3第一章线性控制系统的状态空间描述lyq课件.ppt

1、第一章线性控制系统的状态空间描述 李玉庆飞行器动力学与控制研究所第一章 线性控制系统的状态空间描述 1.1 状态空间描述的概念 1.2 将系统的一般时域描述转化为状态空间 描述 1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述 1.4 状态方程的规范形式 1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 由输入由输入-输出描述求状态空间描述的问题称为输出描述求状态空间描述的问题称为实现问题实现问题 仅对实现仅对实现单输入单输入-单输出系统单输出系统的状态空间描述的状态空间描述(A(A，B B，C C，D)D)具有代表性的方法具有代表性的方法 。单输入单输入-单输出线性定常系统单输出线性定常系统 ，输出和

2、输入之间的因果，输出和输入之间的因果关系可用关系可用高阶微分方程来描述高阶微分方程来描述 ()(1)()(1)101nnnnnnya ya yb ubub u1.2 将一般时域描述转化为状态空间描述 传递函数来描述传递函数来描述 (1)0111()()()nnnnnnb sbsbY sG sU ssa sa1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 因此由输入因此由输入-输出描述求取状态空间描述的问题，就归结为适输出描述求取状态空间描述的问题，就归结为适当地选取一组状态变量和确定相应的系数矩阵当地选取一组状态变量和确定相应的系数矩阵A A，B B，C C，D D的的问题问题 状态空间描述状态

3、空间描述 DuCxyBuAxx 12(1)nnxyxyxy可选可选(1),ny yy 为系统的一组状态变量为系统的一组状态变量 1.1.选取状态变量选取状态变量 则求状态方程和输出方程的步骤则求状态方程和输出方程的步骤 ()(1)10nnnya ya yb u不包含输入函数导数不包含输入函数导数 高阶微分方程中，不包含输入高阶微分方程中，不包含输入函数的各阶导数函数的各阶导数 1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 2.2.化高阶微分方程为化高阶微分方程为12,nxxx的一阶微分方程组的一阶微分方程组 1223(1)1()(1)10110nnnnnnnnnxyxxyxxyxxya ya

4、yb ua xa xb u 系统的输出表达式为系统的输出表达式为 1yx3.3.将方程组改写为向量形式将方程组改写为向量形式 12nxxxx令令 1122110010000010000010nnnnxxxxuxxaaab 状态方程状态方程 输出方程输出方程 12100nxxyx1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 例1-12已知系统输入已知系统输入-输出描述为输出描述为64176yyyyu试求其状态空间描述。试求其状态空间描述。选取选取123xyxyxy12233123174166xxxxxxxxuyx 写成向量形式写成向量形式 1122331230100001074166100 xx

5、xxuxxxyxx 1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 包含输入函数导数包含输入函数导数 ()(1)()(1)101nnnnnnya ya yb ubub u则求状态方程和输出方程的步骤则求状态方程和输出方程的步骤 1.1.选取状态变量选取状态变量 通常可选取输出变量通常可选取输出变量y y和输入变量和输入变量u u各阶导数的各阶导数的适当组合适当组合 1021101322012(1)(1)(2)11011nnnnnnnxyuxxuyuuxxuyuuuxxuyuuu待定系数待定系数01,n 1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 102013012(1)(1)(2)011nnn

6、nnyxuyxuuyxuuuyxuuu()(1)(2)1011nnnnnnnxxu yuuu中间变量中间变量 ()()101nnnnnyxuuu()(1)()(1)101nnnnnnya ya yb ubub u代入代入:()(1)0111121()0(1)110(2)2112011110()()()()nnnnnnnnnnnnnnb ubub uxa xaxa xuauaauaaau对比等式对比等式()(0,1,)kukn的系数的系数 111210011102211201111010nnnnnnnnnnnknkkxa xaxa xbbabaabaaaba1.2将系统的一般时域描述转化为状态空

7、间描述 1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 2.2.导出状态变量的一阶微分方程组和输出表达式导出状态变量的一阶微分方程组和输出表达式 1212321111121nnnnnnnnnnxxuxxuxxuxxua xaxa xu 3.3.向量形式向量形式 11122211010000100001nnnnnxxxxuxxaaa 120100nxxyux1021101322012(1)(1)(2)11011()(1)(2)1011nnnnnnnnnnnnnnxyuxxuyuuxxuyuuuxxuyuuuxxuyuuu1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述 例1-13已知系统输入已知系统输

