线性代数(第一章行列式)课件.pptx

1、CramerCramer法则法则un 阶行列式的定义、性质及计算方法 u克拉默（Cramer）法则第二章第二章 行列式行列式1.二阶行列式对于给定的二元线性方程组11 1122121 12222(1)a xa xba xa xb其系数矩阵11122122aaAaa是一个二阶方阵.用消元法求解线性方程组（1），得112212211122212112212212211121()()a aa axbab aa aa axb aba该式中 的系数 称为由二阶方阵 所确定的二阶行列式，记为 12,x x11221221a aa aA11122122.aaDaa11122122detaaAAaa矩阵 的行

2、列式还记作 或 ，即det AAA一般地，二阶行列式1112112212212122aaa aa aaa可按下图所示的对角线法则确定其值：11221221a aa a方阵与矩阵的方阵与矩阵的区别区别：二阶方阵是 个数按确定的方式排成的一个数表，而二阶行列式是这些数（也就是二阶矩阵 ）按一定的运算法则所确定的一个数22A11a12a21a22a1122a a1221a a例例1 1 求解二元线性方程组121224132xxxx11 43 85,2 3D 2 46 4 2 0,1 3D 解解 因为22 14 1 3,1 2D 112252.32DxDxDD 所以定义定义 对于一个给定的3阶方阵 2

3、.三阶行列式(,1,2,3)ijAai j将之与数11 22 3312 23 3113 21 3211 23 3212 21 3313 22 31aa aaa aaa aaa aaa aaa a相对应，那么这个数就称为由矩阵 所确定的三阶行列式A11 22 3312 23 3113 21 32a a aa a aa a a111213212223313233detaaaDAAaaaaaa记作11 23 3212 21 3313 22 31a a aa a aa a a例例2 2 计算三阶行列式123312.231D解解 3331231 2 3 2 3 1 3 1 218D 1112132122

4、233132330aaaDaaaaaa112233DDxDxDxDD利用消元法求解，则可得方程组的解为对于三元线性方程组，如果它的系数行列式为书写方便，将之记成 312123,TT DDDxxxDDD其中 是用常数项 替换 中的第 列所得的三阶行列式，即(1,2,3)jD j123,b b bDj1121312222333233baaDbaabaa1112132122231323.aabDaabaab1111322122331333abaDabaaba例3 解三元线性方程组1231231232415321xxxxxxxxx解24 115 310 12 1 5 6 48 011 1D 114 1

5、25 3 1111 1D2211123911 1D 32411526111DT123,xxxT312,DDDDDDT1193,884 3.阶行列式n（1）设 是一阶方阵，则它所确定的一阶行列式 定义成数 1111Aaa11det Aa11a1112112212212122aaAa aa aaa采用递归的方法给出其定义：(,1,2)ijAai j（2）二阶矩阵 ，它所定义的二阶行列式11121321222311 223312 23 3113 21 32313233aaaAaaaa a aa a aa a aaaa（3）对于三阶矩阵 所确定的三阶行列式(,1,2,3)ijAai j11 23 32

6、12 21 3313 22 31a a aa a aa a a1122 3323 321221 3323 311321 3222 31()()()a a aa aaa aa aaa aa a222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa即111213212223313233aaaaaaaaa222321231112323331332122133132aaaaaaaaaaaaaaa111212122212detnnnnnnaaaaaaDAAaaa(1)n(1)nnn（4）假设由 阶方阵所确定的 阶 行列式已有定义，那么，阶方阵所确定 的 阶行列式用归纳

7、法定义为21232222313331112213nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa212,1111,1(1)nnnnn naaaaa111212122212detnnnnnnaaaaaaDAAaaa那么，上述行列式的定义可记为nAijaij2(1)nA1nijMija(1)ijijijAM ija(,1,2,)i jn将 阶矩阵 的元素 所在的第 行第 列处的元素划去后，中剩下的 个元素按原来的排列顺序组成 阶矩阵所确定的行列式记作 ，称之为 的余子式余子式，为 的代数余子式代数余子式1111121211111nnnjjja Aa Aa Aa A数 也称为行列式 的第 行第 列

8、处的元素 ，而元素 ，所在的对角线称为行列式的主对角线；另一条对角线称为行列式的次对角线ijaAij(,1,2,)i jn11a22annaTDD行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即该性质表明，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡对行成立的对列也成立，反之亦然性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号推论 若行列式两行(列)完全相同，则此行列式为零1122iiiiininDAa Aa Aa A1(1,2,)nikikka Ain推论 方阵的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应的代数余子式乘积之和等于零，即 11220,ijijinjna Aa Aa Aij性质3 行列

9、式按行（列）展开法则 行列式等于对应于它的方阵的任一行(列)的各元素与其代数余子式的乘积之和，即 性质4 行列式的把一行（列）中所有元素都乘以同一常数，等于用数乘此行列式推论1 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面推论2 行列式的某一行（列）的元素全为零，则此行列式为零；若行列式某两行(列)成比例，则此行列式等于零111111niiininnnnaaDbcbcbbi性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，第 行的元素都是两数之和：1111111111nniiniinnnnnnnaaaaDbbccaaaaD则 等于下面两个行列式之和：性质6 把行列式的某一

