湖南省岳阳市2020届高三文科数学下册教学质量检测（二）文数试题卷（含答案）.pdf

1、文科数学第 1页共 6 页 岳阳市 2020 届高三教学质量检测试卷（二) 数学（文科）数学（文科） 分值：150 分 时量：120 分钟 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 把答案填在答题卡上对应题号后的框内， 答在试卷上无效。 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 把答案填在答题卡上对应题号后的框内， 答在试卷上无效。 1已知复数(1)(3)(zii i=+为虚数单位）,则 的虚部为 A2 B 2iC4D4i 2

2、已知集合 10Ax x=+ ， |Bx xa=，若ABR=U，则实数a的值可以为 A B 1 C 0D 2 3命题2=mp：，命题：q直线012) 1(=+myxm与直线032=+mymx垂 直，则p是q成立的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 4若 2 log 3a =， 4 log 7b =， 4 0.7c = ，则实数, ,a b c的大小关系为 A abc B cab C bac D cba 5已知数列 n a为等差数列， n S为其前n项和，3 536 =+aaa，则= 7 S A42B21C7D3 6已知向量1a = r ，若( )()abab+

3、rr rr ，则实数m的值为 A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 7在正方体 1111 DCBAABCD中，E为 1 BC的中点，则异面直线DE与 11B A所成角的 正切值为 A 6 2 B 6 3 C 2 2 D 2 z ），, 2 1 (mb = r 文科数学第 2页共 6 页 8若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A5B4 C3D2 9设F为抛物线 2 2yx=的焦点，, ,A B C为该抛物线上三 点，若 0FAFBFC+= uuu ruuu ruuu rr ，则| |FAFBFC+= uuu ruuu ruuu r A9B6 C4D3 10. 三国时代吴国数

4、学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是 赵爽的弦图及注文:弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含 四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱)色及黄 色， 其面积称为朱实及黄实， 利用2勾股+（股勾）24= 朱实+黄实=弦实，化简得:勾 2+股2=弦2 .设勾股中勾股比为 1:3，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计） ， 则落在黄色图形内的图钉数大约为 A866B500C300D134 11已知函数( ) 3 f xxx=，则曲线( )yf x=过点()1,0的切线条数为 A 3 B 2 C 1 D 0 12关于函数( )f xcos

5、xsinx=+有下述四个结论： ( )fx的图象关于y轴对称；( )fx在 ，有 3 个零点； ( )fx的最小值为 2 ；( )fx在区间 4 ，单调递减. 其中所有正确结论的序号是 ABCD 文科数学第 3页共 6 页 第卷第卷（非选择题，共（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号 的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 分。请将答案填在答题卡对应题号 的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 13在ABC中，内角CBA、的对边长分别为cba、，若bc

6、aA= 2 60 ， o ， 则=CBsinsin_. 14已知实数x，y满足 3, 220, 1. xy xy y + + 则目标函数31zxy=+ 的最大值为_ 15直三棱柱 111 ABCABC的顶点都在同一球面上，若2ABAC=， 1 3AA =， BAC=90，则此球的表面积等于_ 16如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点 )2 , 4(),2 , 0(),2, 0(),0 , 4(),0 , 4(),0 , 0(HQPNMO线 段OM上的动点A满足)1 , 0(）（=OMOA；线段 HN上的动点B满足HNHB=直线PA与直线 QB交于点L， 设直线PA的斜率为k， 直线QB的斜

7、率为 k ，则kk的值为；当变化时，动点L一定在（填“圆、椭圆、双 曲线、抛物线”之中的一个）上（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必 考题 题为必 考题,每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题 为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题 17.（本小题满分 12 分） 如图， 在三棱锥PABC中，PAC为正三角形，M 为棱PA的中点，ABAC， 1 2 ACBC=， 平面PAB

8、 平面PAC 文科数学第 4页共 6 页 （1）求证：AB 平面PAC； （2）若2AC =，求三棱锥PBMC的体积 18（本小题满分 12 分） 等差数列 n a的公差为 2, 842 aaa、分别等于等比数列 n b的第 2 项、第 3 项、 第 4 项. （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）若数列 n c满足 1 2 2 1 1 + =+ n n n b a c a c a c L,求数列 n c的前 2020 项的和 19（本小题满分 12 分） 新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心.某市积极响应上级部 门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此

9、次战“疫”进行了持续、深入的 宣传，帮助全体市民深入了解新冠病毒，增强战胜疫情的信心为了检验大家对新冠病 毒及防控知识的了解程度， 该市推出了相关知识问卷， 随机抽取了年龄在 1575 岁之间 的 200 人进行调查， 并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间15,35) 和35,75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人 数之比为 19:21其中“青少年人”中有 40 人对防控的相关知识了解全面，“中老年人” 中 对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是 2:1. （1）求图中,a b的值； （2）现采用分层抽样在25,35)和45,5

