《变化率和导数》课件.ppt

1、12 如何用数学来如何用数学来反映山势的平缓反映山势的平缓与陡峭程度？与陡峭程度？3H HA AB BC CD DE EXkXk+1X0X1X2y yO例：如图，是一座山的剖面示意图例：如图，是一座山的剖面示意图:A A是登山者的出发点是登山者的出发点,H,H是山顶是山顶,登山路线用登山路线用y=f(x)y=f(x)表示表示 ；问题：当自变量问题：当自变量x x表示登山者的水平位置，表示登山者的水平位置，函数值函数值y y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？登山问题登山问题x x4HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0 x1y0y1A

2、(x0,y0)B(x1,y1)选取平直山路选取平直山路ABAB放大研究放大研究 :若若),(),(1100yxByxA01xxx01yyy自变量的改变量自变量的改变量函数值的改变量函数值的改变量xyxxyyxxyyk10100101直线直线AB的斜率的斜率:xy5D1D1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOO Oy yx xx x0 0 x x1 1y y0 0y y1 1A(xA(x0 0,y,y0 0)B(xB(x1 1,y,y1 1)O Oy yx xx x2 2x x3 3y y2 2y y3 3C(xC(x2 2,y,y2 2)D D1 1(x(x3 3,y,y3 3)xyx

3、xyyk0101直线直线AB的斜率的斜率:xyxxyyk23231直线直线CDCD1 1的斜率的斜率:x x6y0 x0 x1OYx01xxxA(x0,y0)y1B(x1,y1)011yyyy2C(x2,y2)022yyyy3D(x3,y3)033yyyy4E(x4,y4)044yyy7y y0 0 x x0 0 x x1 1OYx01xxxA(x0,y0)y y1 1B(xB(x1 1,y,y1 1)y y2 2C(xC(x2 2,y,y2 2)y y3 3D(xD(x3 3,y,y3 3)y y4 4E(xE(x4 4,y,y4 4)xy1xy2xy3xy48 显然显然，“线段线段”所在直

4、线的斜率的所在直线的斜率的绝对值绝对值越大，山越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比 的的绝绝对值对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。yx 现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻段，每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。画。9 函数图象上也有类似定义，函数图象上也有类似

5、定义，由此我们引由此我们引出出函数平均变化率函数平均变化率的概念。的概念。yx思考思考：比值：比值 表示的意义是什么？表示的意义是什么？它表示每一个单位上的函数值的平均增量。它表示每一个单位上的函数值的平均增量。10平均变化率曲线陡峭程度数形变量变化的快慢 建构数学建构数学11函数的平均变化率函数的平均变化率已知函数已知函数 在点在点 及及其附近其附近有定义，有定义，令令 ,则当则当 时时,比值比值叫做函数叫做函数 在在 到到 之间的之间的平均变化率平均变化率)(xfy 0 xx 0 xxx)()()()(0000 xfxxfxfxfyyy0 xxyxxfxxf)()(00)(xfy 0 xx

6、x012思考思考:函数平均变化率的几何意义？函数平均变化率的几何意义？00()()f xxf xxOABxyY=f(x)x0X0+xf(x0)f(X0+x)x x直线直线ABAB的斜率的斜率函数平均变化率函数平均变化率:函数值的改变量与自变量的改变量之比函数值的改变量与自变量的改变量之比 观察函数f(x)的图象00()()f xxf x过曲线过曲线 上的点上的点 割线的斜率。割线的斜率。()yf x00(,()xf x 和00(x,(x)xf x13思考思考：（：（1 1）x x、y y的符号是怎样的？的符号是怎样的？（2 2）该变量应如何对应？）该变量应如何对应？理解：理解：2、对应性：若)

7、.()(,1212xfxfyxxx则;,0,11212但可正可负即附近的任意一点是、xxxxx.)()(12可正可负，也可为零xfxfy14么么么么方面 Sds绝对是假的例例1.求函数求函数 在在 到到 之间的平均变化率之间的平均变化率2xy 0 xxx0解:当函数 在 到 之间变化的时候 2xy 0 xxx0函数的平均变化率为xxxxxxxxfxxfxy02020002)()()(分析:当 取定值,取不同数值时,该函数的平均变化率也不一样.x0 x16(2)(2)求函数求函数 在在 到到 之间的平均变化率之间的平均变化率xy10 xxx0解:当函数 在 到 之间变化的时候 0 xxx0 xy

