1、情境引入学习目标1.了解反证法的证明步骤,体会反证法证明问题的思想,并能够运用反证法来证明一些问题.(重点)2.理解并体会反证法的思想内涵.(难点)3.通过反证法的学习,培养辩证唯物主义观念.导入新课导入新课 如图,在ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,(abc)有关系a2+b2=c2时,这个三角形一定是直角三角形吗?c ca ab bA AC CB B 解析:由a2+b2 c2,根据勾股定理的逆定理可知C=90,这个三角形一定是直角三角形.复习引入讲授新课讲授新课反证法 若将上面的条件改为“在ABC中,AB=c,BC=a,AC=b(abc),a2+b2 c2”,请问这个三角形是否一定不是
2、直角三角形呢?请说明理由.c ca ab bA AC CB B 探究:(1)假设它是一个直角三角形;(2)由勾股定理,一定有a2+b2 c2,与已知条件a2+b2 c2矛盾;(3)因此假设不成立,即它不是一个直角三角形.问题探究 这种证明方法与前面的证明方法不同,其步骤为:(1)先假设结论的反面是正确的;(2)然后通过逻辑推理,得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾;(3)从而说明假设不成立,进而得出原结论正确。探究发现像这样的证明方法叫“反证法”.例1 写出下列各结论的反面:(1)ab;(2)a0;(3)b是正数;(4)ab.a60,B60,C60三角形的内角和为180ABC中至少
3、有一个内角小于或等于60点拨:至少的反面是没有!A+B+C60+60+60=1801.试说出下列命题的反面:(1)a是实数;(2)a大于2;(3)a小于2;(4)至少有2个;(5)最多有一个;(6)两条直线平行;2.用反证法证明“若a2 b2,则a b”的第一步是 .3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角,那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 .a不是实数a小于或等于a大于或等于没有两个一个也没有两直线相交假设a=b假设这个三角形是等腰三角形当堂练习当堂练习4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A.有两个内角是直角 B.有三个内角是直角 C.至少有两个内角是直
4、角 D.没有一个内角是直角5.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为()A.a,b,c都是奇数 B.a,b,c都是偶数 C.a,b,c中至少有两个偶数 D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数CD6.已知:a是整数,2能整除a2.求证:2能整除a.证明:假设命题的结论不成立,即“2不能整除a”,因为a是整数,故a是奇数.不妨设a=2n+1(n是整数),a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1,a2是奇数,则2不能整除a2,这与已知矛盾.假设不成立,故2能整除a.原词语 否定词 原词语 否定词 等于任意的是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小
5、于 至多有n个 对所有x成立对任何x不成立 7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的,下面是一些常见的关键词的否定形式.不是不都是不大于 不小于一个也没有至少有两个至多有(n-1)个至少有(n+1)个存在某个x不成立存在某个x成立不等于某个反证法概念课堂小结课堂小结反证法证明的思路:假设命题不成立正确的推理,得出矛盾肯定待定命题的结论.证明步骤见学练优本课时练习课后作业课后作业1.理解和掌握用尺规作:经过一已知点作已知直线的垂线及已知线段的垂直平分线.(重点)2.已知底边及底边上的高,能够利用直尺和圆规作出等腰三角形.(重点)3.在利用尺规作图的过程中,培养学生动手操作能力与探 索精神学习
6、目标导入新课导入新课1.回顾已经学过的基本作图有哪几种?复习引入2.点与直线的位置关系有几种情况?(1)点在直线上;(2)点在直线外.3.经过一已知点作已知直线的垂线有可以分为几种情况?两种.基本作图:(1)作一条线段等于已知线段;(2)作一个角等于已知角;(3)作已知角的平分线.讲授新课讲授新课经过一已知点作已知直线的垂线一基本作图4.经过一已知点作已知直线的垂线可分为两种情况来讨论:1.经过已知直线上一点作已知直线的垂线.2.经过已知直线外一点作已知直线的垂线.1.经过已知直线上一点作已知直线的垂线 已知直线AB和AB上一点C,试按下列步骤用直尺 和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.如
7、图,由于点C在直线AB上,因此所求作的垂线正好是平角ACB的平分线所在的直线.第一步:作平角ACB的平分线CD;第二步:反向延长射线CD.DCABABC2.经过已知直线外一点作已知直线的垂线.已知直线AB和AB外一点C,试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.ABC步骤:(1)以点C为圆心,作弧与直线AB相交于点D、点E;(2)作DCE的平分线CF.直线CF就是所要求作的垂线.DEF思考:你能说说其中的道理吗?例1 利用直尺和圆规作一个等于45的角.作法:1.作直线AB;2.过点A作直线AB的垂线AC;3.作CAB的平分线AD.DAB就是所要求作的角.典例精析作已知线段的垂直
8、平分线二步骤:第一步:分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的长为半径作圆弧,两弧相交于点C和点D;第二步:作直线CD.直线CD就是所要求作的线段AB的垂直平分线CABD 如图,已知线段AB,试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出线段AB的垂直平分线.想一想:为什么CD是线段AB的垂直平分线呢?你能给出证明吗?证明:如图,连结CA、CB、DA、DB.AC=BC,D=BD,CD=CD,ACDBCD(S.S.S.).ACD=BCD(全等三角形的对应角相等).CD垂直平分线段AB(等腰三角形的“三线合一”).CABD通过上面的作图,你还能发现什么?你会作任意一个三角形的三条中线吗?通过作图,知道直线与线段
