9-14-刚体的定轴转动-2课件.ppt

1、刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动角坐标角坐标回顾回顾d角位移角位移dtd各质元有各质元有相同的相同的角位移、角速度、角加速度角位移、角速度、角加速度dtd22dtd2rrararn2vv刚体绕定轴作刚体绕定轴作匀变速匀变速转动转动t02021tt)(20202力力 对轴的力矩对轴的力矩 为为FMFrMFrMtJJMdd刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律2iirmJdmrdJJ2平行轴定理平行轴定理2mdJJcz影响影响 J J 的三个要素的三个要素:总质量总质量 、质量分布、质量分布 、转轴的位置、转轴的位置圆环绕中心轴旋转的转动惯量圆环绕中心轴旋转的转动

2、惯量2mRJ 231mLJ 2121mLJ 221mRJ 定轴转动定律的应用定轴转动定律的应用-滑轮问题三步曲：滑轮问题三步曲：1、牛二定律；、牛二定律；2、转动定律；、转动定律；3、角量与线量关系、角量与线量关系1m2mmgm11Tgm22Tr1T2T1111amTgm2222amgmT22121mrJrTrTraaa214-7一长为2l，质量为3m的均直细棒的两端各固定有质量分别为2m和m的小球，如图所示。此杆可绕通过杆中心并与杆垂直的水平光滑固定轴在竖直平面内转动。先使其在水平位置，然后无初速地释放。求：此刚体系统绕O轴转动的转动惯量；水平位置时杆的角加速度；通过铅垂位置时杆的角速度。l

3、lm2m0P109llm2m0求：此刚体系统绕O轴转动的转动惯量；水平位置时杆的角加速度；通过铅垂位置时杆的角速度。解解 (1)系统绕O轴转动的转动惯量 22224223121mlmlmllmJ)(2)取逆时针方向为正,水平位置时杆的角加速度由转动定律,有 242mlJglmm)(lg4(3)铅垂位置时杆的角速度m2m0ggdtdmlJglmm242cos)(dddtddddtddlgd2004coslg2有多种解法rFdAdz rrdFd4.3 4.3 刚体在外力刚体在外力 作用下转过作用下转过一微小角位移一微小角位移 。力的作用。力的作用点的位移为点的位移为Fdrdrddsrd在在 上的上

4、的元功元功为：为：Frd090dMdAA0cosdrF dcosrF sindrF MdMrF sin 刚体在外力矩刚体在外力矩 M 作用下转作用下转过一有限角位移过一有限角位移 时，力矩时，力矩的总功的总功刚体中任意一质元的刚体中任意一质元的动能动能2222121iiiikirmmEv刚体的刚体的转动动能转动动能：miziriv22)(21iikikrmEE221JEk212202121JJdMA（看 P 102，推导）即：即：合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。合外力矩对刚体所作的功

5、，等于刚体转动动能的增量。把质点系动能定理应用于刚体把质点系动能定理应用于刚体质点系动能定理质点系动能定理12kkEEAA内外 对刚体，因为对刚体，因为 ，换成外力矩的功，平动动换成外力矩的功，平动动能换成转动动能能换成转动动能,也也得到刚体得到刚体定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理0内A外A212202121JJdMA212202121JJdMA221JEkiipipghmEE 刚体的重力势能为刚体中所有质元的重力势能之和。刚体的重力势能为刚体中所有质元的重力势能之和。任一质元的重力势能任一质元的重力势能iipighmE刚体的重力势能刚体的重力势能mhmhiic 设刚体的质心相对零势能位置

6、的高度为设刚体的质心相对零势能位置的高度为chcpmghE 则则即：刚体的重力势能等于刚体即：刚体的重力势能等于刚体的质量集中在质心处的质点的的质量集中在质心处的质点的重力势能重力势能 质量为质量为3m、长为、长为 2l 的均质细杆，水平转轴在的均质细杆，水平转轴在 o 点，两端各点，两端各固定质量分别为固定质量分别为2m和和m的小球的小球。系统从静止开始由水平位置绕。系统从静止开始由水平位置绕o点点转动。求转动。求:(1)系统对系统对o 轴的转动惯量；轴的转动惯量；(2)水平位置时系统的角加水平位置时系统的角加速度速度;（3）转到垂直位置时的角速度。）转到垂直位置时的角速度。24)2(mlJ

7、glmmom2mll(1)系统对系统对o轴的转动惯量轴的转动惯量2220231212)(lmmlmlJ24ml(2)水平位置时系统的角加速度水平位置时系统的角加速度由转动定律由转动定律lg4所以所以2004dlgdcosollgm2gm(解解1)1)用转动定律用转动定律任意位置的运动方程任意位置的运动方程dtdmlglmm24cos)2(lgdtd4coslgdddtddddtd4coslg2求得求得此刚体组此刚体组+地球系统地球系统,只有重只有重力作功力作功,机械能守恒机械能守恒mglmglJ221020(解解2)2)用转动动能定理用转动动能定理合外力矩的功等于刚体转动动能的增量合外力矩的功