8、1函数的平均变化率为000000)(111)()(xxxxxxxxxfxxfxy17 路程 乙 甲 t o 乙 甲 100m y t 0 t o图图1 1图图2 2课堂练习：甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图（1）（2）所示，（1）甲乙二人哪一个跑得快？（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快？18例例3 3：已知函数：已知函数 ，计算函数在下列区间上的平均变化率。，计算函数在下列区间上的平均变化率。2)(xxf解:当函数 在 到 之间变化的时候 2xy 0 xxx0函数的平均变化率为xxxxxxxxfxxf02020002)()()(xxy变化区间自变量

9、改变量平均变化率（1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.000119 要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规体在每一时刻运动的快慢程度如果物体的运动规律是律是 s=s(t)，那么物体在时刻，那么物体在时刻t 的的瞬时速度瞬时速度v，就是，就是物体在物体在t 到到 t+t 这段时间内，当这段时间内，当 t0 时平均速度时平均速度的极限即的极限即vttsttstsvt )()(lim0 瞬时速度瞬时速度20函数的瞬时变化率函数的

10、瞬时变化率设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变 时，函数值相应的发生改变如果当 趋近于时，平均变化率 趋近于一个常数 ，则数 称为函数 在点 处的瞬时变化率瞬时变化率。)(xfy 0 xx0 xx)()(00 xfxxfyxxxfxxf)()(00ll)(xfy 0 x21导数导数的概念的概念也可记作也可记作ox xy 若这个若这个极极限不存在限不存在，则，则称在点称在点x x0 0 处处不不可导可导。设函数设函数 y=f(x)在点在点 x=x0 的附近有定义，当自变量的附近有定义，当自变量 x 在在 x0 处处取得增量取得增量 x(点点 x0+x 仍在该定义内）时，仍在该定义内）时，

11、相应地函数相应地函数 y 取取得增量得增量 y=f(x0+x)-f(x0)，若，若y与与x之比当之比当 x0的极的极限存在，则称函数限存在，则称函数 y=f(x)在点在点 x0 处处可导可导，并称这个并称这个极限极限为函数为函数 y=f(x)在点在点 x0 处的处的导数导数记为记为 0()fx00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 即即22说明：说明：)(xf0 x0 xxyxy0 x（1）函数）函数在点在点处可导，是指处可导，是指时，时，有极限如果有极限如果不存在极限，就说函数在不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数处不可导，或说无导数点点x是自变量是自变量x在在

12、0 x处的改变量，处的改变量，0 x，而，而y是函数值的改变量，可以是零是函数值的改变量，可以是零（2）23注意：一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同).2(24)(xfy 0 x由导数的定义可知，求函数由导数的定义可知，求函数在在处的处的导数的步骤导数的步骤:00()()ff xxf x（1）求函数的增量）求函数的增量:；00()()f xxf xfxx（2）求平均变化率）求平均变化率:；00()limxffxx（3）取极限，得导数）取极限，得导数:25例例:高台跳水运动中，高台跳水运动中，秒秒 时运动员相时运动员相对于水面的高度是对于水面的高度是 （单位：（单位：），求运动员在），求运动

13、员在 时的瞬时时的瞬时速度，并解释此时的运动状态速度，并解释此时的运动状态;在在 呢呢?t)(s105.69.4)(2ttthst1mst5.0260 x割线割线PQPQ的的变化情况的的变化情况在在的过程中，的过程中，请在函数图象中画出来请在函数图象中画出来你能描述一下吗？你能描述一下吗？27)(xfy P PQ QxyMM求已知曲线的切线求已知曲线的切线.0()Kfx切28练习：练习：29小结：小结：1.1.函数的平均变化率函数的平均变化率 2.2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)(1)求函数的增量求函数的增量 f f=y y=f(x=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1););(2)(2)计算计算平均变化率平均变化率 3.3.求函数的瞬时变化率的步骤求函数的瞬时变化率的步骤:一差一差 二化二化 三极限三极限30