9、的交点就是的中点,因此我们可以用这种方法作出线段的中点,从而可以作出任意一个三角形的的三条中线探究讨论例2 如图,A,B是路边两个新建小区,要在公路边增设一个公共汽车站,使两个小区到车站的路程一样长,该公共汽车站应建在什么地方?AB分析:增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长,应在线段AB的垂直平分线上,又要在公路边上,所以找到AB的垂直平分线与公路的交点便是.公共汽车站典例精析当堂练习当堂练习1.如图,点P在O的一边上,试过点P作O两边的垂线.(第 1 题)P2.如图,作ABC边BC上的高.(第 2 题)3.四等分已知线段AB4.作ABC 的三边的垂直平分线 (第 2 题)5.如图,八
10、(1)班与八(2)班两个班的学生分别在M,N两处参加植树劳动,现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P,使P到两条道路的距离相等,且PM=PN,请你用折纸的方法找出P点点并说明理由.MNBAPC经过一已知点作已知直线的垂线 经过已知直线上一点作已知直线的垂线,实质是作一个平角的平分线,并将角的平分线反向延长.课堂小结课堂小结 经过已知直线外一点作已知直线的垂线,实质是作以直线外这一点为顶点,底在直线上的等腰三角形的顶角的平分线.线段垂直平分线的尺规作图作已知线段的垂直平分线理论依据是:判定三角形全等的“边边边”对于语言叙述类的画图问题,应先画草图,再写已知、求作、作法.见学练优本课时
11、练习课后作业课后作业1.理解和掌握用尺规作:经过一已知点作已知直线的垂线及已知线段的垂直平分线.(重点)2.已知底边及底边上的高,能够利用直尺和圆规作出等腰三角形.(重点)3.在利用尺规作图的过程中,培养学生动手操作能力与探 索精神学习目标导入新课导入新课1.回顾已经学过的基本作图有哪几种?复习引入2.点与直线的位置关系有几种情况?(1)点在直线上;(2)点在直线外.3.经过一已知点作已知直线的垂线有可以分为几种情况?两种.基本作图:(1)作一条线段等于已知线段;(2)作一个角等于已知角;(3)作已知角的平分线.讲授新课讲授新课经过一已知点作已知直线的垂线一基本作图4.经过一已知点作已知直线的
12、垂线可分为两种情况来讨论:1.经过已知直线上一点作已知直线的垂线.2.经过已知直线外一点作已知直线的垂线.1.经过已知直线上一点作已知直线的垂线 已知直线AB和AB上一点C,试按下列步骤用直尺 和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.如图,由于点C在直线AB上,因此所求作的垂线正好是平角ACB的平分线所在的直线.第一步:作平角ACB的平分线CD;第二步:反向延长射线CD.DCABABC2.经过已知直线外一点作已知直线的垂线.已知直线AB和AB外一点C,试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线.ABC步骤:(1)以点C为圆心,作弧与直线AB相交于点D、点E;(2)作DCE的平分线
13、CF.直线CF就是所要求作的垂线.DEF思考:你能说说其中的道理吗?例1 利用直尺和圆规作一个等于45的角.作法:1.作直线AB;2.过点A作直线AB的垂线AC;3.作CAB的平分线AD.DAB就是所要求作的角.典例精析作已知线段的垂直平分线二步骤:第一步:分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的长为半径作圆弧,两弧相交于点C和点D;第二步:作直线CD.直线CD就是所要求作的线段AB的垂直平分线CABD 如图,已知线段AB,试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出线段AB的垂直平分线.想一想:为什么CD是线段AB的垂直平分线呢?你能给出证明吗?证明:如图,连结CA、CB、DA、DB.AC=BC,D=B
14、D,CD=CD,ACDBCD(S.S.S.).ACD=BCD(全等三角形的对应角相等).CD垂直平分线段AB(等腰三角形的“三线合一”).CABD通过上面的作图,你还能发现什么?你会作任意一个三角形的三条中线吗?通过作图,知道直线与线段的交点就是的中点,因此我们可以用这种方法作出线段的中点,从而可以作出任意一个三角形的的三条中线探究讨论例2 如图,A,B是路边两个新建小区,要在公路边增设一个公共汽车站,使两个小区到车站的路程一样长,该公共汽车站应建在什么地方?AB分析:增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长,应在线段AB的垂直平分线上,又要在公路边上,所以找到AB的垂直平分线与公路的交点
15、便是.公共汽车站典例精析当堂练习当堂练习1.如图,点P在O的一边上,试过点P作O两边的垂线.(第 1 题)P2.如图,作ABC边BC上的高.(第 2 题)3.四等分已知线段AB4.作ABC 的三边的垂直平分线 (第 2 题)5.如图,八(1)班与八(2)班两个班的学生分别在M,N两处参加植树劳动,现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P,使P到两条道路的距离相等,且PM=PN,请你用折纸的方法找出P点点并说明理由.MNBAPC经过一已知点作已知直线的垂线 经过已知直线上一点作已知直线的垂线,实质是作一个平角的平分线,并将角的平分线反向延长.课堂小结课堂小结 经过已知直线外一点作已知直线的垂线,实质是作以直线外这一点为顶点,底在直线上的等腰三角形的顶角的平分线.线段垂直平分线的尺规作图作已知线段的垂直平分线理论依据是:判定三角形全等的“边边边”对于语言叙述类的画图问题,应先画草图,再写已知、求作、作法.见学练优本课时练习课后作业课后作业
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