8、入-输出描述为输出描述为28196740360440yyyyuu试求其状态空间描述。试求其状态空间描述。123012328,196,740,0,0,360,440aaabbbb00111122112033122130003609640bbabaabaaa 102013012360 xyuyxyuuyxyuuuyu选取状态方程和输出方程 1122330100001360740196289640 xxxxuxx123100 xyxx001110221120111101nnnnnnnkn kkbbabaabaaaba1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述1.3 将频域描述转化为状态空间描述单输入

9、单输入-单输出线性定常系统单输出线性定常系统 ，输出和输入之间的因果，输出和输入之间的因果关系可用关系可用:高阶微分方程来描述高阶微分方程来描述 y y：输出变量，：输出变量，u u：输入变量：输入变量 ()(1)()(1)101nnnnnnya ya yb ubub u传递函数来描述传递函数来描述 (1)0111()()()nnnnnnb sbsbY sG sU ssa sa1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述系统传递函数的特征多项式的根为两两相异系统传递函数的特征多项式的根为两两相异()G s12,n 当系统传递函数当系统传递函数的特征根的特征根为两两相异时为两两相异时 展开为部分分

10、式的形式展开为部分分式的形式 1212()()()nnkkkY sG sU sssslim()()iiisksG s12,nx xx为状态变量为状态变量,令令 其拉氏变换满足其拉氏变换满足 11221()()1()()1()()nnX sU ssXsU ssXsU ss设设11 1222nnnxxuxxuxxuL L-1-1得状态方程得状态方程 1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述1 122nnyk xk xk x1212()()()nnkkkY sG sU ssss11221()()1()()1()()nnX sU ssXsU ssXsU ss1122()()()()nnY sk X

11、sk Xsk XsL L-1-1得输出方程得输出方程 xAxBuyCx12nA111B 12nCkkk1 122nnyk xk xk x11 1222nnnxxuxxuxxu1212111nnxxuykkkx 矩阵形式矩阵形式 lim()()iiisksG s对角线标准型对角线标准型 1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述已知已知326()6116G ssss试求其状态空间描述试求其状态空间描述例1-15326116(1)(2)(3)ssssss系统的极点为系统的极点为1231,2,3 两两相异两两相异 1112223336lim()(1)lim3(2)(3)6lim()(2)lim6(1

12、)(3)6lim()(3)lim3(1)(2)sssssskG s ssskG s ssskG s sss lim()()iiisksG s1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述系统状态空间描述系统状态空间描述 112233123100102010031363xxxxuxxxyxx 1231,2,3 12nA111B 12nCkkk1233,6,3kkk 1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述系统传递函数的特征多项式的根有重根时系统传递函数的特征多项式的根有重根时1.1.有一个重根有一个重根,重数为重数为r,r,其余为两两相异的根其余为两两相异的根 11121111111()()()n

13、rrrrrnkkkkkY sG sU ssssss111111lim()()(1)!jrjjsdksG sjdslim()()(1)iiisksG sirn12,nx xx选取状态变量选取状态变量 的拉氏变换为的拉氏变换为 112111111()()1()()1()()1()()1()()rrrrrnnX sU ssXsU ssXsU ssXsU ssXsU ss121231111111()()1()()1()()1()()1()()1()()rrrrrnnX sXssXsXssXsXssXsU ssXsU ssXsU ss1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述11 12212331 34

14、14nnnxxxxxxxxuxxuxxu状态方程和输出方程状态方程和输出方程 121231111111()()1()()1()()1()()1()()1()()rrrrrnnX sXssXsXssXsXssXsU ssXsU ssXsU ssL L-1-1得状态方程得状态方程 输出方程的拉氏变换为输出方程的拉氏变换为:111122111()()()()()()rrrrnnY sk Xsk Xsk XskXsk Xs11 1122133440nnyk xk xk xk xk xb u11121111111()()()nrrrrrnkkkkkY sG sU ssssss112111111()()1