10、5) 中随机抽取 8 名市民,从 8 人中任选 2 人, 求 2 人中至少有 1 人是“中老年人”的概率 是多少 ? （3）根据已知条件,完成下面的 22 列联 表，并根据此统计结果判断:能否有 99.9% 的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加 全面了解防控的相关知识? 了解全面了解不够全面合计 青少年人 中老年人 合计 文科数学第 5页共 6 页 附表及公式：附表及公式： () ()()()() 2 2 n adbc K abcdacbd = + ，其中，其中nabcd=+ + +. () 2 P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.70

11、63.8415.0246.6357.87910.828 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆C: 22 22 1 xy ab += （0ab）的左、右焦点分别是 1 F、 2 F，P是椭圆上 一点，I为 12 PFF的内切圆圆心， 11 22 2 PIFIF FPIF SSS =，且 12 PFF的周长为 6. （1）求椭圆C的方程； （2）已知过点()0,1的直线与椭圆C交于A，B两点，若 () 23OPOAOB=+ uuu ruuu ruuu r ，求四 边形OAPB面积的最大值. 21 （本小题满分 12 分） 已知函数.ln)( x e xxxf x = （1）求)(xf的最大值；

12、（2）若1) 1 ()(+bxe x xxf x 恒成立，求实数b的取值范围 文科数学第 6页共 6 页 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22,23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分 题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分 22【选修 4- 4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中， 众多群众在脸上贴着一颗红心， 以此表达对 祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型 曲线.如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的 曲线

13、就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为sin1=（0,20=， 由指数函数的性质及对数的性质，可得 40 44 0.70.71log 4log 7cb=. 5.【答案】【答案】B 【解析】【解析】 217, 3, 3 474536 =+aSaaaaQ 6.【答案】【答案】D【解析】【解析】Q ()()abab+ rr rr ，() ()0abab+= rr rr ，即 2 2 0ab= r r ，将1a = r 和 2 22 1 ( ) 2 bm=+ r 代入，得出 2 3 4 m =，所以 3 2 m = . 7. 【答案】【答案】 C 【解析】【解析】 11/ ABCD， 则CDE就是异面直线

14、 DE 与 11 AB 所成角（或其补角），设正方体棱长为 1，E 为 1 BC的中点，就是 1 BC 与 1 BC的交点，则 2 2 CE = ，由正方体知DCCE， 2 tan 2 CE CDE CD = 8【答案】【答案】 B 【解析】【解析】 模拟执行循环结构的程序框图， 可得：6,1ni=， 文科数学答案第 2页共 9 页 第 1 次循环：3,2ni=； 第 2 次循环：4,3ni=； 第 3 次循环：2,4ni=， 此时满足判断框的条件，输出4i =. 9.【答案】【答案】D【解析】【解析】设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3 (C x ， 3) y抛物线

15、焦点坐标 1 (,0) 2 F，准线方 程： 1 2 x = ， Q 0FAFBFC+= uuu ruuu ruuu rr ，点F是ABC重心，则 123 3 2 xxx+=， 123 0yyy+=. 而 11 11 |() 22 FAxx= =+， 22 11 |() 22 FBxx= =+， 33 11 |() 22 FCxx= =+ 123123 111333 |()3 222222 FAFBFCxxxxxx+=+=+=+=. 10.【答案】【答案】D【解析】【解析】如图，设勾为a，则股为 3a，弦为2a ，则图中大四边形的面积为 2 4a ， 小四边形的面积为 222 ( 31)(42

16、 3)aa= ，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率 为2 2 (42 3)3 1 42 a a = 落在黄色图形内的图钉数大约为 3 1000(1)134 2 11.【答案】【答案】B【解析】【解析】设切点坐标 3 000 (,)P x xx, 由( ) 3 f xxx=，得 2 ( )31xfx=，切线斜率 2 0 31kx=， 所以过 3 000 (,)P x xx的切线方程为 32 0000 (31)()yxxxxx+=，即 23 00 (31)2yxxx=， Q切线过点()1,0，故 32 00 2310xx+ =，令() 32 000 231h xxx=+,则() 2

17、000 66h xxx =， 由() 0 0h x=，解得 0 0x =或 0 1x = ， 当 0 (,0), (2,)x +时，() 0 0h x；当 0 (0,2)x 时，() 0 0h x，(1)0h=， 故其图像与 x 轴交点 2 个，也就是切线条数为 2. 12 【答案】【答案】C【解析】【解析】()( )fxcosxsinxcoif xs xs nx=+=+，则函数( )fx为R上 的偶函数，故正确； 文科数学答案第 3页共 9 页 当0,x时，( )cos2sin() 4 f xxsinxx +=+=,令( )0f x = 4 xk =，则( )fx在区 间0,的零点只有一个，

