-2)则保证了刚体位则保证了刚体位移和常应变要求。只剩下一个协调性问题。移和常应变要求。只剩下一个协调性问题。0y,v76543218x，usMe(a)(b)4M2023-1-531第第3节节八结点四边形等参数单元八结点四边形等参数单元 收敛性分析收敛性分析 现以结点现以结点1-5-2所在的边为例所在的边为例(图示图示)。沿此边。沿此边常数，根常数，根据据(5-2-5)，u、v将是将是的二次函数。设边上一点与单元的二次函数。设边上一点与单元边上的边上的点对应，到结点的弧长为点对应，到结点的弧长为S，则的坐标，则的坐标将是将是的单值函数的单值函数(S)，这说明，沿

35、，这说明，沿1-5-2边，边，u、v是是(S)的二次函数，完全由这条的二次函数，完全由这条边上三个结点：边上三个结点：1、5、2处的位移处的位移u、u、u、v、v、v决决定。从而保证穿过这段边界时位移定。从而保证穿过这段边界时位移u、v的连续性。这样的连续性。这样八结点八结点等参数单元满足了收敛性所要求的各项条件等参数单元满足了收敛性所要求的各项条件。2023-1-532第第3节节八结点四边形等参数单元八结点四边形等参数单元 精度分析精度分析 由于性质由于性质(5-2-2)，八结点等参数单元，八结点等参数单元(以及四结点等参元以及四结点等参元)能能够精确地再现任何线性分布的位移场。够精确地再现

36、任何线性分布的位移场。当实际单元当实际单元e为矩形，且边结点位于所在边中点时，假定的为矩形，且边结点位于所在边中点时，假定的位移场将包含位移场将包含x、y的完全二次多项式，这时有限元空间的完全二次多项式，这时有限元空间Vh的次的次数数k1为。位移的误差为为。位移的误差为(h3)，应力的误差为，应力的误差为(h2)。八结八结点等参元的边界可以为曲边点等参元的边界可以为曲边，因而可以更好地逼近区域因而可以更好地逼近区域的曲线的曲线边界边界。从逼近曲线边界来讲对提高精度有利，。从逼近曲线边界来讲对提高精度有利，但单元形状的畸但单元形状的畸变变(单元单元为正方形，单元为正方形，单元e为曲边四边形！为曲

37、边四边形！)却有可能损失插值精却有可能损失插值精度。只有在单元畸变不大的情况下，才能保证位移和应力的误度。只有在单元畸变不大的情况下，才能保证位移和应力的误差分别为差分别为(h3)和和(h2)。2023-1-533第第3节节八结点四边形等参数单元八结点四边形等参数单元 精度分析精度分析 所谓畸变小是指：所谓畸变小是指：(i)连接直边四个角点所成直连接直边四个角点所成直边四边形的内角远大于边四边形的内角远大于0o，远小于远小于180o。(ii)上述直边四边形接近平行上述直边四边形接近平行四边形或矩形。即四边形或矩形。即左图左图中的中的 1=(h2)(iii)实际单元实际单元(直边或曲边直边或曲边

38、)的的边结点与上述直边四边形中边结点与上述直边四边形中点的偏离较小。即点的偏离较小。即左图左图中的中的2=(h2)81 1222276543212023-1-534第第3节节八结点四边形等参数单元八结点四边形等参数单元 精度分析精度分析 对于工程问题中通常对于工程问题中通常采用的、不是有意加采用的、不是有意加密的网格而言，上述密的网格而言，上述条件很难同时得满足条件很难同时得满足。在这种情况下达不。在这种情况下达不到位移到位移(h3)和应力和应力(h2)的精度，但一的精度，但一般总比四结点单元精般总比四结点单元精度好。左图中，显然度好。左图中，显然(a)形状比形状比(b)形状的形状的单元畸变小

39、，因而精单元畸变小，因而精度也比度也比(b)好。好。6(b)34217858(a)74326512023-1-535第第4节节四九结点等参数单元四九结点等参数单元 概述概述 如如左图左图所示，通用分所示，通用分析程序中选用的往往析程序中选用的往往不是固定的四结点或不是固定的四结点或八结点单元，而结点八结点单元，而结点数目可由用户在一定数目可由用户在一定范围范围(例如四例如四九九)内内任意选择。这样不仅任意选择。这样不仅为用户提供了不同精为用户提供了不同精度的单元，而且为用度的单元，而且为用户同时使用不同精度户同时使用不同精度的单元时提供了过渡的单元时提供了过渡方法方法 四结点单元四结点单元(低