15、()()1()()1()()1()()rrrrrnnX sU ssXsU ssXsU ssXsU ssXsU ssL L-1-1得输出方程得输出方程 矩阵形式矩阵形式 111221111111112111010011101rrrrrnnnrrnxxxxuxxxxxxykkkkk x1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述约当约当(Jordan)(Jordan)标准型标准型 1.3 将系统的频域描述转化为状态空间描述例1-16已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为23251()(2)ssG ss试求其状态空间描述试求其状态空间描述 系统有一个三重极点系统有一个三重极点123212232222

16、33222lim()(2)lim(251)19()(2)limlim(45)13()(2)11limlim(4)22!2!sssssskG s sssd G s sksdsdG s skds待定系数待定系数 系统状态空间描述系统状态空间描述 11223312321000210002119132xxxxuxxxyxx 2.2.同时有单极点和多个重极点同时有单极点和多个重极点则可直接写出约当标准型的状态空间表达式则可直接写出约当标准型的状态空间表达式:12,k 假定假定为单极点为单极点,1k为为重极点重极点,1lk m为为重极点重极点,ml且有且有12mkllln11111222111111011

17、101mmkkkkkkk lk lkk mn ln lnnk mxxxxxxxxxxxxxx111,11,1,1110101mkkklk mk m luykkkkkk x1.4 状态方程的规范形式1.4 状态方程的规范形式线性定常系统的系统矩阵A的矩阵值是表征系统的动力学特性的一个重要参量。系统的状态方程通过适当的线性非奇异变换而化为由特征值表征的约当规范型。当系统矩阵A的特征值为两两相异时，规范型具有对角线规范型的形式。1.4 状态方程的规范形式特征值及其不变性特征值及其不变性线性定常系统线性定常系统DuCxyBuAxx 系统的系统的特征值特征值，即系统矩阵，即系统矩阵A A的特征值，即特征

18、方程的特征值，即特征方程0)det(AI的根的根 1 1一个一个n n阶系统的系统矩阵阶系统的系统矩阵A A，有且仅有，有且仅有n n个特征值。个特征值。2 2物理上可实现的系统，系统矩阵物理上可实现的系统，系统矩阵A A的各元均为实数，因此其的各元均为实数，因此其n n个特个特 征值或为实数，或为共轭复数对。征值或为实数，或为共轭复数对。3 3对系统做非奇异变换，其特征值不变对系统做非奇异变换，其特征值不变。11111det()det()det()det()det()det()det()det()IAIP APP PP APPIA PPIAPIA命题得证命题得证1.4 状态方程的规范形式ii

19、Avvi4.4.设设 A A特征值，非零特征值，非零n n维向量维向量ivA A的属于的属于特征向量特征向量i12,n 两两相异两两相异因此由这些特征向量组成的矩阵因此由这些特征向量组成的矩阵P P必为非奇异必为非奇异12,nv vv特征向量特征向量12,n 特征值特征值5 5设设12,nvvv线性无关线性无关1.4 状态方程的规范形式将状态方程化为对角线标准型将状态方程化为对角线标准型 可将矩阵可将矩阵A A化为对角线标准型化为对角线标准型,其中其中 n,21nvvv,2121nvvvP若其特征值若其特征值为两两相异，则必有非奇异阵为两两相异，则必有非奇异阵为矩阵为矩阵A A相应于相应于的特

20、征向量，的特征向量，n,21对于线性定常系统对于线性定常系统xA xB uyC x一、矩阵A为任意形式 1.4 状态方程的规范形式121000000nAP APP P为非奇异矩阵，且为非奇异矩阵，且iiAvv121 122121212000000000000nnnnnnAPAvAvAvvvvvvvP两端左乘两端左乘1P121000000nP AP命题得证命题得证例1-7BuAxx线性系统线性系统327,120010112BA其中其中试将状态方程化为规范形式。试将状态方程化为规范形式。)1)(1)(2(120010112det)det(AI特征值特征值112321，两两相异两两相异 可化为对角线