18、所以( )fx在 ，有 2 个零点，故错误； ( )fx在0,的最小值为：( ) 52 2sin21 42 f = = ， 因为函数()()22i)2s n(ffxcosxsinxxxxcos+=+=+=+， 所以函数( )fx的周期 为2由对称性以及周期性可知，函数( )fx的最小值为：1，故错误； 当0,x时， 5 , 444 x + ，函数y sinx= 在区间, 4 2 上单调递增，在区间 5 , 24 上 单调递减，即( )fx在区间0, 4 上单调递增，在区间, 4 上单调递减，故正确. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20

19、 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答 错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答 错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 13.【答案】【答案】 3 4 【解析】【解析】因为 60A= o，a bc= 2 ，所以 2 sinsinsinABC= ,所以 2 33 () 24 sinBsinC = . 14【答案】【答案】6 【解析】【解析】作出可行域，如图所示：由图可知最优解为(2,1)M， 所以 max 3 2 1 16z= + =. 15【答案】【答案】17 【解析】【解析】如图，取 11 ,BC BC的中点 12 ,O O，由条件可知， 1 O

20、， 2 O是 ABC和 111 ABC的外接圆的圆心，连接 12 OO，取 12 OO的中点O,连接OB，O是直三棱柱 111 ABCABC外接球的球心， 22 222 2BC =+= ， 1 2O B=， 22 11 917 2 42 OBO BOO=+=+=， 17 2 R = , 文科数学答案第 4页共 9 页 此球的表面积等于 2 417SR= . 16.【答案】【答案】 1 4 ； 双曲线 【解析】【解析】()()01OAOM= uuu ruuuu r ，；A（-4，0），又 P（0， -2）， 21 42 k = = ； HB HN= uuu ruuur B（4，2-2）， 22(

21、 2) ' 402 k = ， kk= 1 4 ， 设 L（x，y），则 2 2 22224 , ',' 00 yyyyy kkkk xxxxx + = ， 2 2 41 4 y x =，即 22 1 416 yx =故答案为 1 4 ，双曲线 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题题为必考题,每个试 题考生都必须作答。第 每个试 题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。为选考题，考生根据要求作答。 17.（本小题满分 12 分） 【解析

22、】 （【解析】 （1）PACQ为等边三角形， 且M为PA的中点，CMPA. Q平面PAB 平面PAC，平面PAB平面PACPA=，CM 平面 PAC， CM平面PAB，AB Q平面PAB，ABCM,4 分 又ABAC，CACCM=I,AC、CM 平面PAC， AB平面PAC；6 分 （2）ABACQ，且2AC =，24BCAC=， 22 2 3ABBCAC= . 又PAC是边长为2的等边三角形，且M为PA的中点，则CMPA， 且 sin603CMPC= o ， PMC 的面积为 113 13 222 PMC SPM CM = = .9 分 文科数学答案第 5页共 9 页 因此，三棱锥PBMC的

23、体积为 113 2 31 332 P BMCB PMCPMC VVSAB = 12 分 18.（本小题满分 12 分） 【解析】【解析】(1)依题意得: 2 324 bb b=，所以 2 111 (6)(2)(14)aaa+=+，1 分 所以 22 1111 12361628,aaaa+=+解得 1 2.a =2 分 2 . n an=3 分 设等比数列 n b的公比为 q ，所以 34 22 8 2, 4 ba q ba =4 分 又 2 22 4,422 . nn n bab =5 分 (2)由（1）知，2 ,2 . n nn an b= 因为 1 112 121 2n nn nn ccc

24、c aaaa + += 当2n时, 112 121 2n n n ccc aaa += 6 分 由得，2n n n c a =,即 1 2n n cn + = , 7 分 又当1n =时， 3 11 2 2cab=不满足上式, 1 8,1, 2,2. n n n c nn + = = 8 分 数列 n c的前 2020 项的和 342021 2020 82 23 22020 2S= + + + 2342021 4 1 22 23 22020 2=+ + + + 9 分 设 23420202021 2020 1 22 23 22019 22020 2T= + + +， 则 34520212022

25、 2020 21 2223 2201922020 2T=+ +， 由得： 23420212022 2020 22222020 2T=+10 分 22020 2022 2 (12) 20202 12 = 2022 420192= 11 分 所以 2022 2020 2019 24T=+, 所以 2020 S= 2022 2020 42019 28T+=+. 12 分 19.（本小题满分 12 分） 文科数学答案第 6页共 9 页 【解析】【解析】（1）由题意得 19 (0.03) 10 40 21 (0.02) 10 40 b a += += ,解得 0.0325 0.0175 a b = =