8、等于刚体转动动能的增量042122220)(cos)(mldglmmollgm2gmlg2求得求得(解解3)3)用机械能守恒定律用机械能守恒定律求得求得lg2以静止水平点为零势能点以静止水平点为零势能点若用质心的重力势能，如何计算？质心在哪里？orvmL质点对质点对 O O 点的点的角动量角动量kg m2s-1sinsinrmrpLv4.4 4.4 对对vmrprLLvor质点作匀速率圆周运动：质点作匀速率圆周运动：2mrrmLv J若若 作变速率圆周运动；或非圆周运动作变速率圆周运动；或非圆周运动-怎样理解上式？怎样理解上式？2iiiiiirmrmLvziizJrmL2 miziriv的方向

9、的方向L 刚体看成许多质点组成刚体看成许多质点组成,任意一任意一质元质元 对轴的角动量大小为对轴的角动量大小为im整个刚体的角动量整个刚体的角动量tJJMddtJd)(d)(ddJtM冲量矩冲量矩积分积分12)(dd21JJJtMtt即：即：合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量tLMdd2112dttLLtM写成矢量式写成矢量式若刚体受到的若刚体受到的合外力矩合外力矩为零，则系统的角动量守恒。为零，则系统的角动量守恒。则0M若若常量JL常量或1122JJtJJMddtJd)(d)(ddJtM冲量矩冲量矩积分积分12)(dd21JJJtMtt即：即：合外力矩的

10、冲量矩等于刚体角动量的增量合外力矩的冲量矩等于刚体角动量的增量的方向，的方向，LLd的方向的方向 质量为质量为m，半径为，半径为R 的均质薄圆盘放在水平桌面上，可绕的均质薄圆盘放在水平桌面上，可绕盘中心并与盘面垂直的固定光滑轴转动。初始时刻盘的盘中心并与盘面垂直的固定光滑轴转动。初始时刻盘的角速度为角速度为 ，盘与桌面间的滑动摩擦系数为，盘与桌面间的滑动摩擦系数为 ，求，求:(1):(1)圆盘转动时受到的摩擦阻力矩；圆盘转动时受到的摩擦阻力矩；(2)(2)经多长时间圆盘停经多长时间圆盘停止转动。止转动。0 (1)在在r处取一宽度为处取一宽度为 dr 的圆环的圆环,如图所示如图所示.其质量、受到

11、的摩擦阻其质量、受到的摩擦阻力及摩擦阻力矩分别为力及摩擦阻力矩分别为解解:rdrRmdm22 rdrRmggdmdf22drrRmgrdfdMf222oRdrr圆盘转动时受到的总摩擦阻力矩为圆盘转动时受到的总摩擦阻力矩为mgRdrrRmgMdMRff322022 (2)(2)求圆盘停止转动的时间有求圆盘停止转动的时间有两种解法两种解法dtdmRJmgRMf22132dgRdt4300043dgRdtt解解1 1 用转动定律用转动定律gRt430求得求得:oRdrrdrrRmgrdfdMf222gRt430oRtJJMdt00tJmgRdt00032dtdmRJmgRMf22132dgRdt43

12、00043dgRdtt解解1 1 用转动定律用转动定律gRt430求得求得:21221231lmlmlmvv碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为 glmgxdxlmMlf10121例例3 3 质量为质量为m1,长为长为l 的均质细棒，静止平放在滑动摩擦系的均质细棒，静止平放在滑动摩擦系数为数为 的的水平桌面水平桌面上，可绕通过其端点上，可绕通过其端点o o并与桌面垂直的固并与桌面垂直的固定光滑轴转动定光滑轴转动.今有一水平运动的质量为今有一水平运动的质量为m2的小滑块的小滑块,从侧面从侧面垂直于棒与棒的另一端垂直于棒与棒的另一端A相碰相碰,设碰撞时间极短设碰

13、撞时间极短.已知小滑块已知小滑块在碰撞前后的速度大小分别为在碰撞前后的速度大小分别为v1和和v2,方向如图所示。求碰后方向如图所示。求碰后细棒开始转动到停止转动所需的时间。细棒开始转动到停止转动所需的时间。o1ml2m2v1vA解解:设碰后棒开始转动的角速度为设碰后棒开始转动的角速度为 ,滑块滑块m2 2可视为质点可视为质点,碰撞瞬时忽略摩擦阻碰撞瞬时忽略摩擦阻力矩力矩,则则m1 1、m2 2系统对系统对o o轴的角动量守恒轴的角动量守恒,取逆时针转动的方向为正方向取逆时针转动的方向为正方向,由角动量由角动量守恒定律守恒定律,有有又设棒开始转动到停止转动所需时间为又设棒开始转动到停止转动所需时