21、规范型可化为对角线规范型 iiiAvv1231,2,3iiiivvviv设特征向量设特征向量 1111212131312110102021vvvvvv11213111212121313122222vvvvvvvvv11213100vkvv1100v 同理同理1212222232322110101021vvvvvv12223212122222222232323221021vvvvvvvvvvvv2101v 1313232333332110101021vvvvvv 13233313132323232333333320121vvvvvvvvvvvv 3011v123110001011Pvvv0101

22、10111det1PadjPP1000100021APPA2523270101101111BPBuxuBxAx252100010002状态方程的规范形式状态方程的规范形式1.4 状态方程的规范形式二、矩阵A为相伴型121100001000010aaaaAnnn112112222121111nnnnnnPu矩阵矩阵A A的特征值两两互异时，的特征值两两互异时，P P可取范德蒙矩阵可取范德蒙矩阵(1,2,)iin为矩阵为矩阵A A的互异特征值。的互异特征值。友矩阵友矩阵例1-10BuAxx0109001,721215AB已知线性系统已知线性系统其中其中试将状态方程化为规范型试将状态方程化为规范型1

23、0det()det 01(2)(1)(1)212IA123222123111111211411P111033111det22111326adjPPP1000100021APPA111033921117522152111326BP B 112321，系统的特征值两两相异，取非奇异变换矩阵系统的特征值两两相异，取非奇异变换矩阵P P为为uxuBxAx252100010002状态方程的规范型状态方程的规范型1.4 状态方程的规范形式u矩阵矩阵A A能否通过线形变换化为对角线标准型能否通过线形变换化为对角线标准型,关键在于能否关键在于能否找到找到n n个线性无关的特征向量。若矩阵个线性无关的特征向量。

24、若矩阵A A有相同的特征值有相同的特征值u仍存在仍存在n n个线性无关的特征向量（化为对角型）个线性无关的特征向量（化为对角型）u线性无关的特征向量个数小于线性无关的特征向量个数小于n n（化为约当标准型）（化为约当标准型）将状态方程化为约当标准型将状态方程化为约当标准型 1.4 状态方程的规范形式APPA 1112121110001001000nnA vvvvvv 11 1211 211nnnAvvAvvvAvvv比较上式两端各列比较上式两端各列1112111()0()()nnAI vAI vvAI vv合并整理合并整理111110001001000AJ 12()nPv vv两端左乘两端左乘

25、将式将式命题得证命题得证nqq,21。则经非奇异变换，可将。则经非奇异变换，可将A化为化为设矩阵设矩阵A有有q个重特征值为个重特征值为而其余而其余n-q个特征值为两两相异个特征值为两两相异1111211111()0()()()0()0qqqqnnAI vAI vvAI vvAI vAI v1212,qqqnpv vv vvv其中其中112,qv vv12,qqnvvv其中其中为相应于重特征值为相应于重特征值的特征向量；而的特征向量；而为相应于其余单特征值的特征向量。它们满足为相应于其余单特征值的特征向量。它们满足分别为分别为nqqAPPA0000000000000000101000012111

26、1111.4 状态方程的规范形式例1-8设矩阵设矩阵A为为144010045A将将A化为约当标准型。化为约当标准型。)5()1(144010045det)det(2AI12153系统特征值为系统特征值为131112121222323313233,vvvvvvvvvvvv特征向量为特征向量为11()0AI v112131440000004400vvv 1111212111213104400440vvvvvvvk1001v 221()AI vv122232440000004401vvv 121222221222321844014418vvvvvvvk 2181818v1.4 状态方程的规范形式33

27、()0AI v132333040004004440vvv 23232313331323334004004440vvvvvvvv1333311011vvv 123101810081118Pv v v011080121det1PadjPP5000100111811081018101440100450110801211APPA非奇异变换阵非奇异变换阵P为为1.4 状态方程的规范形式u矩阵矩阵A有有q个重特征值为个重特征值为1nqq,2112PPP，而其余，而其余n-q个特征值个特征值为两两相异时，为两两相异时，P可取为可取为12111121211001201(1)(2)(1)(1)(1)!nnn qPnnnqnq为重特征值为重特征值1的特征向量组成的矩阵，而的特征向量组成的矩阵，而 1211111qnnnqnP为其余相异特征值组成的矩阵为其余相异特征值组成的矩阵