40、精度单元低精度单元)五结点单元五结点单元(过渡单元过渡单元)八结点单元八结点单元(高精度单元高精度单元)2023-1-536第第4节节四九结点等参数单元四九结点等参数单元 概述概述 仍取边长为的正方形为母体仍取边长为的正方形为母体单元，自然坐标系单元，自然坐标系、取法同取法同前面一样。在母体单元前面一样。在母体单元中安中安排了九个位置，用户可以根据排了九个位置，用户可以根据自己的需要在这些位置上安排自己的需要在这些位置上安排结点结点(图图5-14)。其中。其中位于位于角点，这四个节是必需的。角点，这四个节是必需的。8位于各边中点，位于形心位于各边中点，位于形心，后面这五个位置可以自由安，后面这

41、五个位置可以自由安排结点。从上一节介绍的两种排结点。从上一节介绍的两种等参数单元可知，在等参数单等参数单元可知，在等参数单元中形函数起着关键的作用。元中形函数起着关键的作用。下面重点讨论不同情况下构造下面重点讨论不同情况下构造形函数的方法。形函数的方法。492023-1-537第第4节节四九结点等参数单元四九结点等参数单元 四结点单元四结点单元 即第即第5-1节中的单元，形函数如节中的单元，形函数如(5-1-1)所示。母体单元所示。母体单元如下图所如下图所，一般实际单元如，一般实际单元如图图(b)。若四边形单元的两点结点。若四边形单元的两点结点(例如和例如和)重合为一点，将得到图重合为一点，将

42、得到图(c)的三角形单元在重合的结点上的三角形单元在重合的结点上detJ0，但是进一步对位移场分析可知，这时得到的正是常应变三，但是进一步对位移场分析可知，这时得到的正是常应变三角元，只要在积分时避开重合结点，就不会遇到什么困难。角元，只要在积分时避开重合结点，就不会遇到什么困难。4xyxy1,43413ee(b)(c)(a)2023-1-538第第4节节四九结点等参数单元四九结点等参数单元 五结点单元五结点单元 设在位置处再增加一个结点，则成设在位置处再增加一个结点，则成为五结点单元为五结点单元(左图左图所示所示)。4(1)构造形函数：构造形函数：为了保证在为了保证在(0,-1)处处为，在其

43、他三条边上为零，可以构为，在其他三条边上为零，可以构造出：造出：)1)(1(21)1(121),(5225N(5-3-1)(2)修改结点、当前的形函数修改结点、当前的形函数:四结四结点单元形函数点单元形函数N1、N2在在(5、5)的值为的值为 021)1,0(,021)1,0(1NN为此必须对为此必须对它们进行修它们进行修改改,即即:)(1(11),()(1(11),(21)1(11),(2222NNN(5-3-2)2023-1-539第第4节节四九结点等参数单元四九结点等参数单元 五结点单元五结点单元 而而N3、N4则维持原状则维持原状,即：即：(5-3-3)1(11),()1(11),(4

44、44333NN(5-3-1)(5-3-3)就是就是前面图前面图所示五结点单元的形函数。当第五所示五结点单元的形函数。当第五个结点取在其它位置时可用类似的步骤得出形函数。个结点取在其它位置时可用类似的步骤得出形函数。2023-1-540第第4节节四九结点等参数单元四九结点等参数单元 六结点单元六结点单元 如如左图左图所示，设第六个结点取在位置所示，设第六个结点取在位置 4(1)构造形函数构造形函数)1(121),(288N(5-3-4)(2)修改结点、当前的形函数由修改结点、当前的形函数由(5-3-2)和和(5-3-3)可知在可知在(-1,0)之值为之值为:21)0,1(,21)0,1(41NN