14、间为t,由角动量定理由角动量定理gmmt12122vv 联立联立 解得解得21221231lmlmlmvvglmgxdxlmMlf10121210310lmdtMtf o1ml2m2v1vA例例4 质量为质量为 m 的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小球以速度使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小球以速度 v0 绕绕管心作半径为管心作半径为 r0 的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运动半径变为动半径变为 r1。求小球的速度以及外力所作的功。求小球的速度以及外力所作的功。Fr0r11

15、100rmrmvv角动量守恒角动量守恒1001rr vv由动能定理由动能定理20212121mvmvA例例5 一长为一长为 l，质量为，质量为 M 的杆垂直悬挂的杆垂直悬挂,杆可绕支点杆可绕支点O自自由转动。一质量为由转动。一质量为 m，速度为，速度为 v 的子弹射入距支点为的子弹射入距支点为 a 的棒的棒内内,若棒偏转角为若棒偏转角为 30,问子弹的初速度为多少问子弹的初速度为多少?子弹与杆碰撞的过程角动量守恒子弹与杆碰撞的过程角动量守恒2231malMam v子弹连同杆上摆的过程机械能守恒子弹连同杆上摆的过程机械能守恒222 3121 malMoav3030以哪点作为势能零点比较方便？以哪

16、点作为势能零点比较方便？30cos1230cos1lMgmga质量为质量为 M，半径为，半径为 R 的转台，可绕中心轴转动。设质的转台，可绕中心轴转动。设质量为量为 m 的人站在台的边缘上，初始时人、台都静止。如果人相的人站在台的边缘上，初始时人、台都静止。如果人相对于台沿边缘奔跑一周，问：相对于地面而言，人和台各转过对于台沿边缘奔跑一周，问：相对于地面而言，人和台各转过了多少角度？了多少角度？角动量守恒：角动量守恒：0人地人台地台JJ台地人台人地人台台人人台地JJJdtJJJdt人台台人人台地MmmJJJ2 42台人人台地MmM2 2台地人台人地问题问题1、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台

17、上一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸双臂伸直水平地举起二哑铃直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的人、哑铃与转动平台组成的系统的（A）机械能守恒）机械能守恒,角动量守恒角动量守恒;（B）机械能守恒）机械能守恒,角动量不守恒角动量不守恒,（C）机械能不守恒）机械能不守恒,角动量守恒角动量守恒;（D）机械能不守恒）机械能不守恒,角动量不守恒角动量不守恒.问题讨论问题讨论问题问题2、人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的球在椭圆的一个

18、焦点上，则卫星的(A)动量不守恒，动能守恒；动量不守恒，动能守恒；(B)动量守恒，动能不守恒；动量守恒，动能不守恒；(C)角动量守恒，动能不守恒；角动量守恒，动能不守恒；(D)角动量不守恒，动能守恒。角动量不守恒，动能守恒。mdMdAA0rFdAd Md2、刚体的、刚体的转动动能转动动能221JEk3、刚体、刚体定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理212202121dJJMAzzJL 4、刚体的角动量、刚体的角动量刚体刚体1221JJdtMtt2112ttLLdtM 则0M常量JL1122JJ角动量守恒角动量守恒小结小结 绕自身对称轴高速旋转的物体绕自身对称轴高速旋转的物体,在外力矩的作用下在

19、外力矩的作用下,其对称轴绕一固定轴的回转运动称为其对称轴绕一固定轴的回转运动称为旋进旋进(进动进动)。oJL 飞轮对自身轴也即对飞轮对自身轴也即对o点的角动量点的角动量飞轮受重力矩飞轮受重力矩gmrM使使 方向改变方向改变,而大小不变而大小不变.LLM因为因为自转轴将在水平面内逆时针方向自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视俯视)回转回转LtMdd 刚体绕刚体绕MLd方向与方向与 方向相同方向相同进动进动平衡锤平衡锤反方向力矩反方向力矩质点力学、刚体力学有关公式对照表质点力学、刚体力学有关公式对照表dtrddtda2v22dtddtd质点的运动质点的运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动dtrdvdtd

20、速度速度角速度角速度角加速度角加速度加速度加速度质量质量m转动惯量转动惯量dmrJ2力力F力矩力矩FrM运动定律运动定律amF转动定律转动定律JM 动量动量vmp 动量动量ivimp角动量角动量prL角动量角动量JL 动量定理动量定理tvmFdd角动量定理角动量定理tJMdd恒矢iim v质点的运动质点的运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动时0iF动量守恒动量守恒力的功力的功rdFA力矩的力矩的功功MdA动能定理动能定理21212221vvmmA动能定理动能定理21212221JJA动能动能2vmEk21重力势能重力势能mghEpcpmghE 机械能守恒机械能守恒 只有保守力做功只有保守力做功角动量守恒角动量守恒时0M恒量J转动动能转动动能2J21kE重力势能重力势能恒量pkEE机械能守恒机械能守恒 只有保守力做功只有保守力做功恒量pkEE