26、2 分 （2）由题意得在25,35)中抽取 6 人，记为, ,A B C D E F，在45,55)中抽取 2 人, 记为1,2. 则从 8 人中任取 2 人的全部基本事件(共 28 种)列举如下： , 1,2,AB AC AD AE AF A A, 1,2, 1,2,BC BD BE BF B BCD CE CF C CDE ,1,2, 1,2, 1,2,12DF D DEF E EFF4 分 记 2 人中至少有 1 个是“中老年人”的概率是P，则 13 28 P =.6 分 （3）22 列联表如下：8 分 了解全面了解不够全面合计 青少年人405595 中老年人7035105 合计1109

27、0200 2 2 200(40 3555 70) 12.15710.828 95 105 110 90 K = 10 分 所以有 99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加非常全面了解防控的相关知识. 12 分 20.（本小题满分 12 分） 【解析】【解析】（1） 11 22 2 PIFIF FPIF SSS = ， 1212 | 2|PFPFFF+=，即2ac=2 分 又 12 PFF的周长为 6 1212 | 6PFPFFF+=，即226ac+= 由可得2a =，1c =，则 3b = ，椭圆方程为 22 1 43 xy +=4 分 （2）设直线AB的方程为+1ykx=，() 1

28、1 ,A x y，() 22 ,B xy，则由 22 1 1 43 ykx xy =+ += 联立消 y 可得， 文科数学答案第 7页共 9 页 () 22 34880kxkx+ =， 12 2 12 2 0 8 34 8 34 k xx k x x k += + = + 7 分 ()23OPOAOB=+ uuu ruuu ruuu r ， =3 OABOAPB SS 四边形 8 分 () 2 2 12 22 16 126 336 6 21 =| 223434 四边形 + + = + OAPB k k Sxx kk ，令 2 211kt+ = 9 分 2 2 1 2 t k =， 2 6 66

29、 6 1 21 2 OAPB t S t t t = + + 四边形 ，又 1 2yt t =+在区间1,)+上单调递增，11 分 3y ，2 6 OAPB S 四边形 ，四边形OAPB的面积最大值为2 612 分 21.（本小题满分 12 分） 【解析】【解析】 （1） ( )ln x e f xxx x = ，定义域(0,)+ ， 22 1(1)(1)() ( )1 xx exxxe fx xxx = ，1 分 由1 x exx+ ，( )f x在(0,1增，在(1,)+减， max ( )(1)1f xfe=4 分 （2） 1 ( )()e1 x f xxbx x + ee lne1 x

30、x x xxxbx xx + + lne10 x xxxbx + eln1 x xxx b x + min eln1 (), x xxx b x + 6 分 令 eln1 ( ) x xxx x x + =， 2 ln ( ) x x ex x x + = 文科数学答案第 8页共 9 页 令 2 ( )ln x h xx ex=+，( )h x在(0,)+单调递增，0, ( )xh x ，(1)0he= ( )h x在(0,1)存在零点 0 x，即 0 2 000 ( )ln0 x h xx ex=+= 000 1 ln 2 0 000 00 ln1 ln0(ln)() xxx x x exx

31、 ee xx += = 9 分 由于 x yxe=在(0,)+单调递增，故 00 0 1 lnln,xx x = 即 0 0 1 x e x = ( )x在 0 (0,)x减，在 0 (,)x+增， 0 00000 min 00 eln111 ( )2 x xxxxx x xx + + = 所以2b 12 分 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 【解析】【解析】（1）有OM= 2 3 ，即 1-sin= 2 3 ，sin= 2 1 -，0,20， = 6 7 或11 6 3 分 M 点的极坐标为（ 2 3 ， 6 7 ）或（ 2 3 ，11 6 ）4 分 （2）设

32、射线 OM 的极角为，M( 1 ,),N( 2 ， 2 +),20 即MN= 22 12 += 22 1- sin+1- sin( +) 2 （）6 分 =3- 2= 3- 2 2sin() 4 +（sin +cos ）8 分 3+2 2=1+ 2 MN的最大值为1+ 210 分 23.【选修 4-5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 【解析】【解析】（1）（法 1） 2 1 ( )(1)0 4 f xx=+， ( ) |( )2| |( )|2( )| |( )2( )| |2| 2f xf xf xf xf xf x+=+=4 分 （法 2） 2 1 ( )(1)0 4 f xx=+， 文科数学答案第 9页共 9 页 当2)(xf时，22)(2|2)(|)(=+xfxfxf； 当2)(0， 所以1)( )(4 1 2)( )(4 1 =+=xf xf xf xf y， 当且仅当 1 ( ) 4 ( ) f x f x =，12x = 时，取等号，7 分 因为存在xR，1x ，使得| 1|)( )(4 1 2 +mmxf xf 成立， 所以 2 |1| 1mm，9 分 所以13m 或02m或13m +10 分