10、行（列）的各元素乘以同一常数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变5.行列式的计算计算行列式的一种基本方法是利用性质2，性质4，性质6将其化成三角行列式后而计算例1 计算2512371459274612DD13cc2131412rrrrrr24rr32422rrrr1522173429571642152202160113012015220120011302161522012000330036解解43rr15260120003300039 例21222212111112111()nnnjiij nnnnnxxxDxxxxxxxx这里记号“”表示全体同类因子的乘积证明范德蒙（Vandermo

11、de）行列式221121211()jiijDxxxxxx 现假设式对 阶范德蒙行列式成立，1n为此，从第 行开始，后行减去前行的 倍，有n1x证 用数学归纳法因为2n 所以，当 时等式成立n要证明等式对 阶行列式也成立2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxDx xxx xxx xxxxxxxxxxx232131122223111()()()nnnnnnnxxxDxxxxxxxxx提出，就有1()ixx按第一列展开，并把每列的公因子2ijn 213112()()()()nnjiij nDxxxxxxxx ，故1n上式右端的

12、行列式是一个 阶范德蒙行列式其中1()jiij nxx ()jixx按归纳法假设，它等于所有 因子的乘积例3 计算 阶行列式n()abbbabDabbba(1)anb解 行列式中每行元素之和均为 ，从第第2列起，把每列均加到第1列上，提出公因子(1)anb，然后各行减去第1行：D12nccc(1)(1)(1)anbbbanbabanbba(1)canb11(1)1bbabanbba100(1)00bbabanbab21311nrrrrrr1(1)()nanb abijrkrijrkr 在上述诸例将行列式化为上三角行列式的过程中，虽然我们用到了性质2，4，6中的各种运算，但是起关键作用的是运算，

13、其他几种运算只是使计算过程变得简单一点而已稍作分析，便不难发现任何阶行列式总能利用运算化为上三角形行列式，或化为下三角形行列式类似，利用运算 ijckc也可把行列式化为上三角形行列式或下三角形行列式例例4 设1111111111110000nnnnnmmmnmmmaaaaDccbbccbb11111det()nijnnnaaDaaa11121det()mijmmmbbDbbb12DD D证明证明 证 对 作运算 ，把 化为下三角行列式，设为1Dijrkr1D111112210nnnnnpDp pppp对 作运算 ，把 化为下三角行列式，设为2Dijckc2D112112210nnnnnqDq

14、qqqq11111nnnnaaDaa11121mmmmbbDbb111111111nnnnmmnmmpppDccqccq于是，对 的前 行作运算 ，再对 的后 列作运算 ，把 化成下三角行列式nDDijrkrijckcDm即111112.nnmmDppqqD D000000000000000000000000abababDcdcdcd例题65000000000000000000000000rrabababcdcdcd540000000000000000000000000rrabababccdcd43000000000000000000000000rrababcdabcdcd3200000000

15、0000000000000000rrabcdababcdcd000000000000000000000000ababcdabcdcd65000000000000000000000000ccabcdababcdcd54000000000000000000000000ccabcdababcdcd000000000000000000000000abcdababcdcd54000000000000000000000000ccabcdababcdcd54000000000000000000000000ccabcdababcdcd54000000000000000000000000ccabcdababcd

16、cd11 11221121 1222221 122,(1),nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb6.6.克拉默克拉默（CramerCramer）法则）法则对方程个数与未知量的个数相等的如下的线性方程组111212122212(2)nnnnnna aaaaaAaaaTT1212,.(3)nnDDDx xxDDD定理定理1（克拉默法则）（克拉默法则）0DA的行列式 ,那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表示为 如果线性方程组（1）的系数矩阵111,111,11212,122,121,1,1,1,2,.(4)jjnjjnjnn jnn

17、jnnaab aaaab aaDjnaab aa 1122jjjnnjDb Ab Ab AjDj注意：将行列式注意：将行列式 按第按第 列展开，显然列展开，显然jDAj12,nb bb其中 是把矩阵 中的第 列换成方程组的常数项 所成的矩阵行列式，即 11 1122121 122221 1220,0,(5)0,nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x对于齐次线性方程组显然 一定是解，称为零解.将克拉克拉默默法则用于齐次线性方程组（5），可得0,0,0T定理1 如果线性方程组（1）无解或至少有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。定理2 如果齐次线性方程组（5）的

18、系数矩阵的行列式0DA那么它只有零解；也就是说，如果方程组（5）有非零解，0.DA那么必有例例1:求一个二次多项式求一个二次多项式f(x)=ax2+bx+c,使得使得f(1)=0,f(2)=3,f(3)=28.解解:由题意得由题意得 f(1)=a+b+c=0,f(2)=4a+2b+c=3,f(3)=9a 3b+c=28.这是一个关于三个未知数这是一个关于三个未知数a,b,c的线性方程组的线性方程组.由克拉默法则由克拉默法则,得得于是于是,所求的多项式为所求的多项式为:f(x)=2x2 3x+1,020139124111 D4013281231101 D6012891341012 D2028393240113 D1,3,2321 DDcDDbDDa解解：由定理2，如果方程组有非零解，那么它的系数矩阵的行列式1231231230020 xxxxxxxxx例例2 问 为何值时，齐次线性方程组有非零解？DA1111 11212 012.或由此得定理定理 任意一个 矩阵 ，总可以经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形m nA100000100000100000000000000F