45、均将它们修改为均将它们修改为:)1)(1(11),(21)1(11),(81NN）（4448444)1(11),(21)1(11),(NN(5-3-5)2023-1-541第第4节节四九结点等参数单元四九结点等参数单元 六结点单元六结点单元 N2、N3不必修改不必修改(5-3-6)1)(1(21),()1(11),()1)(1(11),(5253332222NNN注意注意，这时，这时N1、N5、N4已同已同(5-2-1)相应的形函数相同。再加一相应的形函数相同。再加一个边结点仍然要做类似的两个事：补充定义一个边点形函数，个边结点仍然要做类似的两个事：补充定义一个边点形函数，修改两个角点当前的形

46、函数。当修改两个角点当前的形函数。当位置均设置结点时，就成位置均设置结点时，就成为为八结点单元八结点单元，形函数即，形函数即(5-2-1)2023-1-542第第4节节四九结点等参数单元四九结点等参数单元 九结点单元九结点单元 (5-3-7)如如左图左图示，设第九个结点取在形心处示，设第九个结点取在形心处 4(1)构造形函数构造形函数 N9(,):要求要求N9(,)在在四边上为零，在形心四边上为零，在形心(0,0)处为。取处为。取)1)(1(),(229N(2)修改结点修改结点18当前的形函数当前的形函数，由由(5-2-1)有有 021)0,0(,041)0,0(51NN将将N1(,)修改为修

47、改为)(1),(1)1)(1(11),(11911111NN(5-3-8)类似地类似地)42()(1),(iNiii(5-3-9)2023-1-543第第4节节四九结点等参数单元四九结点等参数单元 九结点单元九结点单元 修改修改N5(,),即：即：类似地类似地(5-3-10)(121),(21)1(121),(529525NN)(121),()(121),()(121),(222NNN(5-3-11)上述以四结点单元为基础，随着结点增加，逐步扩充、修改形上述以四结点单元为基础，随着结点增加，逐步扩充、修改形函数的方法很容易由计算机去执行。如果有必要，将结点个数函数的方法很容易由计算机去执行。如

48、果有必要，将结点个数扩充到扩充到16也是容易实现的。也是容易实现的。一旦形成了形函数，单元分析的工一旦形成了形函数，单元分析的工作就可以按统一的步骤进行。作就可以按统一的步骤进行。2023-1-544第第5节节 等参元单元列式等参元单元列式概述概述 本节以本节以八结点单元八结点单元为例，讨论等参数单元的单元分析公式。为例，讨论等参数单元的单元分析公式。将单元内位移场表示为矩阵形式将单元内位移场表示为矩阵形式 uNvu式中式中 8721872100000000NNNNNNNNN T88772211vuvuvuvuu坐标变换为坐标变换为 8181),(),(iiiiiiyNyxNx2023-1-5

49、45第第5节节 等参元单元列式等参元单元列式Jacobi矩阵矩阵J及其逆阵及其逆阵J-1 若若detJ0则则J-1存在存在 81818181iiiiiiiiiiiiyNxNyNxNyxyxJ(5-4-1)xyyxJdet(5-4-2)xxyyJJdet11(5-4-3)式式(5-4-3)中的各元素中的各元素的分子、分母一般的分子、分母一般情况下均为情况下均为,的多的多项式，当项式，当detJ为为常数常数时时(实际单元为矩形实际单元为矩形时时)，上式中的各元，上式中的各元素退化为多项式。素退化为多项式。若实际单元近似为若实际单元近似为矩形，则矩形，则detJ近似为近似为常数时，各元素为常数时，各

50、元素为近似的多项式近似的多项式(与插与插值多项式阶数一致值多项式阶数一致的多项式的多项式)2023-1-546第第5节节 等参元单元列式等参元单元列式求导公式求导公式 合并成合并成 得到得到(下式必须以解析的形式给下式必须以解析的形式给出各元素的表达，以便后续的出各元素的表达，以便后续的积分能顺利进行积分能顺利进行)yyNxxNNyyNxxNNiiiiii yNxNJyNxNyxyxNNiiiiii xNxNyNyNJNNJyNxNiiiiiiiidet112023-1-547第第5节节 等参元单元列式等参元单元列式应变几何矩阵应变几何矩阵 其中其中B称为应变矩阵称为应变矩阵/几何矩阵几何矩阵